Logarithmen intuitiv verstehen (ohne Regeln auswendig zu lernen)

Wenn Sie die meisten Erwachsenen fragen, was ein Logarithmus ist, sagen sie entweder "Ich habe es vergessen" oder "etwas mit Exponenten". Keine der beiden Antworten ist falsch. Keine ist nützlich. Und das ist schade, denn der Logarithmus ist eine der elegantesten Ideen in der elementaren Mathematik, und sobald Sie sehen, was er wirklich tut, hört er auf, ein gefürchtetes Thema zu sein, und wird zu einem Werkzeug, nach dem Sie gerne greifen.

Dieser Artikel ist keine Regelübersicht. Es ist ein kurzer Spaziergang durch das, was Logarithmen tatsächlich sind, warum die Regeln so aussehen, wie sie aussehen, und wo sie außerhalb eines Matheklassenzimmers auftauchen. Wenn Sie das Warum verstehen, erledigen sich die Hausaufgaben von selbst.

Beginnen Sie mit der Frage, die Logarithmen beantworten

Exponenten stellen eine Frage in Vorwärtsrichtung: Wenn ich 10 dreimal mit sich selbst multipliziere, was erhalte ich? Antwort: 1000.

Logarithmen fragen umgekehrt: Ich habe 1000. Wie oft habe ich 10 mit sich selbst multipliziert, um hierhin zu gelangen? Antwort: 3.

Das ist das gesamte Konzept. Ein Logarithmus ist die Umkehrung eines Exponenten. Während ein Exponent sagt "führe die Multiplikation aus", sagt ein Logarithmus "zähle die Multiplikationen". Alles andere im Kapitel ist Buchhaltung rund um diese eine Idee.

Ausgeschrieben: Der Logarithmus zur Basis 10 von 1000 ist gleich 3, weil 10 hoch 3 gleich 1000 ist. Wenn Sie zwischen diesen beiden Aussagen hin und her übersetzen können, verstehen Sie Logarithmen bereits. Der Rest ist Übung.

Logarithmen als "wie viele Stellen"

Hier ist eine Möglichkeit, zu spüren, was ein Logarithmus tatsächlich misst. Nehmen Sie eine beliebige ganze Zahl und zählen Sie ihre Stellen.

• 7 hat 1 Stelle.
• 42 hat 2 Stellen.
• 1000 hat 4 Stellen.
• 1.000.000 hat 7 Stellen.

Der Logarithmus zur Basis 10 einer Zahl ist ungefähr eins weniger als die Anzahl ihrer Stellen. Der Logarithmus von 1000 ist 3. Der Logarithmus von 1.000.000 ist 6. Bei Zahlen dazwischen ist der Logarithmus eine Dezimalzahl, die Ihnen sagt, "wie weit Sie schon fortgeschritten sind" zwischen einer Stellenanzahl und der nächsten. Der Logarithmus von 500 beträgt etwa 2,7, weil 500 viel näher an 1000 (einer vierstelligen Zahl) liegt als an 100 (einer dreistelligen Zahl).

Das ist kein Zufall und keine Näherung. Der Logarithmus misst buchstäblich, wie viele Faktoren von zehn in eine Zahl hineinpassen, und die Stellenanzahl ist das, was Sie erhalten, wenn Sie diese Faktoren zählen.

Wenn also jemand sagt "das ist eine logarithmische Skala", meint er: jeder Schritt nach oben entspricht einer weiteren Stelle, nicht einer weiteren Einheit. Der Abstand zwischen 10 und 100 sieht genauso aus wie der Abstand zwischen 100 und 1000, weil beide mit 10 multipliziert werden.

Warum die Basis wichtig ist

Ein Logarithmus hat immer eine Basis. Der Logarithmus zur Basis 10 zählt, wie oft Sie mit 10 multipliziert haben. Der Logarithmus zur Basis 2 zählt, wie oft Sie mit 2 multipliziert haben. Der Logarithmus zur Basis e (der natürliche Logarithmus) zählt, wie oft Sie mit e multipliziert haben, einer bestimmten Zahl um 2,718, die auf natürliche Weise in Wachstumsproblemen auftaucht.

Die Basis ist kein Mysterium. Sie ist einfach der Baustein, mit dem Sie zählen.

• Der Logarithmus zur Basis 2 von 8 ist gleich 3, weil 2 mal 2 mal 2 gleich 8 ist.
• Der Logarithmus zur Basis 2 von 1024 ist gleich 10, weil das 2 hoch 10 ist.
• Der Logarithmus zur Basis 10 von 100 ist gleich 2.
• ln von e ist gleich 1, weil Sie e nur einmal mit sich selbst multipliziert haben.

Wenn Informatiker vom "Logarithmus von n" sprechen, meinen sie normalerweise die Basis 2. Wenn Wissenschaftler vom natürlichen Logarithmus sprechen, meinen sie die Basis e. Wenn ein Taschenrechner "log" ohne angegebene Basis anzeigt, meint er meist die Basis 10. Verschiedene Fachgebiete wählen die Basis, die zu ihrem Problem passt, und Sie können mit einer kleinen Formel jederzeit zwischen ihnen umrechnen.

Die Produktregel ist einfach das Zählen von Multiplikationen

Lehrbücher stellen die Logarithmusregeln als drei isolierte Tatsachen vor:

• log(a mal b) ist gleich log(a) plus log(b)
• log(a geteilt durch b) ist gleich log(a) minus log(b)
• log(a hoch n) ist gleich n mal log(a)

Diese wirken willkürlich. Sie sind es nicht. Jede einzelne folgt aus der Ein-Satz-Definition, mit der wir begonnen haben.

Denken Sie daran: Ein Logarithmus zählt, wie oft Sie multipliziert haben. Wenn Sie 100 mit 1000 multiplizieren, kombinieren Sie etwas, das Sie zweimal multipliziert haben, mit etwas, das Sie dreimal multipliziert haben. Das Ergebnis ist 100.000, was 10 fünfmal multipliziert ist. 2 plus 3 ist 5. Das ist die Produktregel. Nichts weiter.

Dividieren ist das Gegenteil: 1000 geteilt durch 100 bedeutet "Ich habe 10 dreimal multipliziert und dann zwei dieser Multiplikationen entfernt". 3 minus 2 ist 1. Das ist 10 hoch 1, also 10. Stimmt.

Und eine Zahl in eine Potenz zu erheben bedeutet, dieselbe Multiplikation immer und immer wieder durchzuführen. Wenn 100 die Zahl 10 zweimal multipliziert ist, dann ist 100 hoch 3 die Zahl 10 zweimal, dann nochmal zweimal und dann nochmal zweimal multipliziert. 2 plus 2 plus 2 ist 6. Das ist die Exponentenregel.

Sobald Sie alle drei Regeln als "Multiplikationen zählen und die Zählungen kombinieren" sehen, müssen Sie sie nie wieder einzeln auswendig lernen.

Der natürliche Logarithmus, kurz erklärt

Ein Teil, der die Leute oft verwirrt, ist der natürliche Logarithmus, geschrieben als ln. Er verwendet die merkwürdige Basis e, ungefähr 2,71828.

Warum eine so seltsame Zahl? Weil sich die Gleichungen dramatisch vereinfachen, wenn Sie kontinuierliches Wachstum untersuchen (Populationen, kontinuierlich verzinstes Geld, radioaktiver Zerfall, chemische Reaktionen) und die Basis e verwenden. Die Änderungsrate von e hoch x ist e hoch x selbst, eine Abkürzung, die die Analysis viel sauberer macht. Sie müssen das jetzt nicht vollständig verstehen. Sie müssen nur darauf vertrauen, dass e nicht willkürlich ist. Es ist die Basis, die die Natur den Mathematikern immer wieder zurückreicht.

Wenn Sie ein wenig mehr darüber erfahren möchten, warum Änderungsraten wichtig sind und warum Mathematiker immer wieder auf sie zurückgreifen, geht unser Beitrag über Ableitungen von Grund auf durch dieselbe "Hineinzoomen"-Intuition, die zu e führt.

Bei den meisten Hausaufgaben behandeln Sie ln genauso wie den Logarithmus zur Basis 10. Alle Regeln sind gleich. Nur die Basis ist anders.

Wo Logarithmen im echten Leben auftauchen

Logarithmische Skalen sind überall, weil die Welt die Angewohnheit hat, Größen zu erzeugen, die viele Größenordnungen umspannen. Wenn Zahlen von 1 bis 10.000.000 reichen, ist ein lineares Diagramm nutzlos. Eine logarithmische Skala verwandelt diesen Bereich in eine überschaubare Linie.

Dezibel messen die Schallintensität auf einer logarithmischen Skala. Ein Gespräch mit 60 Dezibel ist nicht doppelt so laut wie ein Flüstern mit 30 Dezibel. Es ist tausendmal intensiver. Die logarithmische Skala verbirgt den riesigen multiplikativen Unterschied hinter kleinen, freundlichen Zahlen.

Die Richterskala für Erdbeben tut dasselbe. Ein Erdbeben der Stärke 7 setzt etwa 32-mal mehr Energie frei als eines der Stärke 6. Die Zahlen sehen nahe beieinander aus. Die physikalischen Realitäten nicht.

pH in der Chemie ist eine logarithmische Skala für die Wasserstoffionenkonzentration. Eine Flüssigkeit mit pH 4 hat 10-mal mehr Wasserstoffionen als eine mit pH 5 und 100-mal mehr als eine mit pH 6. Jede Einheit ist ein Faktor von zehn.

Sternhelligkeit (das Magnitudensystem, das Astronomen verwenden) ist logarithmisch, und so ist auch die Art und Weise, wie unsere Ohren und Augen Lautstärke und Helligkeit wahrnehmen. Die Evolution scheint uns mit logarithmischen Sinnen ausgestattet zu haben, vermutlich weil die Welt, in der wir uns entwickelt haben, voller exponentiell variierender Reize war.

Wenn Sie im Naturwissenschaftsunterricht auf eine seltsame Skala treffen und sich fragen "warum sind die Abstände so merkwürdig?", lautet die Antwort fast immer: Es ist eine logarithmische Skala, weil die rohen Zahlen zu viele Größenordnungen umspannen würden, um auf die Seite zu passen.

Warum der Matheunterricht dies schlecht vermittelt

Viele Lernende begegnen Logarithmen in einer Einheit über das Lösen von Exponentialgleichungen, zwei Monate nachdem sie aufgehört haben, sich für Exponenten zu interessieren. Die Regeln erscheinen vor der Bedeutung, die Bedeutung erscheint in einem einzigen Satz, der in Absatz drei vergraben ist, und die Hausaufgaben bestehen hauptsächlich aus algebraischer Manipulation.

Wenn Sie Logarithmen so gelernt haben und jetzt das Gefühl haben, dass sie bei Ihnen "nie Klick gemacht" haben, dann liegt das nicht daran, dass Sie schlecht in Mathe wären. Es liegt daran, dass die Reihenfolge umgekehrt war. Die Definition ist die ganze Geschichte. Die Regeln sind Konsequenzen. Wenn Sie sich an "ein Logarithmus zählt Multiplikationen" verankern, wird jedes Problem zu einer Übersetzungsübung zwischen zwei gleichwertigen Schreibweisen derselben Idee.

Das ist dasselbe Umdenken, das bei so vielen Mathethemen funktioniert. Die Regeln wirken mysteriös, bis Sie die Geschichte in einfacher Sprache erzählen können, und dann wirken sie unausweichlich. Genau deshalb ist aktives Erklären als Lerntechnik so wirksam für Mathematik: Sie können sich nicht durch ein Logarithmus-Problem sprechen, wenn Sie nicht wissen, was ein Logarithmus ist, und der Versuch es zu erklären zeigt genau auf, wo Ihr Verständnis zusammenbricht.

Üben, bis es sich natürlich anfühlt

Wenn Sie diesen Text einmal lesen, erhalten Sie das Konzept. Es automatisch zu machen ist etwas anderes, und das erfordert kurze, bewusste Übung. Ein paar Vorschläge:

Drillen Sie die Übersetzung. Verbringen Sie fünf Minuten pro Tag damit, zwischen Exponentialform und Logarithmusform hin und her zu übersetzen. 2 hoch 5 ist 32. Daher ist der Logarithmus zur Basis 2 von 32 gleich 5. Machen Sie zwanzig davon. Es fühlt sich trivial an. Es ist genau die Geläufigkeit, die Sie brauchen.

Skizzieren Sie logarithmische Skalen von Hand. Zeichnen Sie eine Zahlenlinie von 1 bis 10.000 auf einer logarithmischen Skala. Wohin kommt 100? Wohin kommt 500? Das ist eine der am meisten unterschätzten Methoden, um zu verinnerlichen, was ein Logarithmus tatsächlich misst.

Machen Sie gemischte Übungen. Drillen Sie nicht eine Stunde lang Logarithmus-Aufgaben am Stück. Mischen Sie sie mit den anderen Themen, die Sie gerade lernen. Verschachteltes Üben ist das, was wirklich langfristige Behaltensleistung aufbaut, und es hält Sie in der Gewohnheit zu fragen "welches Werkzeug passt hier?" statt "was haben wir gerade in Kapitel 8 gelernt?".

Wo Math Zen ins Spiel kommt

Die Bucket-Progression von Math Zen eignet sich gut für Logarithmen, weil das Thema kurze, gemischte Übungseinheiten gegenüber Büffeln belohnt. Die frühen Buckets konzentrieren sich auf die Übersetzung zwischen Exponential- und Logarithmusform, die mittleren Buckets drillen die Produkt-, Quotienten- und Potenzregel mit kleinen Zahlen, und die späteren Buckets bearbeiten Basiswechsel und das Lösen von Exponentialgleichungen. Weil die App Logarithmus-Aufgaben mit verwandten Algebra- und Exponenten-Aufgaben mischt, bauen Sie die Mustererkennung auf, die Sie erkennen lässt, wann ein Logarithmus das richtige Werkzeug ist, und genau darin besteht der Großteil der eigentlichen Fähigkeit.

Wenn Sie feststellen, dass Sie zu den Regeln greifen, bevor Sie über die Bedeutung nachdenken, halten Sie inne und übersetzen Sie die Aufgabe zurück in den Rahmen "wie oft haben wir multipliziert?". Das ist fast immer die Abkürzung.

Das Fazit

Ein Logarithmus ist nichts Separates vom Exponenten. Es ist dieselbe Beziehung rückwärts gelesen. Wenn Sie log zur Basis b von x gleich y sehen, ist der gesamte Inhalt: b y-mal mit sich selbst multipliziert ist gleich x. Alles andere, die Regeln, der natürliche Logarithmus, die Skalen in den Naturwissenschaften, die Graphen, die merkwürdig aussehen, sind nur Konsequenzen dieser einen Umkehrung.

Wenn Sie bei einer Logarithmus-Aufgabe hängenbleiben, gehen Sie nicht direkt zu den Regeln. Gehen Sie zurück zur Definition. Fragen Sie "wie oft haben wir multipliziert?" und lassen Sie die Antwort Ihnen sagen, wie hoch der Logarithmus ist. Tun Sie das eine Woche lang in kurzen Übungseinheiten, und das Thema hört auf, eine Wand zu sein, und wird zu einer Linse.