Gaokao Mathematik

1. Zwischen dem ersten und dem zehnten Glied liegen neun Zunahmen.

   $$a_{10}=3+9\cdot2=21$$

2. Bilde ein Paar aus dem ersten und letzten Glied. Ihr Mittelwert entspricht dem Mittelwert aller zehn Glieder.

   $$\frac{a_1+a_{10}}{2}=\frac{3+21}{2}=12$$

3. Multipliziere diesen Mittelwert mit der Anzahl der Glieder.

   $$S_{10}=10\cdot12=120$$

Häufiger Fehler: Rechne beim zehnten Glied nicht mit zehn Zunahmen. Das erste Glied ist bereits mitgezählt.

1. Das Skalarprodukt zweier senkrechter Vektoren ungleich null ist null.

   $$\mathbf a\cdot\mathbf b=0$$

2. Multipliziere die entsprechenden Koordinaten und addiere die Produkte.

   $$2x+3(-2)=0$$

3. Löse die entstandene lineare Gleichung.

   $$2x=6\quad\Rightarrow\quad x=3$$

Häufiger Fehler: Das Skalarprodukt ist eine einzelne Zahl. Multipliziere die Koordinaten nicht über Kreuz.

1. Verwende die Multiplikationsregel mit der gegebenen bedingten Wahrscheinlichkeit.

   $$P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)$$

2. Setze die beiden Brüche ein.

   $$P(A\cap B)=\frac34\cdot\frac23$$

3. Kürze das Ergebnis. Die Ereignisse müssen nicht als unabhängig angenommen werden.

   $$P(A\cap B)=\frac{6}{12}=\frac12$$

Häufiger Fehler: Ersetze P(B|A) nicht durch P(B). Diese Wahrscheinlichkeiten müssen nicht gleich sein.

1. Vergleiche die Gleichung mit der Normalform und bestimme den Parameter p.

   $$y^2=2px\quad\Rightarrow\quad p=4$$

2. Der Brennpunkt hat die x-Koordinate p/2, die Leitlinie ist die senkrechte Gerade x = -p/2.

   $$F=(2,0),\qquad x=-2$$

3. Subtrahiere die beiden x-Koordinaten, um den Abstand zu erhalten.

   $$d=\lvert 2-(-2)\rvert=4$$

Häufiger Fehler: Der Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt beträgt 2. Gesucht ist der gesamte Abstand vom Brennpunkt zur Leitlinie.

1. Bilde die Ableitung und zerlege sie in Faktoren.

   $$\begin{aligned}f'(x)&=3x^2-3\\&=3(x-1)(x+1)\end{aligned}$$

2. Die Ableitung ist positiv, wenn ihre beiden Faktoren dasselbe Vorzeichen haben.

   $$x<-1\quad\lor\quad x>1$$

3. Notiere die beiden Intervalle getrennt. Zwischen den kritischen Stellen ist die Ableitung negativ.

   $$(-\infty,-1),\quad(1,\infty)$$

Häufiger Fehler: Eine positive Ableitung beschreibt das Wachstum der Funktion, nicht einen positiven Funktionswert.

1. Leite mit der Produktregel ab.

   $$f'(x)=e^{-x}(1-x)$$

2. Der Exponentialfaktor ist immer positiv. Bei x = 1 wechselt die Ableitung von positiv zu negativ.

   $$f'(x)\begin{cases}>0&x<1\\=0&x=1\\<0&x>1\end{cases}$$

3. Vor 1 wächst die Funktion, danach fällt sie. Setze 1 ein, um den Maximalwert zu erhalten.

   $$\max_{x\in\mathbb R} f(x)=f(1)=\frac1e$$

Häufiger Fehler: Der x-Wert des Maximums ist 1, der Maximalwert der Funktion ist jedoch 1/e.