为什么要先求导，再代入题目给的长度？

长度描述一个瞬间，几何关系却连接运动期间不断变化的量。过早代入会把变量当作常量，可能消掉它的变化率。

负的相关变化率表示什么？

按选定的正方向来看，该变量正在减小。不要直接改符号，应先核对题目的方向。

相关变化率例题：梯子、圆锥和影子

一架10英尺长的梯子沿墙下滑，底端远离墙。已知底端速度和梯子长度，要求顶端速度。图形与勾股定理给出方程，但速度还需要把方程对时间求导。梯子长度不变，水平距离和竖直高度却都在变化。

下面三种几何情形都使用同一套记录：变量、运动过程中始终成立的关系式、已知速度与所问时刻、要求的速度、符号与单位检验。这样不易过早代数值，也不易混淆图上的两种速度。方法参照 OpenStax《微积分》第1卷第4.1节；数值例题是本文另设的。若需要复习导数含义，可先读导数入门。

计算前先定义变化的量

令时间为 $t$ ，将变化的长度写成 $x(t)$ 、 $y(t)$ 等函数，并标明正方向。若 $x$ 是底端离墙距离，它以 $2\text{ ft/s}$ 向外移动，则 $dx/dt=+2\text{ ft/s}$ 。高度降低时 $dy/dt<0$ 。如果问题问向下的“速率”，正的大小是 $|dy/dt|$ 。

写下在运动期间成立的几何或物理关系。保持长度为变量，对 $t$ 求导。这里用到链式法则： $d[x(t)^2]/dt=2x\,dx/dt$ 。之后才代入指定时刻的尺寸和已知变化率。最后检查符号和量纲：长度的导数是长度/时间，体积的导数是体积/时间。

记录项	要回答的问题
变量	什么在变化，哪个方向为正？
关系式	哪个方程在相关时刻都成立？
此刻已知	现在的长度与带符号变化率是什么？
所求变化率	应解出哪个导数？
检验	方向和单位是否合理？

康奈尔大学微积分练习资料也把这一思路用于不同图形。这张表让每个量的意义与导数方程同时可见。

例1：滑动的梯子

变量。 $x(t)$ 为底端离墙距离， $y(t)$ 为顶端高度，均以英尺计；距离或高度增加为正。刚性梯子长 $10\text{ ft}$ 。指定时刻 $x=6\text{ ft}$ ， $dx/dt=+2\text{ ft/s}$ 。求 $dy/dt$ 。

关系式。 直角三角形给出 $x^2+y^2=100$ 。当 $x=6$ 时，正的高度 $y=\sqrt{100-36}=8\text{ ft}$ 。但不要在求导之前把关系式中的 $x$ 固定为6，因为它在该时刻前后仍在变化。

先求导后代入。 右边为常数，所以

2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=0, \qquad \frac{dy}{dt}=-\frac{x}{y}\frac{dx}{dt}.

代入得 $dy/dt=-(6/8)(2)=-1.5\text{ ft/s}$ 。答案与检验。 顶端高度下降，带符号的竖直速度为负；向下速率的正值是 $1.5\text{ ft/s}$ 。 $x/y$ 无量纲，乘 $dx/dt$ 后仍是英尺每秒。若在这些正方向下算出正的 $dy/dt$ ，应检查负号。

梯子接近地面时 $y$ 变小，理想化公式给出的速度大小会变大。这是固定水平速度的刚性梯子模型的性质，并不预测真实梯子能够始终按此方式运动。答案只对应题目所给的一瞬间。

例2：圆锥容器注水

一个圆锥形容器尖端朝下，总高度 $12\text{ cm}$ ，顶部半径 $4\text{ cm}$ 。水以 $dV/dt=+6\pi\text{ cm}^3/\text{s}$ 注入。水深 $h=6\text{ cm}$ 时，水面上升多快？

变量。 水深 $h(t)$ 和水面半径 $r(t)$ 都变化，水量 $V(t)$ 也变化。关系式。 相似三角形给出 $r/h=4/12=1/3$ ，故 $r=h/3$ 。水形成的圆锥体积为 $V=(\pi/3)r^2h$ 。现在代入的是变量之间的关系： $V=(\pi/27)h^3$ ，并未把 $h$ 固定为某时刻数值。

先求导后代入。 链式法则给出

\frac{dV}{dt}=\frac{\pi}{9}h^2\frac{dh}{dt}.

$h=6\text{ cm}$ 时有 $6\pi=(\pi/9)(36)\,dh/dt=4\pi\,dh/dt$ ，所以 $dh/dt=1.5\text{ cm/s}$ 。检验。 正号符合水面上升。系数 $(\pi/9)h^2$ 的单位为平方厘米，用立方厘米每秒除它得到厘米每秒。此刻 $r=2\text{ cm}$ 。若把容器固定的顶部半径4误当成当前水面半径2，速度会算错。

也可保留 $V=(\pi/3)r^2h$ ，求导时同时出现 $dr/dt$ 与 $dh/dt$ ，再用 $dr/dt=(1/3)dh/dt$ 。答案相同。先以 $r=h/3$ 消去一个变量则更简短。

例3：行人与影子

一盏灯位于平地上方 $6\text{ m}$ 。身高 $2\text{ m}$ 的人以 $dx/dt=+1.5\text{ m/s}$ 沿直线离开灯的底座。令 $x(t)$ 为人与灯的距离， $s(t)$ 为影子的长度。分别求影长增长速度和影尖移动速度。

变量。 离开灯的方向为正。影尖距灯 $x+s$ ，因此 $ds/dt$ 与 $d(x+s)/dt$ 是不同的变化率。关系式。 相似三角形比较灯高与到影尖的距离、人的身高与影长：

\frac{6}{x+s}=\frac{2}{s}.

交叉相乘得 $6s=2x+2s$ ，因此 $s=x/2$ 。该关系在理想的直线几何中成立。求导： $ds/dt=(1/2)dx/dt=0.75\text{ m/s}$ ，这是影长增加速度。

影尖与检验。 影尖位置 $p=x+s=3x/2$ ，故 $dp/dt=dx/dt+ds/dt=1.5+0.75=2.25\text{ m/s}$ 。影尖比人走得快，它的速度不等于影长增长速度。两者均为正，单位都是米每秒。如果人停下， $dx/dt=0$ ，两导数也为零，这是简单的极限情形检查。

应用结果并检查题意

三例都先使用运动期间成立的关系式，然后才代入某一瞬间的数值。但结果的含义各异：梯子高度下降，圆锥水深由体积流量决定并上升，影子则有两种不同的正速度。五项记录帮助比较，不必死记三套互不相干的技巧。

练习时可只改变一个已知速度而保持几何形状。同在 $x=6\text{ ft}$ ，若梯子底端以 $1\text{ ft/s}$ 外移，顶端速度减半为 $-0.75\text{ ft/s}$ 。同一水深下，注水速度加倍， $dh/dt$ 也加倍。比例检查能发现算术错误，却不能代替几何关系的推导。Math Zen可让你逐题练习所需微分规则；AP Calculus备考指南将相关内容放进更广的微分应用中。