Wie wähle ich u bei der Substitution?

Suche eine innere Funktion, deren Ableitung ebenfalls im Integranden steht, zumindest bis auf einen konstanten Faktor. In 2x(x² + 1)^5 ist x² + 1 die innere Funktion, und ihre Ableitung 2x steht außen davor, also ist u = x² + 1 die naheliegende Wahl.

Was, wenn die Ableitung nur bis auf eine Konstante passt?

Ein konstanter Faktor ist kein Problem. Aus u = x² folgt du = 2x dx, also x dx = du/2, und die 1/2 wandert vor das Integral. Nur Konstanten lassen sich so verschieben; ein fehlender Faktor x lässt sich nicht durch Teilen reparieren.

Muss ich bei einem bestimmten Integral die Grenzen ändern?

Entweder rechnest du die Grenzen in u-Werte um und kehrst nie zu x zurück, oder du bestimmst zuerst die Stammfunktion in x und setzt die ursprünglichen Grenzen ein. Beides zu mischen, neuer Integrand mit alten Grenzen, ist der häufigste Fehler.

Wie prüfe ich eine Lösung mit Substitution?

Leite dein Ergebnis mit der Kettenregel ab. Es muss genau der ursprüngliche Integrand herauskommen. Bei einem bestimmten Integral fängt eine schnelle numerische Abschätzung außerdem ein falsches Vorzeichen oder einen fehlenden Faktor ab.

Integration durch Substitution: Beispiele, Wahl von u und Probe

Betrachte $\int 2x\cos(x^2)\,dx$ . Keine Grundregel integriert so ein Produkt direkt, und doch ist die Antwort kurz: $\sin(x^2)+C$ . Leitest du $\sin(x^2)$ mit der Kettenregel ab, erhältst du $\cos(x^2)\cdot2x$ , also den Integranden. Die Integration durch Substitution findet solche Antworten gezielt. Sie wendet die Kettenregel rückwärts an: Erkenne eine innere Funktion, nenne sie $u$ und lass ihre Ableitung den übrigen Faktor aufnehmen.

Dieser Leitfaden rechnet sechs Beispiele zur Substitution durch, vom einfachen Fall über konstante Faktoren, Logarithmen und bestimmte Integrale mit neuen Grenzen bis zu einer Substitution, bei der man nach $x$ auflösen muss. Wenn dir die Kettenregel selbst noch unsicher vorkommt, wärm dich zuerst mit unseren Beispielen zur Kettenregel auf; jede Probe unten hängt von ihr ab.

Die Regel in einer Zeile

OpenStax Calculus, Band 1, §5.5 formuliert die Substitution für unbestimmte Integrale so: Ist $u=g(x)$ und ist $F$ eine Stammfunktion von $f$ , dann gilt

\int f(g(x))\,g'(x)\,dx=F(g(x))+C.

In der Praxis schreibst du $u=g(x)$ und $du=g'(x)\,dx$ , formulierst das ganze Integral in $u$ um, integrierst und setzt zurück. Der Test für eine gute Wahl ist einfach: Nach dem Umschreiben darf kein $x$ mehr übrig sein. Bleibt eines stehen, löse entweder nach ihm in Abhängigkeit von $u$ auf oder wähle ein anderes $u$ .

So wählst du u

Suche eine Funktion, die in einer anderen Funktion steckt: in einer Potenz, unter einer Wurzel, im Exponenten oder in einer trigonometrischen oder logarithmischen Funktion. Frag dann, ob ihre Ableitung, eventuell mal einer Konstanten, den Rest multipliziert.

Integrand	Innere Funktion	Ihre Ableitung	Vorhanden?
$2x(x^2+1)^5$	$x^2+1$	$2x$	Ja
$xe^{x^2}$	$x^2$	$2x$	Bis auf den Faktor 2
$\frac{\ln x}{x}$	$\ln x$	$\frac{1}{x}$	Ja
$e^{x^2}$	$x^2$	$2x$	Nein, Substitution scheitert

Die letzte Zeile ist wichtig. $\int e^{x^2}\,dx$ sieht der zweiten Zeile ähnlich, aber ohne den Faktor $x$ hat $du$ nichts, was es aufnehmen könnte, und dieses Integral hat überhaupt keine elementare Stammfunktion. Substitution ist kein Trick, der immer funktioniert; sie funktioniert, wenn die Ableitung da ist.

Beispiel 1: Die Ableitung steht schon da

Bestimme $\int 2x(x^2+1)^5\,dx$ . Setze $u=x^2+1$ , dann ist $du=2x\,dx$ . Der Faktor $2x\,dx$ ist genau $du$ :

\int 2x(x^2+1)^5\,dx=\int u^5\,du=\frac{u^6}{6}+C=\frac{(x^2+1)^6}{6}+C.

Probe: Die Ableitung von $\frac{(x^2+1)^6}{6}$ ist $(x^2+1)^5\cdot2x$ . Man könnte auch $(x^2+1)^5$ ausmultiplizieren und gliedweise integrieren, aber das dauert viel länger und lädt zu Rechenfehlern ein.

Beispiel 2: Ein konstanter Faktor fehlt

Bestimme $\int xe^{x^2}\,dx$ . Mit $u=x^2$ erhalten wir $du=2x\,dx$ , aber im Integranden steht nur $x\,dx$ . Teile durch zwei: $x\,dx=\frac{1}{2}\,du$ .

\int xe^{x^2}\,dx=\frac{1}{2}\int e^{u}\,du=\frac{1}{2}e^{x^2}+C.

Den Faktor $\frac{1}{2}$ vor das Integral zu ziehen ist erlaubt, weil er eine Konstante ist. Mit einem fehlenden variablen Faktor darfst du das nicht tun: $\int e^{x^2}\,dx$ lässt sich nicht retten, indem man $dx=\frac{du}{2x}$ schreibt, denn dann bleibt $x$ im $u$ -Integral stehen.

Beispiel 3: Ein Logarithmus als innere Funktion

Bestimme $\int\frac{\ln x}{x}\,dx$ für $x>0$ . Setze $u=\ln x$ , dann ist $du=\frac{1}{x}\,dx$ :

\int\frac{\ln x}{x}\,dx=\int u\,du=\frac{u^2}{2}+C=\frac{(\ln x)^2}{2}+C.

Ein verwandtes Standardergebnis folgt aus $\int\tan x\,dx=\int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx$ . Setze $u=\cos x$ , dann ist $du=-\sin x\,dx$ , und das Integral wird zu $-\int\frac{du}{u}=-\ln\lvert\cos x\rvert+C$ . Achte auf das Minuszeichen: Es stammt aus der Ableitung des Kosinus, und es wegzulassen ist bei diesem Beispiel der übliche Fehler.

Beispiel 4: Ein bestimmtes Integral mit neuen Grenzen

Berechne $\int_0^1 x(1+x^2)^3\,dx$ . Setze $u=1+x^2$ , dann ist $du=2x\,dx$ und $x\,dx=\frac{1}{2}\,du$ . Rechne nun die Grenzen um: Für $x=0$ ist $u=1$ ; für $x=1$ ist $u=2$ .

\int_0^1 x(1+x^2)^3\,dx=\frac{1}{2}\int_1^2 u^3\,du=\frac{1}{2}\left[\frac{u^4}{4}\right]_1^2=\frac{1}{2}\cdot\frac{16-1}{4}=\frac{15}{8}.

Sobald die Grenzen in $u$ stehen, musst du nicht zurücksetzen. OpenStax gibt genau das als Form der Regel für bestimmte Integrale an: Die Grenzen werden zu $g(a)$ und $g(b)$ . Der klassische Fehler ist, den neuen Integranden mit den alten Grenzen 0 und 1 zu verwenden; hier ergäbe das $\frac{1}{8}$ , eine Antwort, die um den Faktor 15 daneben liegt.

Plausibilitätsprüfung: Der Integrand steigt von 0 bei $x=0$ auf 8 bei $x=1$ , die Fläche sollte also irgendwo zwischen 0 und 8 liegen, und eher am unteren Ende, weil die Kurve erst am rechten Rand steil wird. $\frac{15}{8}=1.875$ passt.

Beispiel 5: Das übrige x auflösen

Bestimme $\int x\sqrt{x+1}\,dx$ . Wähle $u=x+1$ , also $du=dx$ . Ein $x$ bleibt außerhalb der Wurzel stehen. Löse die Substitution danach auf: $x=u-1$ .

\int x\sqrt{x+1}\,dx=\int(u-1)u^{1/2}\,du=\int\left(u^{3/2}-u^{1/2}\right)du=\frac{2}{5}(x+1)^{5/2}-\frac{2}{3}(x+1)^{3/2}+C.

Dieses Zurückauflösen ist zulässig, weil sich $u=x+1$ leicht umkehren lässt. Lässt sich ein übriges $x$ nicht sauber durch $u$ ausdrücken, ist die Substitution wahrscheinlich die falsche.

Beispiel 6: Wenn Substitution das falsche Werkzeug ist

Versuche $\int xe^{x}\,dx$ . Der naheliegende Kandidat $u=x$ ändert nichts, und $u=e^x$ lässt $x=\ln u$ im Integral stehen und macht daraus $\int\ln u\,du$ , wofür man ohnehin eine andere Methode braucht. Dieses Produkt hat keine innere Funktion, deren Ableitung danebensteht. Es ist ein Fall für die partielle Integration, bei der ein Faktor durch Ableiten einfacher wird.

Eine nützliche Gewohnheit: Teste höchstens eine Minute lang ein oder zwei Möglichkeiten für $u$ . Verschwindet das $x$ bei keiner, wechsle das Werkzeug, statt es zu erzwingen.

Fehler, die du vermeiden solltest

du vergessen. Wer $u=x^2$ setzt und dann nur die innere Funktion ersetzt, lässt $dx$ in einem Integral über $u$ stehen. Jedes $dx$ muss zu einem Vielfachen von $du$ werden.
Durch eine Variable teilen. Nur konstante Faktoren dürfen vor das Integral gezogen werden.
Alte Grenzen am neuen Integral. Rechne beide Grenzen um oder kehre vor dem Auswerten zu $x$ zurück.
Das Ergebnis in u stehen lassen. Bei einem unbestimmten Integral setzt du zurück, damit die Antwort eine Funktion von $x$ ist, und behältst das $+C$ .
Die Probe überspringen. Das Ableiten der Lösung dauert Sekunden und fängt fast jeden Fehler bei Vorzeichen und Konstanten ab.

Übungsaufgaben mit Lösungen

$\int 3x^2(x^3-4)^4\,dx$ . Setze $u=x^3-4$ . Lösung: $\frac{(x^3-4)^5}{5}+C$ .
$\int\sin^2x\cos x\,dx$ . Setze $u=\sin x$ . Lösung: $\frac{\sin^3x}{3}+C$ .
$\int e^{3x}\,dx$ . Setze $u=3x$ , also $dx=\frac{1}{3}\,du$ . Lösung: $\frac{e^{3x}}{3}+C$ .
$\int_1^{e}\frac{\ln x}{x}\,dx$ . Setze $u=\ln x$ , mit den Grenzen 0 und 1. Lösung: $\frac{1}{2}$ .

Die Substitution ist die erste Technik, die man bei fast jedem Integral ausprobiert; deshalb nennt unser Leitfaden zu Integralen sie das Arbeitspferd des Kapitels. Benenne die innere Funktion, prüfe, ob ihre Ableitung da ist, rechne alles einschließlich der Grenzen um und leite das Ergebnis ab, bevor du weitermachst.