Kettenregel: Beispiele mit verschachtelten Funktionen Schritt für Schritt

Leiten Sie $(2x+3)^5$ ab. Wenn Sie die gewöhnliche Potenzregel so anwenden, als stünde in der Klammer nur $x$, erhalten Sie $5(2x+3)^4$. Die Form sieht richtig aus, aber der Faktor zwei fehlt. Der Ausdruck in der Klammer verändert sich doppelt so schnell wie $x$, und die Ableitung muss diese Veränderung berücksichtigen.

Genau dafür gibt es die Kettenregel. In dieser Lektion rechnen wir eigenständige Beispiele durch, von einer inneren Funktion bis zu drei verschachtelten Ebenen. Wenn Sie die allgemeine Bedeutung einer Ableitung wiederholen möchten, beginnen Sie mit unserem Leitfaden zu Ableitungen. Hier geht es darum, die Ebenen zu erkennen, sie abzuleiten und das Ergebnis zu überprüfen.

Innere und äußere Funktion erkennen

Bei einer Verkettung wird die Ausgabe einer Funktion zur Eingabe einer anderen. Für $y=(2x+3)^5$ berechnen Sie zuerst $2x+3$ und nehmen das Ergebnis dann hoch fünf. Schreiben Sie $g(x)=2x+3$ für die innere Funktion und $f(u)=u^5$ für die äußere Funktion. Dann gilt $y=f(g(x))$.

Auswerten und Ableiten laufen in entgegengesetzter Richtung. Beim Auswerten gehen Sie von innen nach außen. Beim Ableiten beginnen Sie mit der äußersten Operation, lassen deren Eingabe unverändert und multiplizieren anschließend mit der Ableitung dieser Eingabe. OpenStax formuliert die Regel für differenzierbare Verkettungen im Kapitel zur Kettenregel so:

$$\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x)$$

Die Ableitung der äußeren Funktion wird bei $g(x)$ ausgewertet, nicht bei $g'(x)$. Die innere Ableitung ist ein eigener Faktor. Wenn eine der Ebenen an der betreffenden Stelle nicht differenzierbar ist, lässt sich diese Formel dort nicht einfach anwenden.

Benennen Sie die Ebenen, bevor Sie eine Regel benutzen. Bei $\sin(4x^2-1)$ ist die äußere Operation der Sinus und der innere Ausdruck $4x^2-1$. Bei $\sqrt{1+x^4}$ ist außen die Quadratwurzel und innen $1+x^4$. Bei $x^2+3x$ ist die oberste Operation eine Addition; die Summanden werden getrennt abgeleitet. Nicht jede Klammer verlangt die Kettenregel.

Wenn Ihnen die Vorstellung neu ist, eine Funktion in eine andere einzusetzen, erklärt unser Artikel über zusammengesetzte Funktionen Auswertung und Definitionsbereich vor dem Ableiten. Der Artikel über Funktionen ist der Ausgangspunkt, wenn Ihnen die Schreibweise für Eingabe und Ausgabe noch fremd ist.

Immer dieselben vier Schritte anwenden

Das Verfahren bleibt gleich, wie groß der Ausdruck auch ist:

1. Benennen Sie den unmittelbar inneren Ausdruck. Für $h(x)=(3x^2-2)^4$ setzen Sie $u=3x^2-2$.
2. Leiten Sie außen ab und lassen Sie $u$ stehen. Da außen $u^4$ steht, ist die Ableitung $4u^3$.
3. Leiten Sie innen ab. Hier ist $du/dx=6x$.
4. Multiplizieren Sie und setzen Sie den Ausdruck wieder ein. Das Ergebnis lautet $h'(x)=4(3x^2-2)^3(6x)=24x(3x^2-2)^3$.

Multiplizieren Sie die vierte Potenz nicht aus, sofern eine spätere Rechnung das nicht erfordert. An der faktorisierten Antwort erkennen Sie, woher jeder Teil stammt: $4(3x^2-2)^3$ gehört zur äußeren Potenz, $6x$ zur inneren quadratischen Funktion. Wer zu früh ausmultipliziert, übersieht einen fehlenden Faktor leichter.

Bei drei Ebenen wiederholen Sie denselben Vorgang. Leiten Sie die äußerste Ebene ab, multiplizieren Sie mit der Ableitung der nächsten und dann mit der Ableitung der innersten. OpenStax behandelt diese wiederholte Anwendung im selben Kapitel. Sie brauchen keine zusätzliche Regel auswendig zu lernen.

Drei vollständig gerechnete Beispiele

Eine Potenz eines linearen Ausdrucks. Kehren wir zu $p(x)=(2x+3)^5$ zurück. Die äußere Ableitung ist $5(2x+3)^4$, die innere Ableitung ist $2$. Also:

$$p'(x)=5(2x+3)^4(2)=10(2x+3)^4$$

Prüfen Sie bei $x=0$, ohne der symbolischen Antwort einfach zu vertrauen. Für die ursprüngliche Funktion gilt $p(0)=3^5=243$. Wenn Sie in $(3+2x)^5$ nur den Term erster Ordnung ausmultiplizieren, erhalten Sie $243+5(3^4)(2x)+\cdots=243+810x+\cdots$. Die Steigung bei null ist also $810$. Unsere Ableitung liefert $10(3)^4=810$. Die Version ohne inneren Faktor liefert $405$ und fällt bei dieser Prüfung durch.

Eine trigonometrische Verkettung. Sei $q(x)=\sin(4x^2-1)$, wobei die Winkel im Bogenmaß angegeben sind. Die äußere Ableitung des Sinus ist der Kosinus, ausgewertet an derselben Eingabe. Die innere Ableitung von $4x^2-1$ ist $8x$:

$$q'(x)=\cos(4x^2-1)(8x)=8x\cos(4x^2-1)$$

Bei $x=0$ ist die innere Ableitung null, also $q'(0)=0$. Das passt zu einer lokalen Symmetrieprüfung: $q(x)$ hängt von $x^2$ ab und hat deshalb bei $x$ und $-x$ denselben Wert. Bei $x=1$ beträgt die Steigung $8\cos(3)$ und nicht $\cos(8)$. Der Kosinus erhält den unveränderten inneren Ausdruck, nicht dessen Ableitung.

Drei verschachtelte Ebenen. Betrachten Sie $r(x)=\left[\sin(2x^2+1)\right]^3$. Die Ebenen von außen nach innen sind eine dritte Potenz, der Sinus und $2x^2+1$. Leiten Sie sie in genau dieser Reihenfolge ab:

$$\begin{aligned} r'(x)&=3\left[\sin(2x^2+1)\right]^2 \cdot\cos(2x^2+1)\cdot 4x\\ &=12x\sin^2(2x^2+1)\cos(2x^2+1). \end{aligned}$$

Es gibt drei Faktoren, weil drei Veränderungen miteinander verbunden sind. Die dritte Potenz steuert $3\sin^2(\cdot)$ bei, der Sinus den Kosinus und die quadratische Funktion $4x$. Wieder gilt $r'(0)=0$, was zur geraden Funktion $r(x)$ passt. Das beweist nicht die gesamte Ableitung, deckt aber manche Rechenfehler schnell auf.

Entscheiden, wann eine weitere Regel nötig ist

Suchen Sie zuerst die Operation auf oberster Ebene. Bei $a(x)=x(2x+3)^5$ werden zwei variable Ausdrücke multipliziert. Beginnen Sie mit der Produktregel und wenden Sie dann die Kettenregel auf den Potenzfaktor an:

$$\begin{aligned} a'(x)&=1\cdot(2x+3)^5+x\cdot 5(2x+3)^4\cdot2\\ &=(2x+3)^5+10x(2x+3)^4\\ &=(2x+3)^4(12x+3). \end{aligned}$$

Dagegen enthält $b(x)=(2x+3)^5$ auf oberster Ebene kein Produkt. Allein die Kettenregel ergibt $10(2x+3)^4$. Die beiden Ausdrücke unterscheiden sich durch einen Faktor $x$ außerhalb der Potenz. Dieser Faktor ändert die maßgebliche Regel.

Auch ein Quotient kann dieselbe Entscheidung verdecken. Schreiben Sie $c(x)=1/(2x+3)^2$ als $(2x+3)^{-2}$. Die oberste Operation ist nun eine Potenz, daher:

$$c'(x)=-2(2x+3)^{-3}(2)=-\frac{4}{(2x+3)^3},\qquad x\ne-\frac32.$$

Auch die Quotientenregel würde funktionieren, aber die Umformung macht die Verkettung deutlich. Wenn Zähler und Nenner beide von $x$ abhängen, wenden Sie außen die Quotientenregel an und untersuchen jeden Teil auf eine mögliche Kettenregel. OpenStax behandelt solche Kombinationen im Abschnitt zur Kettenregel gemeinsam.

Drei häufige falsche Antworten korrigieren

Der innere Faktor fehlt. Bei $(5x-1)^4$ lässt die Antwort $4(5x-1)^3$ die Ableitung $5$ aus. Schreiben Sie beide Teile vor der Multiplikation auf: $4(5x-1)^3\times5=20(5x-1)^3$.

Die Eingabe der äußeren Funktion wird verändert. Bei $\cos(x^2+2)$ setzt die Antwort $-\sin(2x)\cdot2x$ die innere Ableitung in den Sinus ein. Richtig ist $-\sin(x^2+2)\cdot2x$. Leiten Sie die äußere Funktion an der unveränderten inneren Eingabe ab und fügen Sie dann deren Ableitung als Faktor hinzu.

Klammern gehen verloren. Bei $(x^2+3)^3$ ist $3x^2+3^2(2x)$ keine Anwendung der Kettenregel. Der gesamte innere Ausdruck bleibt innerhalb der quadrierten Potenz: $3(x^2+3)^2(2x)=6x(x^2+3)^2$. Schreiben Sie um den inneren Ausdruck deutliche Klammern, bis Sie die letzte Zeile erreicht haben.

Eine hilfreiche Prüfung besteht darin, die ursprüngliche Funktion und Ihre Ableitung an einer einfachen Stelle auszuwerten. Ein einzelner Zahlenwert beweist die Ableitung nicht für alle $x$, aber eine Abweichung kann eine verlockende falsche Antwort schnell widerlegen.

Drei Übungsaufgaben mit vollständigen Lösungen

Versuchen Sie jede Aufgabe, bevor Sie ihre Lösung lesen. Markieren Sie die Ebenen und schreiben Sie dann einen Faktor pro Ebene auf.

1. Leiten Sie $s(x)=(7-3x)^4$ ab. Die äußere Ableitung ist $4(7-3x)^3$. Die innere Ableitung ist $-3$, daher:

$$s'(x)=4(7-3x)^3(-3)=-12(7-3x)^3.$$

Das Minuszeichen dient als schnelle Prüfung: Nahe einer Stelle, an der $7-3x$ positiv ist, verringert ein wachsendes $x$ diesen inneren Ausdruck und damit dessen vierte Potenz.

2. Leiten Sie $t(x)=\cos(3x^2+x)$ ab. Aus dem äußeren Kosinus wird der negative Sinus; aus dem inneren Polynom wird $6x+1$:

$$t'(x)=-\sin(3x^2+x)(6x+1).$$

Bei $x=0$ ist das Ergebnis null, weil $\sin(0)=0$. Schließen Sie daraus nicht, die innere Ableitung sei dort null; sie beträgt eins. Wenn Sie beide Faktoren getrennt halten, sehen Sie, warum das Produkt verschwindet.

3. Leiten Sie $v(x)=(1+\sin x)^3$ ab. Die äußere Potenz liefert $3(1+\sin x)^2$; die innere Ableitung ist $\cos x$:

$$v'(x)=3(1+\sin x)^2\cos x.$$

Hier enthält die innere Funktion einen Sinus, die Operation auf oberster Ebene bleibt aber die dritte Potenz. Arbeiten Sie von außen nach innen. Bei $x=0$ ist die Ableitung $3(1)^2(1)=3$.

Wenn diese Aufgaben gut funktionieren, finden Sie in Math Zens Ableitungsübungen unter den Aufgaben zur Analysis auch Übungen zur Kettenregel. Kehren Sie zu einem Beispiel zurück, das Sie falsch gelöst haben, und erklären Sie, welcher Faktor fehlte, bevor Sie die nächste Aufgabe versuchen. Die Gewohnheit ist einfach: Benennen Sie die äußere Operation, lassen Sie ihre Eingabe unverändert und multiplizieren Sie mit der Ableitung dieser Eingabe.

Häufig gestellte Fragen

Ist die Kettenregel dasselbe wie die Potenzregel?

Nein. Mit der Potenzregel leiten Sie $x^n$ ab. Die Kettenregel ermöglicht es, sie auf eine Potenz eines inneren Ausdrucks anzuwenden: Die Ableitung von $[g(x)]^n$ ist $n[g(x)]^{n-1}g'(x)$. Falls $g(x)=x$ ist, beträgt dessen Ableitung eins und Sie erhalten die vertraute Potenzregel.

Kann ich die Kettenregel bei einer Quadratwurzel anwenden?

Ja. Schreiben Sie $\sqrt{1+x^4}$ als $(1+x^4)^{1/2}$. Die äußere Ableitung ist $\tfrac12(1+x^4)^{-1/2}$ und die innere Ableitung $4x^3$. Daraus folgt $2x^3/\sqrt{1+x^4}$.

Warum entstehen bei verschachtelten Funktionen mehrere Faktoren?

Jede Ebene reagiert auf die Änderung der Ebene in ihrem Inneren. Bei $[\sin(2x^2+1)]^3$ ändert eine Änderung von $x$ die quadratische Funktion, diese den Sinus und dieser die dritte Potenz. Die drei Ableitungsfaktoren beschreiben diese drei miteinander verbundenen Änderungen.