Umkehrfunktionen intuitiv verstehen: Rechenschritte rückgängig machen

Eine Werkstatt verlangt eine Buchungsgebühr von 8 Dollar und zusätzlich 5 Dollar für jede Stunde, in der du eine Werkbank nutzt. Drei Stunden kosten 23 Dollar. Wenn auf der Rechnung 23 Dollar stehen, wie viele Stunden hast du gebucht?

Für die Hinrechnung multiplizierst du die Stundenzahl mit 5 und addierst 8. Rückwärts ziehst du 8 vom Rechnungsbetrag ab und teilst durch 5. Diese Rückwärtsregel ist eine Umkehrfunktion. Mit derselben Beziehung beantwortet sie eine andere Frage.

Die Algebra ist meist überschaubar. Genau hinsehen musst du, ob die Rückwärtsregel eine eindeutige Antwort liefert und welche Zahlen sie überhaupt annehmen darf.

Den letzten Schritt zuerst rückgängig machen

Für die Werkstatt schreibst du die Kosten als

$$f(x) = 5x + 8$$

Die Umkehrfunktion muss erst die Buchungsgebühr entfernen und dann die Stundenkosten rückgängig machen:

$$f^{-1}(x) = \frac{x-8}{5}$$

Prüfe die Rechnung: $f^{-1}(23) = (23-8)/5 = 3$. Würdest du zuerst durch 5 teilen, würdest du die Buchungsgebühr auf die Stundenkosten verteilen und ein falsches Ergebnis erhalten.

Die Eingabe von $f$ sind Stunden; die Eingabe von $f^{-1}$ sind Dollar. Dass beide Male der Buchstabe $x$ steht, bedeutet nicht, dass er dieselbe Größe bezeichnet. Er ist ein Platzhalter für das, was die jeweilige Funktion annimmt.

In diesem Modell sind negative Stunden sinnlos. Der ursprüngliche Definitionsbereich ist $x \geq 0$, der Wertebereich $f(x) \geq 8$. Die Umkehrfunktion nimmt daher nur Beträge ab 8 Dollar an. Rein algebraisch könntest du 3 Dollar einsetzen, aber die daraus folgende negative Stundenzahl liegt außerhalb des Modells.

Umkehrfunktion und Kehrwert sind verschiedene Dinge

Der hochgestellte Ausdruck in $f^{-1}$ sieht wie ein negativer Exponent aus. In der Funktionsschreibweise bezeichnet er die Umkehrfunktion. Er fordert dich nicht auf, durch $f(x)$ zu teilen.

Für dieselbe Werkstattregel gilt:

$$f^{-1}(x)=\frac{x-8}{5}, \qquad \frac{1}{f(x)}=\frac{1}{5x+8}$$

Der erste Ausdruck ermittelt aus den Kosten die Stundenzahl. Der zweite ist der Kehrwert der Kosten, eine andere Größe mit einem anderen Zweck. Der Abschnitt zu Umkehrfunktionen bei OpenStax erklärt diesen Unterschied in der Schreibweise ausdrücklich.

Du kannst die Umkehrfunktion auch $g$ nennen. Die Schreibweise $g(f(x))=x$ sagt ohne hochgestellten Ausdruck genau das Nötige: Wende erst die Kostenregel an und ermittle dann wieder die ursprüngliche Stundenzahl.

Die Umkehrfunktion algebraisch bestimmen

Das übliche Verfahren: Schreibe $y=f(x)$, vertausche $x$ und $y$ und löse nach $y$ auf. Durch das Vertauschen hältst du den Rollenwechsel fest: Der alte Ausgabewert wird zum neuen Eingabewert.

Nimm ein neues Beispiel:

$$y = \frac{2x-7}{3}$$

Vertausche die Variablen:

$$x = \frac{2y-7}{3}$$

Multipliziere mit 3, addiere 7 und teile durch 2:

$$3x = 2y-7$$ $$3x+7 = 2y$$ $$y = \frac{3x+7}{2}$$

Die Umkehrfunktion ist also $f^{-1}(x)=(3x+7)/2$. Jeder Schritt macht eine Rechenoperation der ursprünglichen Regel rückgängig, beginnend mit der letzten Division durch 3.

Paul's Online Math Notes zeigt dasselbe allgemeine Verfahren sowie durchgerechnete Beispiele mit Wurzeln und gebrochenrationalen Funktionen. Achte beim Umformen unabhängig vom Ausdruck auf ausgeschlossene Eingabewerte. Die Multiplikation mit einem Nenner macht einen unzulässigen Wert nicht zulässig.

Beide Richtungen prüfen

Mit einer einzelnen Zahl kannst du einen Rechenfehler entdecken. Sie beweist aber nicht, dass sich zwei Regeln für alle zulässigen Werte gegenseitig rückgängig machen. Prüfe die Verkettung auf den angegebenen Definitionsbereichen.

Setze im Beispiel oben die ursprüngliche Regel in die Umkehrfunktion ein:

$$f^{-1}(f(x)) = \frac{3\left(\frac{2x-7}{3}\right)+7}{2} = \frac{2x-7+7}{2}=x$$

Setze danach die Umkehrfunktion in die ursprüngliche ein:

$$f(f^{-1}(x)) = \frac{2\left(\frac{3x+7}{2}\right)-7}{3} = \frac{3x+7-7}{3}=x$$

Hier sind beide Definitionsbereiche die Menge aller reellen Zahlen. Bei einer Wurzel, einem Logarithmus oder einem Bruch schreibst du den Definitionsbereich neben die Prüfung. Ein vereinfachter Ausdruck kann eine Einschränkung verbergen, die vor dem Kürzen galt.

Falls dir die Verkettung noch ungewohnt ist, beginne mit unserem Artikel über Funktionen: Der Ausgabewert der inneren Regel wird zur Eingabe der äußeren. Lies die Klammern von innen nach außen.

Warum eine quadratische Funktion einen eingeschränkten Definitionsbereich braucht

Angenommen, $f(x)=(x-2)^2$. Sowohl $f(1)$ als auch $f(3)$ ergeben 1. Wenn dir jemand nur den Ausgabewert 1 nennt, verrät die Regel nicht, welcher Eingabewert verwendet wurde.

Auf ganz ℝ ist diese Funktion nicht injektiv. Eine Rückwärtsbeziehung würde für die meisten Eingaben zwei Antworten liefern und wäre damit keine Funktion.

Wähle den rechten Ast, indem du den ursprünglichen Definitionsbereich auf $x \geq 2$ beschränkst. Jetzt ist die Rückrechnung eindeutig:

$$y=(x-2)^2, \qquad x \geq 2$$

Da $x-2$ nichtnegativ ist, erhältst du mit der nichtnegativen Quadratwurzel $\sqrt{y}=x-2$. Vertausche die Variablennamen und schreibe

$$f^{-1}(x)=2+\sqrt{x}, \qquad x \geq 0$$

Die Umkehrfunktion nimmt nichtnegative Zahlen an und liefert Zahlen ab 2. Prüfe $f^{-1}(9)=5$ und danach $f(5)=9$.

Beschränkst du den ursprünglichen Definitionsbereich stattdessen auf $x \leq 2$, lautet die Umkehrfunktion $2-\sqrt{x}$. Das sind Umkehrfunktionen von zwei verschiedenen eingeschränkten Funktionen. Hänge kein Plusminuszeichen an und nenne das Ergebnis eine einzige Umkehrfunktion.

Derselbe Unterschied ist bei quadratischen Gleichungen wichtig: Eine Gleichung kann zwei Lösungen haben, während eine Funktion jedem zulässigen Eingabewert genau einen Ausgabewert zuordnen muss.

Die Umkehrfunktion am Graphen ablesen

Wenn $f(4)=9$, enthält der ursprüngliche Graph den Punkt $(4,9)$ und der Graph der Umkehrfunktion den Punkt $(9,4)$. Beim Vertauschen der Koordinaten werden Punkte an der Diagonalen $y=x$ gespiegelt.

Das erklärt auch den Horizontalentest. Schneidet eine waagerechte Gerade den ursprünglichen Graphen zweimal, gehören zu einem Ausgabewert zwei Eingabewerte. Nach dem Vertauschen der Koordinaten lägen diese beiden Punkte auf einer senkrechten Geraden: Zu einem Eingabewert gäbe es zwei Ausgabewerte.

Versuche es mit der Parabel von oben. Eine waagerechte Gerade in Höhe 1 schneidet sie bei $x=1$ und $x=3$. Entfernst du den linken Ast, bleibt nur ein Schnittpunkt. Der Graph enthält jetzt genug Information für die Rückrechnung.

Der Definitionsbereich der Umkehrfunktion ist der ursprüngliche Wertebereich. Lies deshalb zuerst am ursprünglichen Graphen ab, welche Höhen er erreicht. Ein Graph, dessen Ausgabewerte erst ab einer bestimmten Höhe liegen, kann keine Umkehrfunktion haben, die Zahlen darunter annimmt.

Drei kurze Übungsaufgaben

Eine lineare Regel: Bestimme die Umkehrfunktion von $f(x)=7-2x$. Ziehe den Wert von 7 ab und teile durch 2: $f^{-1}(x)=(7-x)/2$. Hier hat die Umkehrfunktion einen anderen Ausdruck als die ursprüngliche. Prüfe $f(2)=3$ und $f^{-1}(3)=2$.

Eine dritte Potenz: Bestimme die Umkehrfunktion von $g(x)=x^3+6$. Beim Kubieren bleiben negative und positive Eingabewerte unterscheidbar; du musst also keinen Ast auswählen. Für jede reelle Eingabe gilt $g^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-6}$.

Ein Quadrat: Bestimme die Umkehrfunktion von $h(x)=x^2+6$ für $x \geq 0$. Sie lautet $h^{-1}(x)=\sqrt{x-6}$ und hat den Definitionsbereich $x \geq 6$. Ohne diese letzte Bedingung ist die Antwort unvollständig.

Notiere vor jeder Prüfung den Definitionsbereich. Prüfe dann einen Zahlenwert in beiden Richtungen und beide algebraischen Verkettungen. Daraus wird eine kurze, wirksame Übungseinheit in Math Zen: Übe mit Funktionen die Hinrechnung, die Rückrechnung und die Einschränkungen gemeinsam.

Dieselbe Idee verbindet Exponentialfunktionen mit Logarithmen. Eine Exponentialfunktion nimmt einen Exponenten und erzeugt eine Zahl; der Logarithmus ermittelt den Exponenten zurück. Wenn du weißt, was die Eingabe bedeutet und welche Ausgabewerte möglich sind, kannst du die Umkehrfunktion Schritt für Schritt nachvollziehen.