Der Buchstabe geht auf Leonhard Euler zurück, der ihn 1731 in einem Brief an Christian Goldbach und 1736 im Druck in seiner Mechanica verwendete. Warum er e gewählt hat, weiß niemand sicher. Die Behauptung, er habe den Buchstaben nach seinem eigenen Namen gewählt, ist nicht belegt; eine Vermutung lautet, e sei einfach der nächste freie Vokal nach a gewesen, das er bereits benutzte.

e hoch 1 ist e selbst, etwa 2,71828, denn jede Zahl hoch 1 bleibt unverändert. Zum Vergleich: e^0 = 1, e^-1 ist etwa 0,3679 (das ist 1/e), und e^2 ist etwa 7,389.

Wie gebe ich e in den Taschenrechner ein?

Suchen Sie die Taste e^x. Bei vielen wissenschaftlichen Taschenrechnern ist sie die Zweitbelegung der Taste ln, weil e^x und ln x einander umkehren. Mit der Eingabe e^1 erscheint e selbst, etwa 2,718281828. Wer 2,718 von Hand eintippt, erhält nur einen gerundeten Wert; verwenden Sie für mehrstufige Rechnungen deshalb das e des Taschenrechners.

Ist die Eulersche Zahl dasselbe wie die Eulersche Konstante?

Nein. Die Eulersche Zahl e ist etwa 2,71828 und die Basis des natürlichen Logarithmus. Die Eulersche Konstante, auch Euler-Mascheroni-Konstante genannt und γ geschrieben, ist etwa 0,5772. Sie misst, wie weit die harmonische Summe 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n mit wachsendem n über ln n liegt, und niemand weiß bisher, ob sie irrational ist.

Eulersche Zahl e: Was sie ist und warum sie 2,718 beträgt

Geben Sie „e hoch 1“ in einen Taschenrechner ein, und er antwortet 2,718281828. Diese Zahl ist die Eulersche Zahl, geschrieben e, und sie gehört zu den wenigen Konstanten, auf die jedes Gebiet der Mathematik irgendwann stößt: Zinseszins, Bevölkerungswachstum, radioaktiver Zerfall, Wahrscheinlichkeitsrechnung und die gesamte Analysis.

Dieser Leitfaden gibt zuerst die kurze Antwort und zeigt dann, woher der Wert kommt, zwei Wege, ihn zu berechnen, und warum die Analysis e als natürliche Basis für Exponenten betrachtet. Wenn Exponenten selbst noch wackelig wirken, beginnen Sie mit Exponenten intuitiv verstehen und kommen Sie danach zurück.

Die kurze Antwort: Was e ist und ihre wichtigsten Werte

Der Wert von e beträgt etwa 2,71828. Genauer ist es 2,718281828459045..., und die Dezimalstellen enden nie und wiederholen sich nicht, weil e irrational ist (MathWorld). Sie ist die Basis des natürlichen Logarithmus und der natürlichen Exponentialfunktion $e^{x}$ . Manchmal begegnet Ihnen auch der Name Napiersche Konstante, nach John Napier (Wikipedia).

Die meisten Suchanfragen zu e wollen eigentlich einen von wenigen Werten wissen. Hier sind sie, auf sechs oder mehr gültige Stellen berechnet:

Ausdruck	Wert	Warum
$e^{1}$	2,718282	Jede Zahl hoch 1 bleibt unverändert
$e^{0}$	1	Jede von null verschiedene Zahl hoch 0 ist 1
$e^{-1}$	0,367879	Dasselbe wie $1/e$
$e^{2}$	7,389056	$e \times e$
$e^{1/2}$	1,648721	Dasselbe wie $\sqrt{e}$
$\ln e$	1	Der natürliche Logarithmus kehrt $e^{x}$ um

e hoch 1 ist also einfach e, etwa 2,71828. Bei der ersten Potenz passiert nichts Besonderes; das Besondere ist die Basis selbst.

Woher e kommt: der Zinseszins

Jakob Bernoulli stieß 1683 beim Studium der stetigen Verzinsung auf diese Zahl und zeigte, dass sie zwischen 2 und 3 liegen muss (MacTutor). Seine Frage lässt sich leicht stellen.

Legen Sie 1 Euro auf ein Konto, das 100 % Zinsen pro Jahr zahlt. Wird einmal am Jahresende ausgezahlt, haben Sie 2 Euro. Teilen Sie nun dieselben 100 % in n kleinere Zahlungen auf, die jeweils $1/n$ des Guthabens hinzufügen, und lassen Sie jede Zahlung auf die vorherigen wieder Zinsen tragen. Nach einem Jahr haben Sie

\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}

Euro. Häufigere Verzinsung zahlt mehr, aber nicht unbegrenzt viel:

Verzinsung	n	Guthaben nach einem Jahr
Jährlich	1	2,000000
Halbjährlich	2	2,250000
Vierteljährlich	4	2,441406
Monatlich	12	2,613035
Täglich	365	2,714567
Stündlich	8.760	2,718127
Stetig	n wächst über alle Grenzen	2,718282 = e

Der Schritt von monatlich zu täglich bringt etwa zehn Cent mehr. Der Schritt von täglich zu stündlich bringt weniger als einen halben Cent. Das Guthaben nähert sich einer Obergrenze, die es nie überschreitet, und diese Obergrenze ist e. Genau so definiert der Analysis-Text von OpenStax die Zahl: Wächst m, nähert sich $\left(1 + 1/m\right)^{m}$ einer Zahl, und diese Zahl heißt e (OpenStax Calculus Volume 1, section 1.5). Für einen Zinssatz r über t Jahre ergibt dieselbe Idee die Formel für stetiges Wachstum $A = Pe^{rt}$ .

Zwei Definitionen, die übereinstimmen, und wie schnell jede ans Ziel kommt

Es gibt einen zweiten Weg zur selben Zahl. Addieren Sie 1 geteilt durch jede Fakultät:

e = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}

MathWorld nennt beide Formen als Definitionen von e, und Euler stellte sie in seiner Introductio in analysin infinitorum von 1748 nebeneinander, wo er e auch auf 18 Dezimalstellen angab (MacTutor). Sie liefern dieselbe Zahl, aber mit sehr unterschiedlicher Geschwindigkeit. Hier das Wettrennen der Konvergenz, direkt berechnet; das Ziel ist 2,71828, die ersten fünf Dezimalstellen von e:

Konvergenz-Wettrennen: Grenzwert gegen Reihe

Grenzwert $\left(1 + 1/n\right)^{n}$	Wert	Reihe, verwendete Summanden	Partialsumme
n = 1	2,000000	2 Summanden (bis 1/1!)	2,000000
n = 10	2,593742	4 Summanden (bis 1/3!)	2,666667
n = 100	2,704814	6 Summanden (bis 1/5!)	2,716667
n = 1.000	2,716924	8 Summanden (bis 1/7!)	2,718254
n = 100.000	2,718268	9 Summanden (bis 1/8!)	2,718279
n = 1.000.000	2,718280	10 Summanden (bis 1/9!)	2,718282

Die Reihe hat 2,71828 nach 10 Summanden erreicht. Der Grenzwert braucht ein n von etwa 743.000, bevor er erstmals 2,71828 zeigt, und selbst bei einer Million Schritten ist er an der sechsten Dezimalstelle noch falsch. Der Grund liegt in der Größe der Fehler. Jeder neue Summand mit Fakultät ist viel kleiner als der vorige, sodass der Fehler der Reihe schneller schrumpft als jede Potenz. Der Fehler des Grenzwerts schrumpft ungefähr wie $e/(2n)$ , zehnmal mehr Schritte bringen also nur etwa eine weitere richtige Stelle.

Die praktische Lehre: Der Grenzwert erklärt, warum e existiert (sie ist die Obergrenze des Zinseszinswachstums), und die Reihe ist das Mittel, e tatsächlich zu berechnen.

Warum die Analysis e bevorzugt

Jede Exponentialfunktion $b^{x}$ mit $b > 0$ ist eine Kurve, die im Verlauf immer schneller steigt (oder fällt). Ihre Steigung an jedem Punkt ist proportional zu ihrer Höhe. Bei den meisten Basen ist der Proportionalitätsfaktor eine sperrige Konstante: Bei $2^{x}$ beträgt die Steigung etwa das 0,693-Fache der Höhe, bei $3^{x}$ etwa das 1,099-Fache.

Es gibt genau eine Basis, bei der dieser Faktor 1 ist, sodass die Steigung an jedem Punkt der Höhe entspricht. Diese Basis ist e. OpenStax definiert e im Kapitel über Ableitungen so: als die eindeutige Basis, deren Exponentialfunktion bei $x = 0$ die Steigung 1 hat, woraus

\frac{d}{dx}\, e^{x} = e^{x}

folgt (OpenStax Calculus Volume 1, section 3.9). Eine Funktion, die ihre eigene Ableitung ist, macht die Analysis von Wachstum fast mühelos: Leiten Sie $e^{x}$ ab, und nichts ändert sich; integrieren Sie es, und nichts ändert sich. Wenn die Idee der Ableitung als Steigung neu für Sie ist, baut Ableitungen von Grund auf sie schrittweise auf.

Der natürliche Logarithmus, geschrieben ln, ist die Umkehrfunktion von $e^{x}$ : $\ln(e^{x}) = x$ und $e^{\ln x} = x$ für $x > 0$ . Seine Ableitung ist ebenso sauber, $\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$ . Deshalb nennen Naturwissenschaftler die Basis e „natürlich“: Sie ist die Basis, die die Formeln am kürzesten macht. Unser Leitfaden Logarithmen intuitiv verstehen behandelt ln neben den Basen 10 und 2.

Die Reihe aus dem vorigen Abschnitt ist ebenfalls kein Zufall. Die Maclaurin-Reihe von $e^{x}$ ist $\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}/n!$ (OpenStax Calculus Volume 2, section 6.3); setzen Sie $x = 1$ , und Sie erhalten die Fakultätssumme für e.

Eulersche Zahl, Eulersche Konstante und Eulersche Identität

Eulers Name hängt an so vielen Ergebnissen, dass bei der Suche drei verschiedene Dinge durcheinandergeraten:

Name	Symbol und Wert	Was es ist
Eulersche Zahl	e ≈ 2,71828	Basis des natürlichen Logarithmus; Grenzwert und Reihe von oben
Eulersche Konstante (Euler-Mascheroni)	γ ≈ 0,57722	Der Grenzwert von $1 + \tfrac{1}{2} + \cdots + \tfrac{1}{n} - \ln n$ für wachsendes n
Eulersche Identität	$e^{i\pi} + 1 = 0$	Eine Gleichung, die e, i, π, 1 und 0 verbindet

Auch was über sie bekannt ist, unterscheidet sich. Von e ist bewiesen, dass sie irrational ist und, durch Charles Hermite 1873, transzendent (MathWorld). Bei γ ist bis heute nicht bekannt, ob sie überhaupt irrational ist (MathWorld, Euler-Mascheroni constant). Und die Eulersche Identität ist gar keine Zahl, sondern eine Aussage über e hoch einer imaginären Zahl; unsere Erklärung der Eulerschen Identität zeigt, warum $e^{i\pi}$ bei -1 landet.

Häufige Fehler mit e

e als Variable behandeln. In $e^{x}$ verändert sich x, e nicht. Die Gleichung $e^{x} = 5$ zu lösen heißt, auf beiden Seiten ln zu bilden: $x = \ln 5 \approx 1.609$ .

Zu früh runden. Wer in $e^{3}$ statt e den Wert 2,7 nimmt, erhält 19,683 statt 20,0855. Behalten Sie das e des Taschenrechners bis zum letzten Schritt.

$e^{-1}$ mit $-e$ verwechseln. Ein negativer Exponent bedeutet den Kehrwert: $e^{-1} = 1/e \approx 0.3679$ , und das ist positiv. $-e \approx -2.718$ ist eine andere Zahl.

ln und log durcheinanderbringen. Auf den meisten Taschenrechnern bedeutet „log“ die Basis 10 und „ln“ die Basis e. $\ln e = 1$ , aber $\log e \approx 0.4343$ .

Übungen zu e

Versuchen Sie diese Aufgaben, bevor Sie die Lösungen ansehen:

Wie groß sind ohne Taschenrechner $e^{0}$ , $e^{1}$ und $\ln 1$ ?
Vereinfachen Sie $e^{2} \cdot e^{3}$ und $\ln\left(e^{7}\right)$ .
Lösen Sie $e^{x} = 1$ .

Lösungen: 1, e und 0; $e^{5}$ und 7; $x = 0$ .

Die Logarithmen-Übungen von Math Zen trainieren ln und den Basiswechsel, und die Funktionen-Übungen enthalten Exponentialfunktionen, sodass Sie diese Regeln Aufgabe für Aufgabe zur Gewohnheit machen können.

Häufig gestellte Fragen

Ist e eine rationale Zahl?

Nein. e ist irrational, und ihre Dezimalstellen enden nie und wiederholen sich nicht. Hermite bewies 1873, dass sie außerdem transzendent ist: Sie ist keine Nullstelle eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten außer dem Nullpolynom.

Warum heißt sie e?

Leonhard Euler verwendete den Buchstaben 1731 in einem Brief an Christian Goldbach und 1736 im Druck. Warum er e wählte, weiß niemand sicher; die Geschichte, er habe seinen eigenen Anfangsbuchstaben genommen, wird von Historikern nicht gestützt.

Was ist e^2?

Etwa 7,389. Es ist e mit sich selbst multipliziert, $2.71828 \times 2.71828$ .

Was ist e hoch 0?

Genau 1, wie bei jeder von null verschiedenen Zahl hoch 0.