Partielle Integration: Beispiele, Wahl von u und Probe durch Ableiten

Betrachten Sie $\int x e^{2x}\,dx$. Die Potenzregel integriert nicht das ganze Produkt, und wenn Sie nur $e^{2x}$ integrieren, bleibt $x$ übrig. Die partielle Integration gibt dem Produkt eine sinnvolle Richtung: Leiten Sie den Faktor ab, der einfacher wird, integrieren Sie den weiterhin handhabbaren Faktor und bearbeiten Sie danach das kleinere verbleibende Integral.

Diese Lektion rechnet Beispiele zur partiellen Integration durch, vom einfachen Produkt über wiederholte Anwendung bis zu bestimmten Integralen. Falls Sie zuerst die Bedeutung eines Integrals verstehen möchten, beginnen Sie mit unserem Integral-Leitfaden. Auch der Leitfaden zu Ableitungen hilft, denn die beste Probe besteht hier darin, Ihre Antwort abzuleiten.

Woher die Formel kommt

Die Produktregel lautet $\frac{d}{dx}(uv)=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$. Integrieren Sie beide Seiten und bringen Sie einen Term auf die andere Seite. So entsteht die in OpenStax Calculus, Volume 2 beschriebene Formel der partiellen Integration:

$$\int u\,dv=uv-\int v\,du.$$

Dabei ist $u$ der Ausdruck, den Sie ableiten, und $dv$ der Ausdruck, den Sie integrieren. Nachdem Sie $du$ und $v$ gefunden haben, sollte das neue Integral $\int v\,du$ leichter sein als das ursprüngliche. Wird es schwerer, überdenken Sie die Aufteilung. Die Formel folgt algebraisch aus der Produktregel; sie garantiert nicht, dass jede Aufteilung hilft.

Denken Sie bei einem unbestimmten Integral am Ende an die Konstante $C$. Bei der Stammfunktion für $v$ könnte eine Konstante aufgenommen werden. Einfacher ist es, ein geeignetes $v$ zu wählen und $C$ erst an die endgültige Antwort anzuhängen.

u und dv bewusst wählen

Die hilfreiche Frage lautet: „Welcher Faktor wird beim Ableiten einfacher?“ Ein Polynom wie $x^2$ wird zu $2x$, dann zu $2$ und schließlich zu null. Ein Logarithmus wird zu $1/x$, was sich oft gut mit dem übrigen Ausdruck verbindet. Exponentialfunktionen sowie Sinus und Kosinus bleiben dagegen auch bei wiederholtem Integrieren gut handhabbar.

Die bekannte Eselsbrücke LIATE ordnet logarithmische, inverse trigonometrische, algebraische, trigonometrische und exponentielle Faktoren als Kandidaten für $u$. OpenStax stellt sie als Faustregel dar, nicht als Satz. Prüfen Sie das entstehende $\int v\,du$, statt dem ersten passenden Buchstaben blind zu vertrauen. Eine andere Aufteilung kann kürzer sein, und manche Produkte lösen Sie besser mit Substitution.

Zum Beispiel enthält $\int 2x\cos(x^2)\,dx$ die innere Funktion $x^2$ und ihre Ableitung $2x$. Setzen Sie $t=x^2$. Dann gilt $dt=2x\,dx$, und das Integral ist $\sin(x^2)+C$. Partielle Integration würde aus einer einfachen Verkettung unnötige Arbeit machen. Bei $x e^{2x}$ fehlt dagegen ein solches direktes Paar aus innerer Funktion und Ableitung, während das Ableiten von $x$ diesen Faktor beseitigt.

Schreiben Sie vor der Rechnung eine kleine Tabelle mit zwei Spalten: $u$ und $du$ auf der einen Seite, $dv$ und $v$ auf der anderen. Fragen Sie dann, ob das Produkt aus $v$ und $du$ zu einem einfacheren Integral führt. Damit vermeiden Sie den häufigen Fehler, einen vertrauten, leicht integrierbaren Faktor nur deshalb als $u$ zu wählen.

Beispiel 1: linearer Faktor mal Exponentialfunktion

Berechnen Sie $\int x e^{2x}\,dx$. Wählen Sie $u=x$, also $du=dx$. Wählen Sie $dv=e^{2x}\,dx$, woraus $v=\frac12e^{2x}$ folgt. Der Faktor $\frac12$ ist wichtig: Beim Ableiten von $e^{2x}$ entsteht ein zusätzlicher Faktor zwei.

$$\begin{aligned} \int x e^{2x}\,dx &=x\left(\frac12e^{2x}\right)-\int\frac12e^{2x}\,dx\\ &=\frac{x e^{2x}}2-\frac{e^{2x}}4+C\\ &=\frac{e^{2x}}4(2x-1)+C. \end{aligned}$$

Leiten Sie die faktorisierte Antwort ab. Die Produktregel liefert $\frac14[2e^{2x}(2x-1)+2e^{2x}]$, vereinfacht also $x e^{2x}$. Damit erhalten Sie genau den ursprünglichen Integranden zurück. Ergäbe die Probe $2x e^{2x}$, wäre wahrscheinlich der Faktor $\frac12$ beim Integrieren von $e^{2x}$ vergessen worden.

Auch das Ende des Verfahrens ist erkennbar: Beim Ableiten wird $x$ zu einer Konstanten, sodass das verbleibende Integral nur noch die Exponentialfunktion enthält. Genau das bedeutet „einfacher“ in diesem Beispiel.

Beispiel 2: einen Logarithmus integrieren

Berechnen Sie $\int\ln x\,dx$ für $x>0$. Ein Produkt steht nicht ausdrücklich da, aber Sie können den Faktor eins ergänzen: $\ln x=1\cdot\ln x$. Wählen Sie $u=\ln x$ und $dv=dx$. Dann sind $du=\frac1x\,dx$ und $v=x$.

$$\begin{aligned} \int\ln x\,dx &=x\ln x-\int x\frac1x\,dx\\ &=x\ln x-x+C. \end{aligned}$$

Die Probe ist kurz: $\frac{d}{dx}(x\ln x-x)=\ln x+1-1=\ln x$. Der Definitionsbereich $x>0$ erlaubt die Schreibweisen $\ln x$ und $1/x$, ohne null zu überschreiten. Die allgemeinere Stammfunktion $x\ln|x|-x+C$ gilt auf Intervallen, die null nicht enthalten. Die gestellte Aufgabe bleibt jedoch auf der positiven Seite.

Würden Sie $u=1$ und $dv=\ln x\,dx$ wählen, müssten Sie das ursprüngliche Integral bereits kennen, um $v$ zu finden. Diese zirkuläre Aufteilung zeigt, warum der Logarithmus hier zu $u$ gehört.

Beispiel 3: wiederholen, bis das Polynom verschwindet

Gesucht ist $I=\int x^2\sin x\,dx$. Beim Ableiten sinkt der Grad von $x^2$, während Sinus leicht integrierbar bleibt. Wählen Sie zuerst $u=x^2$ und $dv=\sin x\,dx$. Dann gilt $du=2x\,dx$ und $v=-\cos x$:

$$I=-x^2\cos x+2\int x\cos x\,dx.$$

Das verbleibende Integral enthält noch immer ein Produkt. Setzen Sie $J=\int x\cos x\,dx$ und wenden Sie die Formel nochmals an: $u=x$, $du=dx$, $dv=\cos x\,dx$ und $v=\sin x$. Dann:

$$J=x\sin x-\int\sin x\,dx=x\sin x+\cos x.$$

Setzen Sie dieses Ergebnis in $I$ ein:

$$\int x^2\sin x\,dx=-x^2\cos x+2x\sin x+2\cos x+C.$$

Leiten Sie nun Glied für Glied ab. Die Ableitung von $-x^2\cos x$ ist $-2x\cos x+x^2\sin x$. Die Ableitung von $2x\sin x$ ist $2\sin x+2x\cos x$; die von $2\cos x$ ist $-2\sin x$. Alle zusätzlichen Terme heben sich auf, und $x^2\sin x$ bleibt stehen. Diese Aufhebung prüft sowohl das Vorzeichen beim Integrieren des Sinus als auch den Faktor zwei beim Ableiten von $x^2$.

Wiederholte partielle Integration hilft, wenn jede Anwendung einen Faktor vereinfacht. Ähnelt das neue Integral dagegen dem ursprünglichen, kann man manchmal das ursprüngliche Integral auf einer Seite sammeln und lösen. Wenden Sie die Formel aber nicht endlos ohne erkennbares Ziel an.

Beispiel 4: Grenzen beim bestimmten Integral beibehalten

Berechnen Sie $\int_0^1 x\ln(1+x)\,dx$. Der Faktor $x$ ist leicht integrierbar, doch beim Ableiten von $\ln(1+x)$ entsteht $1/(1+x)$. Wählen Sie $u=\ln(1+x)$ und $dv=x\,dx$. Dann sind $du=\frac{1}{1+x}\,dx$ und $v=x^2/2$. Die bestimmte Form der partiellen Integration lautet $\int_a^b u\,dv=[uv]_a^b-\int_a^b v\,du$.

$$\begin{aligned} \int_0^1 x\ln(1+x)\,dx &=\left[\frac{x^2}{2}\ln(1+x)\right]_0^1 -\frac12\int_0^1\frac{x^2}{1+x}\,dx\\ &=\frac12\ln2-\frac12\int_0^1\left(x-1+\frac1{x+1}\right)dx. \end{aligned}$$

Polynomdivision ergibt $x^2/(x+1)=x-1+1/(x+1)$. Das Integral dieses Ausdrucks von null bis eins ist $1/2-1+\ln2=\ln2-1/2$. Also:

$$\int_0^1 x\ln(1+x)\,dx =\frac12\ln2-\frac12\left(\ln2-\frac12\right)=\frac14.$$

Das positive Ergebnis ist plausibel, weil $x\ln(1+x)$ auf $[0,1]$ nicht negativ ist. Als unabhängige algebraische Probe können Sie die Stammfunktion $\frac{x^2-1}{2}\ln(1+x)-\frac{x^2}{4}+\frac{x}{2}$ verwenden; auch ihre Werte bei eins und null ergeben $1/4$. Übernehmen Sie bei bestimmten Integralen dieselben Grenzen in das neue Integral. Die fertige Zahl erhält kein $+C$.

Drei Übungsaufgaben mit Lösungen

1. Polynom und Exponentialfunktion. Berechnen Sie $\int 3x e^x\,dx$.

Wählen Sie $u=3x$ und $dv=e^x\,dx$. Dann sind $du=3\,dx$ und $v=e^x$, also:

$$\int 3x e^x\,dx=3x e^x-3\int e^x\,dx=3e^x(x-1)+C.$$

Beim Ableiten von $3e^x(x-1)$ erhalten Sie $3e^x(x-1)+3e^x=3xe^x$. Das entspricht genau dem ursprünglichen Integranden.

2. Logarithmus mit einem Faktor. Berechnen Sie $\int x\ln x\,dx$ für $x>0$.

Wählen Sie $u=\ln x$ und $dv=x\,dx$. Dann sind $du=dx/x$ und $v=x^2/2$:

$$\int x\ln x\,dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac12\int x\,dx =\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C.$$

Ableiten liefert $x\ln x+x/2-x/2=x\ln x$. Lassen Sie die beiden Terme $x/2$ bei der Probe sichtbar, damit sich die Aufhebung leicht verfolgen lässt.

3. Bestimmtes Integral. Berechnen Sie $\int_0^{\pi/2}x\cos x\,dx$.

Wählen Sie $u=x$ und $dv=\cos x\,dx$, sodass $du=dx$ und $v=\sin x$. Wenden Sie die Grenzen nach der partiellen Integration an:

$$\begin{aligned} \int_0^{\pi/2}x\cos x\,dx &=[x\sin x]_0^{\pi/2}-\int_0^{\pi/2}\sin x\,dx\\ &=\frac\pi2-[-\cos x]_0^{\pi/2}\\ &=\frac\pi2-1. \end{aligned}$$

Sowohl $x$ als auch $\cos x$ sind auf diesem Intervall nicht negativ, und $\pi/2-1$ ist positiv. Die Ableitung von $x\sin x+\cos x$ ist $x\cos x$; damit ist die für die Grenzen verwendete Stammfunktion geprüft.

Üben Sie die Wahl der Stammfunktion mit Math Zens Integralaufgaben. Eine spätere Anwendung wiederholter Integrationsmethoden finden Sie im Leitfaden zu Laplace-Transformationen.