Algebra intuitiv verstehen (warum x nicht furchteinflößend ist)

Erwachsene, die eine Rechnung aufteilen, ein Rezept verdoppeln oder den Benzinverbrauch im Kopf abschätzen können, erstarren in dem Moment, in dem jemand 3x + 5 = 14 an eine Tafel schreibt. Die Arithmetik ist dieselbe Arithmetik, die sie ohnehin jeden Tag anwenden. Das Einzige, was sich geändert hat, ist, dass über eine der Zahlen ein Buchstabe geklebt wurde. Diese kleine Änderung ist der Punkt, an dem die meisten Menschen zum ersten Mal beschließen, dass sie schlecht in Mathe sind.

Die Lösung ist klein, und sie ist keine Liste von Regeln. Algebra ruht auf einer einzigen Idee, und sobald diese Idee Klick macht, verwandelt sich jede Regel im Lehrbuch in eine Konsequenz statt in eine neue Sache, die man auswendig lernen muss. Dieser Artikel ist das Bild davon, was Algebra tatsächlich ist, warum jede Operation so aussieht, wie sie aussieht, und wie das Thema mit dem Rest der Mathematik zusammenhängt, der Ihnen jemals begegnen wird.

Die eine Idee: Ein Buchstabe ist eine Zahl, die Sie noch nicht gefunden haben

Der zentrale Trick der Algebra besteht darin, einer Zahl, die Sie noch nicht kennen, einen Namen zu geben und dann diesen Namen durch dieselbe Arithmetik zu jagen, die Sie anwenden würden, wenn die Zahl direkt vor Ihnen läge.

Wenn ein Rezept sagt "verwenden Sie die Hälfte des Zuckers in der Packung", behandeln Sie "den Zucker in der Packung" als eine Größe, die Sie manipulieren können, obwohl Sie sie nicht abgemessen haben. Das ist Algebra. Der einzige Unterschied zwischen der Küche und 3x + 5 = 14 ist, dass die Küche Sie nie auffordert, Ihre Überlegungen aufzuschreiben.

Eine Variable wie x ist kein mysteriöses Symbol. Sie ist ein Platzhalter. Welche Zahl auch immer dahintersteckt, diese Zahl verhält sich wie eine Zahl: Sie können zu ihr addieren, sie multiplizieren, sie dividieren, sie quadrieren. Der Buchstabe ist eine Kurzschrift, damit Sie nicht den Rest der Seite "die unbekannte Zahl" sagen müssen.

Diese Verschiebung der Sichtweise ist klein, aber sie nimmt den Großteil der Angst. Algebra ist keine neue Art von Mathematik. Sie ist die Arithmetik, die Sie ohnehin schon machen, mit Platzhaltern in einigen der Lücken.

Gleichungen sind Aussagen über Gleichgewicht

Die nächste Idee ist das Gleichheitszeichen. Die Schule unterrichtet "=" oft als das Symbol, das vor der Antwort kommt, wie eine Taste am Taschenrechner. In der Algebra bedeutet "=" etwas anderes. Es bedeutet, dass die beiden Seiten dieselbe Sache sind, auf zwei verschiedene Arten geschrieben.

3x + 5 = 14 sagt: Was auch immer 3x + 5 ergibt, diese Zahl heißt auch 14. Die beiden Seiten sind eine einzige Größe in zwei verschiedenen Kostümen.

Deshalb funktioniert "tu auf beiden Seiten dasselbe". Stellen Sie sich eine ausbalancierte Waage vor, mit 3x + 5 Gramm auf der linken und 14 Gramm auf der rechten Seite. Wenn Sie 5 Gramm von einer Seite entfernen, müssen Sie 5 von der anderen entfernen, damit die Waage im Gleichgewicht bleibt. Algebra ist genau diese Waage, und "löse nach x auf" ist die Frage "welche Zahl auf der linken Seite bringt die Waage mit der 14 auf der rechten Seite ins Gleichgewicht".

Subtrahieren Sie 5 von beiden Seiten: 3x = 9. Dividieren Sie beide Seiten durch 3: x = 3. Die Überlegung ist mechanisch, aber sie ist auch konkret. Jeder Schritt ist eine Bewegung, die Sie auf einer echten Waage machen würden.

Warum Buchstaben? Warum nicht einfach Worte?

Schüler fragen manchmal, warum Mathematiker Buchstaben verwenden, statt "die unbekannte Zahl" zu sagen. Es ist eine berechtigte Frage, und die Antwort ist rein praktisch.

Buchstaben sind kurz. Sobald eine Aufgabe mehr als eine Unbekannte hat ("die Anzahl der Äpfel plus zweimal die Anzahl der Orangen ergibt zwölf"), wird das Ausschreiben schnell mühsam. Die Notation der Algebra erlaubt Ihnen, a + 2b = 12 statt eines Satzes zu schreiben, und die kompakte Form ist leichter zu lesen und zu manipulieren.

Buchstaben sind außerdem wiederverwendbar. Dieselbe Gleichung ax + b = c, mit unterschiedlichen Zahlen, die für a, b und c eingesetzt werden, beschreibt Tausende von realen Situationen. Algebra ist die Sprache, um über all diese Situationen auf einmal zu sprechen. Wie wir im Beitrag über Brüche angemerkt haben, ist Algebra weitgehend "Brüche mit Buchstaben darin", und die Buchstaben sind das, was die Regeln auf jede Aufgabe anwendbar macht und nicht nur auf die eine, die vor Ihnen liegt.

Lösen ist Rückgängigmachen

Sobald Sie akzeptieren, dass Algebra Gleichgewicht ist, reduziert sich das Lösen einer Gleichung auf einen einzigen Zug: Machen Sie rückgängig, was mit x gemacht wurde.

Wenn 3x = 9 ist, wurde mit x multipliziert, also dividieren Sie. Wenn x + 4 = 10 ist, wurde zu x addiert, also subtrahieren Sie. Wenn x/2 = 7 ist, wurde x dividiert, also multiplizieren Sie. Jede Operation hat eine Umkehrung, und Lösen ist die Praxis, die Umkehrung auf beide Seiten anzuwenden, bis x allein steht.

Auch die Reihenfolge spielt eine Rolle. In einer Gleichung wie 3x + 5 = 14 wurde x mit 3 multipliziert und dann 5 hinzugefügt. Um das rückgängig zu machen, kehren Sie die Reihenfolge um: zuerst subtrahieren, dann dividieren. Das ist dieselbe Logik wie das Ausziehen von Schuhen und Socken: Die Socken kamen zuerst an, also kommen sie zuletzt herunter.

Wenn die Bedeutung sitzt, folgt das Verfahren. Wenn nur das Verfahren auswendig gelernt wurde, vergessen Schüler die Reihenfolge, geraten in Panik und greifen nach einem Flussdiagramm, an das sie sich nur halb erinnern.

Das Distributivgesetz ist einfach Verteilen

Die Zeile 3(x + 4) = 3x + 12 ist eine berühmte Quelle für Schülerfrust. Warum multipliziert man die 3 mit beiden Termen in der Klammer? Warum "verteilt" sich die 3?

Weil 3(x + 4) wörtlich drei Gruppen von (x + 4) bedeutet. Drei Gruppen von "x und 4" sind drei x und drei 4er, also 3x + 12. Es ist keine Regel zum Auswendiglernen. Es ist das, was "drei von etwas" bedeutet, wenn das Etwas eine Summe ist.

Dasselbe Bild erklärt, warum 3(x + 4) nicht 3x + 4 ist. Wenn Sie "drei Gruppen von x und 4" sagen würden und nur das x multiplizieren, hätten Sie drei x und eine einzige 4, was überhaupt nicht das ist, was "drei Gruppen" bedeutet.

Wenn Schüler das Distributivgesetz falsch anwenden, ist die schnellste Lösung keine erneute Erklärung der Regel. Es ist eine schnelle Übersetzung zurück in "Gruppen von". Der Fehler korrigiert sich meistens innerhalb eines Satzes von selbst.

Variablen auf beiden Seiten

Wenn ein Schüler zum ersten Mal eine Gleichung mit x auf beiden Seiten sieht, etwa 3x + 5 = x + 13, ist der Impuls, in Panik zu geraten. Es gibt nichts, worüber man in Panik geraten müsste. Sie können x über das Gleichheitszeichen schieben, genauso wie Sie Zahlen schieben, denn x ist nichts anderes als Zahlen in Verkleidung.

Subtrahieren Sie x auf beiden Seiten: 2x + 5 = 13. Jetzt gibt es nur noch ein x. Subtrahieren Sie 5: 2x = 8. Dividieren Sie durch 2: x = 4. Das Verfahren ist dieselbe Gleichgewichtslogik. Die einzige Anpassung ist die Erkenntnis, dass Sie eine Variable genauso leicht subtrahieren können wie eine Zahl, weil beides Größen sind.

Das ist der Moment, in dem viele Lernende aufhören, der Algebra zu vertrauen, weil die Symbolmanipulation nicht mehr auf ein offensichtliches Bild abgebildet wird. Der Trick ist, sich daran zu erinnern, dass x immer noch nur eine Zahl ist, auch wenn es an zwei Stellen auftaucht. Welche Zahl auch immer dahintersteckt: Wenn man von jeder Seite ein x entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.

Textaufgaben: Übersetzung, nicht Mathematik

Der Großteil der Algebra, die Menschen gehasst haben, war in Textaufgaben vergraben. "Wenn ein Zug Chicago mit sechzig Meilen pro Stunde verlässt..." Die Arithmetik in diesen Aufgaben ist selten schwer. Es ist die Übersetzung vom Deutschen in die Algebra, die die Menschen ins Stolpern bringt.

Es gibt eine kleine Menge von Phrasen, die fast immer dasselbe bedeuten. "Ist" oder "ergibt" wird zu "=". "Von" bedeutet meist Multiplikation. "Weniger als" bedeutet Subtraktion, mit umgekehrter Reihenfolge: "fünf weniger als x" ist x minus 5, nicht 5 minus x. "Summe" bedeutet Addition. "Produkt" bedeutet Multiplikation. "Pro" bedeutet Division. Sich dieses Wörterbuch aufzubauen ist die halbe Miete.

Eine Textaufgabe wird in drei Schritten gelöst:

• Benennen Sie die Unbekannte. ("Sei x die Anzahl der Äpfel.")
• Übersetzen Sie den deutschen Satz in eine Gleichung, eine Phrase nach der anderen.
• Lösen Sie die Gleichung. (Die Arithmetik, also der einfache Teil, sobald die Gleichung steht.)

Der schwerste Schritt ist fast immer die Übersetzung, und der Weg, darin besser zu werden, ist Übung gemischt mit Geduld. Lesen Sie den Satz laut. Identifizieren Sie, was unbekannt ist. Schreiben Sie auf, was jede Phrase darstellt, bevor Sie die vollständige Gleichung schreiben. Sobald die Gleichung auf dem Papier steht, ist der Rest mechanisch.

Wo Algebra nach der achten Klasse auftaucht

Viele Schüler nehmen an, dass Algebra ein Einjahresthema ist, das endet, wenn das Lehrbuch zugeklappt wird. Das Gegenteil ist wahr. Algebra wird wichtiger, nicht unwichtiger, je schwerer die Mathematik wird.

Geometrie ist voller Algebra. Die Berechnung der fehlenden Seite eines Dreiecks, das Bestimmen der Fläche einer unregelmäßigen Form oder der Beweis eines Resultats über parallele Linien lassen sich fast immer auf das Lösen einer Gleichung zurückführen.

Analysis ist im Kern fortgeschrittene Algebra. Die Steigung einer Kurve, die Fläche darunter, die Änderungsrate einer Größe, all das ist über algebraische Manipulation definiert. Wie wir in unserem Beitrag über Ableitungen von Grund auf behandelt haben, ist die Ableitungsformel eine Umstellung von Brüchen mit Grenzwerten daran. Ein Schüler, der sich nie mit dem Umstellen von Gleichungen angefreundet hat, wird mit dem Symbolschieben kämpfen, das die Analysis verlangt.

Standardisierte Tests. SAT, ACT, GRE und die meisten Aufnahmeprüfungen für Universitäten sind weitgehend verkleidete Algebraprüfungen. Wie wir im SAT-Vorbereitungsleitfaden geschrieben haben, ist es starke algebraische Geläufigkeit, nicht fortgeschrittene Themen, die die Punktzahlen am schnellsten anhebt.

Statistik, Finanzwesen, Physik, Informatik. Sie alle sind in algebraischer Notation geschrieben. Eine Formel in der Physik ist nichts anderes als eine Gleichung. Ein Modell im Finanzwesen ist nichts anderes als ein System von Gleichungen. Eine Funktion im Code ist die Algebra von Eingaben und Ausgaben. Die Notation ist dieselbe Notation, immer und immer wieder verwendet.

Schüler, die in einem dieser späteren Kurse kämpfen, kämpfen meist mit Algebra aus der achten Klasse, die sie nie gefestigt haben. Diese Lücke zu schließen zahlt sich für den Rest ihrer Ausbildung aus.

Warum Algebra oft schlecht unterrichtet wird

Wenn Algebra so grundlegend ist, warum verlassen so viele Schüler die Mittelstufe immer noch mit Angst davor? Ein paar ehrliche Gründe.

Erstens überspringt die Einführung oft die Bedeutung. Schülern wird ein Verfahren ("isoliere die Variable") an die Hand gegeben, bevor sie verstehen, warum das Isolieren funktioniert oder was ein Gleichheitszeichen tatsächlich behauptet. Ein Verfahren ohne Bedeutung ist fragil: Vergisst man einen Schritt, bricht das Ganze zusammen.

Zweitens wird die Verbindung zur Arithmetik nicht ausdrücklich hergestellt. Schüler glauben, sie würden ein neues Thema lernen, dabei machen sie tatsächlich dieselbe Arithmetik, die sie immer schon gemacht haben, mit Platzhaltern in einigen der Lücken. Hätte derselbe Lehrer gesagt "heute machen wir Arithmetik, nur dass einige der Zahlen noch nicht verraten werden", wäre die halbe Angst verflogen.

Drittens werden Textaufgaben in großer Menge eingeführt, bevor die Übersetzungsfähigkeit aufgebaut ist. Eine Lernende, die noch nicht sicher darin ist, einen einzigen Satz als Algebra zu lesen, wird unter zwanzig mehrsätzigen Aufgaben begraben und kommt zu dem Schluss, dass sie keine "echte" Mathematik kann. Sie kann es. Sie hat einfach nicht genug Übung am Übersetzungsschritt allein bekommen.

Die gute Nachricht ist, dass das Schließen dieser Lücken als Jugendliche oder Erwachsene wirklich schnell geht. Algebra ruht auf einer kleinen Anzahl von Ideen, und sobald sich diese Ideen verbinden, fühlen sich die Regeln offensichtlich statt willkürlich an.

Üben, bis es automatisch geht

Diesen Text einmal zu lesen gibt Ihnen das Bild. Algebra geläufig zu machen ist eine separate Aufgabe, und sie profitiert von kurzer, bewusster Übung statt von langen Pauk-Sitzungen.

Drillen Sie die Grundlagen. Lösen Sie ein paar Wochen lang fünfzig einstufige Gleichungen pro Woche. x + 7 = 12. 4x = 24. x/3 = 9. Die Vielfalt ist klein, und das Ziel ist, dass die Züge automatisch werden, so wie es die einstellige Multiplikation irgendwann tut. Wie wir im Beitrag über Kopfrechnen behandelt haben, ist die Automatisierung der Grundlagen das, was das Gehirn freisetzt, später an schwierigeren Schritten zu arbeiten.

Mischen Sie die Operationen. Sobald sich einstufige Gleichungen langweilig anfühlen, mischen Sie sie mit zweistufigen, dann mit dreistufigen Aufgaben. Gemischte Übung zwingt Sie zu erkennen, welcher Zug zu machen ist, und das ist die Fähigkeit, auf die es bei echten Aufgaben tatsächlich ankommt. Wie wir im Beitrag über verteiltes Lernen behandelt haben, ist gemischte Übung das, was langfristiges Behalten aufbaut.

Prüfen Sie durch Einsetzen. Nachdem Sie 3x + 5 = 14 gelöst und x = 3 erhalten haben, setzen Sie 3 wieder ein: 3(3) + 5 = 14, stimmt. Diese Gewohnheit fängt fast jeden algebraischen Fehler innerhalb von Sekunden ab, und sie verstärkt zugleich, dass das Gleichheitszeichen "dieselbe Zahl, zwei Schreibweisen" bedeutet. Einsetzen ist die billigste Plausibilitätsprüfung in der Mathematik, und die meisten Schüler verwenden sie nie.

Übersetzen Sie täglich Sätze. Nehmen Sie irgendeinen Satz mit einer Zahl darin ("die Besprechung ist in fünfzehn Minuten" oder "das Rezept verdoppelt sich für sechs Personen") und schreiben Sie ihn als kleine Gleichung um. Übersetzen ist ein Muskel. Fünf Sätze pro Tag für ein paar Wochen verwandeln Textaufgaben von einer Wand in eine Routine.

Wo Math Zen ins Spiel kommt

Die Bucket-Progression von Math Zen passt sauber zu der Art, wie Algebra tatsächlich gelernt werden möchte. Die frühesten Buckets behandeln die Bedeutung von Variablen und einstufigen Gleichungen, wo die Auswahl an Zügen klein ist und das Ziel darin besteht, die Operationen automatisch zu machen. Die mittleren Buckets drillen mehrstufige Gleichungen und das Distributivgesetz, mit gemischter Übung, sodass das Gehirn lernt, den richtigen Zug zu erkennen, statt blind ein Flussdiagramm anzuwenden. Die späteren Buckets arbeiten an Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten, an der Übersetzung von Textaufgaben und an kleinen Gleichungssystemen.

Weil die Übung kurz und verteilt ist, bauen Sie die Mustererkennung auf, die Algebra von einem Thema, das Sie überstehen, in ein Werkzeug verwandelt, nach dem Sie greifen. Die meisten Lernenden brauchen weder einen Nachhilfelehrer noch ein dickeres Lehrbuch. Sie brauchen fünfzehn Minuten am Tag, drei oder vier Mal pro Woche, an der richtigen Art von Aufgabe.

Das Fazit

Eine Variable ist eine Zahl, die Sie noch nicht gefunden haben. Das Gleichheitszeichen bedeutet "dieselbe Zahl, zwei Schreibweisen". Lösen ist das Rückgängigmachen dessen, was mit der Variable gemacht wurde, gleichmäßig auf beide Seiten angewendet, damit die Waage im Gleichgewicht bleibt. Das Distributivgesetz ist das, was "Gruppen von" bedeutet, wenn das Etwas eine Summe ist. Textaufgaben sind Übersetzungen, und der schwere Teil ist die Übersetzung, nicht die Arithmetik.

Das ist das gesamte Fundament. Die Regeln in Ihrem Lehrbuch sind keine getrennten Fakten, sie sind das, wie die Bedeutung in Kurzschrift aussieht. Wenn eine Algebraaufgabe Sie jemals ratlos macht, greifen Sie nicht zuerst zur Regel. Lesen Sie, was die Gleichung in einfacher Sprache sagt, entscheiden Sie, was mit x gemacht wurde, und machen Sie es rückgängig. Die Antwort taucht meistens auf, bevor das Verfahren es tut.