Verkettete Funktionen verstehen: Reihenfolge, Werte, Definitionsmenge

Ein Lieferdienst berechnet 3 Dollar pro Kilometer und danach eine Buchungsgebühr von 5 Dollar. Bei einer Fahrt über 4 Kilometer multiplizieren Sie zuerst 4 mit 3 und addieren dann 5. Das Ergebnis der ersten Regel wird durch eine zweite Regel verarbeitet. Genau das ist eine Funktionsverkettung.

Die Schreibweise wirkt komplizierter als der Vorgang. Wenn $g(x)=3x$ den Fahrpreis nach Strecke berechnet und $f(x)=x+5$ die Gebühr hinzufügt, beträgt der Gesamtpreis $f(g(4))=f(12)=17$ Dollar. Die innere Regel wird zuerst ausgeführt. Die Gebühr darf nicht vor der Multiplikation zur Strecke addiert werden, sofern der Tarif dies nicht ausdrücklich vorgibt.

Die Reihenfolge von innen nach außen lesen

Bei einer Verkettung steht eine Funktion innerhalb einer anderen:

$$(f\circ g)(x)=f(g(x))$$

Lesen Sie dies als „$f$ nach $g$“. Berechnen Sie zuerst $g(x)$. Verwenden Sie dieses Ergebnis anschließend als Eingang für $f$. Der Kreis bezeichnet die Verkettung, keine Multiplikation. Der Abschnitt zur Funktionsverkettung bei OpenStax definiert diese Operation und stellt die Reihenfolge klar.

Nehmen Sie $f(x)=2x+1$ und $g(x)=x^2-3$. Für $f(g(x))$ ersetzen Sie die Eingabestelle in $f$ durch den gesamten Ausdruck $x^2-3$:

$$f(g(x))=2(x^2-3)+1=2x^2-5$$

Bei $x=4$ liefert die innere Regel $g(4)=16-3=13$, die äußere Regel danach $f(13)=27$. Der zusammengesetzte Ausdruck bestätigt das Ergebnis: $2(4)^2-5=27$. Wenn Sie die Rechnung in zwei Schritten mit dem zusammengefassten Ausdruck vergleichen, fällt eine falsch gesetzte Klammer auf.

Die Funktionsschreibweise macht die Eingabestelle sichtbar. Wenn $f(t)=2t+1$ gilt, folgt $f(x^2-3)=2(x^2-3)+1$. Der Buchstabe für die Eingabestelle ändert die Regel nicht. Unser Leitfaden zu Funktionen erklärt Eingaben, Ausgaben und Definitionsmengen, bevor Regeln verkettet werden.

Die Reihenfolge umkehren und vergleichen

Bei denselben Funktionen beginnt $g(f(x))$ stattdessen mit $f$:

$$g(f(x))=(2x+1)^2-3=4x^2+4x-2$$

Bei $x=4$ ist $f(4)=9$ und anschließend $g(9)=78$. Das ist nicht der Wert 27 aus $f(g(4))$. Beide Verkettungen sind gültig, beantworten aber verschiedene Fragen. Der Unterschied ist bereits vor der Umformung erkennbar: Bei der einen Reihenfolge wird vor dem Verdoppeln quadriert, bei der anderen vor dem Quadrieren verdoppelt und eins addiert.

Eine zufällige Übereinstimmung an einer Eingabe macht zwei verkettete Funktionen nicht identisch. Für Gleichheit als Funktionen müssen die Regeln auf ihrem gemeinsamen Bereich übereinstimmen und ihre Definitionsmengen gleich sein. In gewöhnlichen Aufgaben berechnen und vereinfachen Sie beide Ausdrücke. Denken Sie daran, dass $f(g(x))$ weder $g(f(x))$ noch das Produkt $f(x)g(x)$ ist.

Eine hilfreiche Skizze ist $x\xrightarrow{g}g(x)\xrightarrow{f}f(g(x))$. Zeichnen Sie den ersten Pfeil ein, bevor Sie Werte einsetzen. Das ist besonders nützlich, wenn die innere Regel Brüche, Wurzeln oder eine Wertetabelle enthält.

Werte aus einer Tabelle oder einem Graphen bestimmen

Für eine Verkettung brauchen Sie nicht unbedingt Formeln. Nehmen Sie diese Tabelle:

$x$	1	2	3	4
$g(x)$	3	4	1	2
$f(x)$	8	6	9	7

Für $f(g(2))$ lesen Sie zuerst $g(2)=4$ aus der ersten Zeile. Verwenden Sie danach 4 als Eingang für $f$: $f(4)=7$. Das Ergebnis ist 7. In umgekehrter Reihenfolge ist $f(2)=6$, doch für $g(6)$ enthält die Tabelle keinen Wert. $g(f(2))$ lässt sich daraus nicht ablesen. Der Wert könnte existieren, falls die vollständige Funktion an anderer Stelle definiert ist; die gezeigten Tabellenwerte belegen ihn nicht.

Bei einem Graphen gehen Sie ebenso vor. Lesen Sie bei Eingang 2 zuerst die Höhe des Graphen von $g$, beispielsweise 4. Lesen Sie dann beim Eingang 4 die Höhe des Graphen von $f$, beispielsweise 7. Die erste Höhe wird zur zweiten waagerechten Koordinate. Lesen Sie nicht beide Höhen bei $x=2$ ab, um sie anschließend zu kombinieren. Hat einer der Graphen am benötigten Eingang keinen Punkt, ist die Verkettung dort nicht definiert.

Unterscheiden Sie „in dieser Teiltabelle nicht angegeben“ von „außerhalb der Definitionsmenge“. Eine kurze Tabelle kann einen vorhandenen Wert einfach auslassen. Ein offener Punkt im Graphen oder ein angegebener Endpunkt kann dagegen zeigen, dass ein Wert ausgeschlossen ist. Benennen Sie die vorliegende Information, statt einen fehlenden Ausgabewert zu erfinden.

Die Definitionsmenge vor dem Vereinfachen prüfen

Die Definitionsmenge von $f(g(x))$ hat zwei Bedingungen. Erstens muss $x$ zur Definitionsmenge von $g$ gehören. Zweitens muss das Ergebnis $g(x)$ als Eingang für $f$ zulässig sein. OpenStax formuliert die Regel genau über diese Übergabe von Eingang und Ausgang.

Nicht der gesamte Wertebereich von $g$ muss in die Definitionsmenge von $f$ passen, damit die Verkettung für einige Eingaben existiert. Behalten Sie nur Eingaben, bei denen beide Schritte funktionieren. Quadrieren erlaubt zum Beispiel jede reelle Zahl, während eine anschließende Quadratwurzel nur nichtnegative Ergebnisse akzeptiert. Da Quadrate nichtnegativ sind, funktioniert diese Kombination für alle reellen Eingaben. Ersetzen Sie die innere Regel durch eine Subtraktion, kann die erlaubte Menge kleiner werden. Prüfen Sie den tatsächlich weitergegebenen Wert, nicht nur die Formeln getrennt voneinander.

Seien $g(x)=x-1$ und $f(t)=\sqrt{t}$ mit reellen Ergebnissen gegeben. Die innere Regel akzeptiert jede reelle Zahl, die äußere Quadratwurzel jedoch nur nichtnegative Eingaben. Daher gilt:

$$f(g(x))=\sqrt{x-1},\qquad x\geq1$$

Kehren Sie die Reihenfolge um. Jetzt läuft zuerst $f(x)=\sqrt{x}$, danach zieht $g$ eins ab:

$$g(f(x))=\sqrt{x}-1,\qquad x\geq0$$

Die Ausdrücke und ihre Definitionsmengen unterscheiden sich. Bei $x=0$ ergibt die zweite Verkettung $-1$, während die erste über den reellen Zahlen nicht definiert ist. Dieser Vergleich sagt mehr aus, als nur eine Eingabe zu finden, bei der die Funktionswerte verschieden sind.

Ein Nenner bringt eine weitere Bedingung mit sich. Seien $g(x)=1/(x-2)$ und $f(t)=t+3$. Dann gilt $f(g(x))=1/(x-2)+3$, aber $x=2$ bleibt ausgeschlossen, weil die innere Regel dort nicht definiert ist.

Kürzen stellt eine ursprünglich verbotene Eingabe nicht wieder her. Sei $g(x)=(x^2-1)/(x-1)$, nur definiert für $x\ne1$, und sei $f(t)=t^2$. Für erlaubte Eingaben können Sie $g(x)$ zu $x+1$ vereinfachen. Die Verkettung sieht dann aus wie $(x+1)^2$, ihre Definitionsmenge bleibt aber $x\ne1$. Bei $x=1$ verlangt die ursprüngliche innere Funktion eine Division durch null. Ein Polynom, das an allen anderen Stellen übereinstimmt, kann diese Lücke nur durch die Definition einer neuen Funktion füllen.

Eine längere Regel in Stufen zerlegen

Eine Verkettung lässt sich auch rückwärts lesen, um den Aufbau einer Formel zu beschreiben. Nehmen Sie $h(x)=\sqrt{3x+2}$. Eine mögliche Zerlegung verwendet zuerst $g(x)=3x+2$ und danach $f(t)=\sqrt{t}$. Damit gilt $h=f\circ g$. Die Zerlegung zeigt die Definitionsmenge schnell: Es muss $3x+2\geq0$ gelten, also $x\geq-2/3$.

Es kann mehrere gültige Zerlegungen geben. Die innere lineare Regel ließe sich in „mit 3 multiplizieren“ und „2 addieren“ aufteilen, bevor als dritter Schritt die Quadratwurzel folgt. Entscheidend ist, dass die angegebene Reihenfolge für jede zulässige Eingabe wieder die ursprüngliche Regel ergibt.

Vergleichen Sie für eine Graphverschiebung $f(x)=x^2$ mit $f(x-2)=(x-2)^2$. Die Änderung liegt innerhalb der Eingabestelle, daher verschiebt sich die Parabel um 2 nach rechts. Bei $f(x)+2=x^2+2$ wird erst nach $f$ addiert, daher verschiebt sich der Graph um 2 nach oben. Hier zeigt sich die Verkettung: „vor dem Quadrieren 2 abziehen“ ist etwas anderes als „nach dem Quadrieren 2 addieren“. Unser Leitfaden zur Algebra hilft, wenn das Einsetzen noch ungewohnt ist.

Drei unterschiedliche Kontrollen üben

1. Zwei Reihenfolgen. Seien $f(x)=x+4$ und $g(x)=2x$ gegeben. Berechnen Sie beide Verkettungen. Die Ergebnisse sind $f(g(x))=2x+4$ und $g(f(x))=2x+8$. Bei $x=3$ liefern sie 10 und 14. Die Reihenfolge bestimmt, wann die 4 addiert wird.

2. Eine Definitionsbedingung. Seien $f(t)=1/t$ und $g(x)=x^2-9$. Dann ist $f(g(x))=1/(x^2-9)$. Schließen Sie $x=3$ und $x=-3$ aus, weil beide den äußeren Nenner null werden lassen. Das innere Polynom akzeptiert dagegen jede reelle Zahl.

3. Ein Tabellenwert. Berechnen Sie mit der Tabelle oben $g(f(3))$. Zuerst ist $f(3)=9$. Die Tabelle enthält keinen Eintrag für $g(9)$ und liefert daher nicht genügend Informationen. Das ist eine vollständige Antwort und keine gescheiterte Rechnung.

Nennen Sie nach jeder Aufgabe die Regel, die zuerst ausgeführt wurde, ihren Ausgabewert und die Frage, ob die nächste Regel diesen Wert akzeptiert. Prüfen Sie dann eine numerische Eingabe anhand Ihrer algebraischen Lösung. Im Funktionenbereich von Math Zen finden Sie Verkettungen neben Aufgaben zu Definitions- und Wertebereichen und können die Übergabe gesondert üben.

Eine Umkehrfunktion ist ein Sonderfall, bei dem eine Regel die andere auf geeigneten Definitionsmengen rückgängig macht. Sie brauchen Umkehrfunktionen nicht, um normale Verkettungen zu berechnen. Für diesen Leitfaden genügt die verlässliche Reihenfolge: inneren Ausgang finden, als äußeren Eingang verwenden, danach die Definitionsmenge prüfen.