Mathe für Physik: was du vor AP Physics 1 oder A-Level üben solltest

Ein Schüler kann Newtons zweites Gesetz klar erklären, ein korrektes Freikörperbild zeichnen, die richtige Gleichung aufstellen und trotzdem den Punkt verlieren. Der Fehler passiert zwei Zeilen später: Eine Formel wird falsch umgestellt, Sinus wird verwendet, wo Kosinus gehört, oder eine Geschwindigkeit in Kilometern pro Stunde wird mit einer Zeit in Sekunden multipliziert.

Fragt man eine Physiklehrkraft, wo die Punkte verloren gehen, lautet die Antwort selten „sie haben die Physik nicht verstanden". Es sind Algebra, Trigonometrie und Einheiten. Das sind mathematische Fertigkeiten, und sie lassen sich getrennt von der Physik üben, die sie nutzt.

Dieser Artikel bildet die Mathematik hinter dem ersten Physikjahr ab, Thema für Thema, damit du genau die Fertigkeit übst, die versagt, statt ein Kapitel erneut zu lesen, das du bereits verstehst. Er richtet sich an Schüler, die sich auf AP Physics 1 oder A-Level Physics vorbereiten, und an alle, die mit unserer Schwester-App Physics Zen beginnen und sich fragen, warum die Algebra immer wieder zuschlägt.

Formeln umstellen: die Fertigkeit, die du in jedem Thema brauchst

Physikformeln werden fast nie in der Form abgefragt, in der sie abgedruckt sind. Das Formelblatt gibt dir $v = u + at$; die Aufgabe fragt nach der Zeit. Es gibt dir $F = ma$; die Aufgabe nennt die Kraft und die Beschleunigung und will die Masse wissen.

Umstellen ist gewöhnliche Algebra: Du wendest auf beiden Seiten dieselbe Operation an, bis die Unbekannte allein steht. Auch die Fehler sind gewöhnlich. Einen Term nur von einer Seite abzuziehen. Nur einen Summanden einer Summe zu dividieren statt der ganzen Summe. Eine quadrierte Größe zu verschieben und dabei die Quadratwurzel auf der anderen Seite zu vergessen.

Ein nützliches Beispiel ist die Zentripetalbeschleunigung, $a = \frac{v^2}{r}$. Nach dem Radius aufzulösen bedeutet, beide Seiten mit $r$ zu multiplizieren und durch $a$ zu teilen, was $r = \frac{v^2}{a}$ ergibt. Nach der Geschwindigkeit aufzulösen braucht am Ende eine Quadratwurzel, $v = \sqrt{ar}$. Schüler, die bei $v = \frac{ar}{1}$ landen, haben keinen Physikfehler gemacht; sie haben einen Algebraschritt ausgelassen.

Falls sich das langsam anfühlt: Das Algebra-Thema von Math Zen übt Vereinfachen, Lösen und Umstellen mit jedes Mal neuen Zahlen, und der Algebra-Leitfaden erklärt, warum die Schritte erlaubt sind. In Physics Zen taucht dieselbe Fertigkeit sofort im kostenlosen Kinematik-Thema auf, wo jede Aufgabe dir eine Gleichung zum Umstellen gibt.

Quadratische Gleichungen erscheinen, sobald die Schwerkraft ins Spiel kommt

Gleichmäßige Beschleunigung führt zur Gleichung

$$s = ut + \tfrac{1}{2}at^2$$

Sobald die Unbekannte die Zeit ist, handelt es sich um eine quadratische Gleichung. Ein Ball, der mit $15\ \text{m/s}$ von einem Vorsprung $20\ \text{m}$ über dem Boden nach oben geworfen wird, erreicht den Boden, wenn

$$0 = 20 + 15t - 4.9t^2$$

Die Mitternachtsformel liefert zwei Lösungen, ungefähr $t = 4.07\ \text{s}$ und $t = -1.00\ \text{s}$. Nur die positive Lösung beschreibt eine Zeit nach dem Wurf. Die Physik sagt dir, welche Lösung du behältst; die Algebra sagt dir, wie die Lösungen lauten. Beide Schritte müssen stimmen.

Die üblichen mathematischen Fehler hier sind Vorzeichenfehler innerhalb der Formel, $b$ statt $-b$ zu verwenden, und Rechenfehler unter der Wurzel. Jeder davon wird in Gleichungen lösen auf Math Zen geübt, und der Leitfaden zu quadratischen Gleichungen zeigt, warum die Formel funktioniert. Wurf- und Fallaufgaben in der Kinematik von Physics Zen nutzen sie danach jedes Mal mit neuen Startgeschwindigkeiten.

Trigonometrie macht aus einer Neigung zwei Zahlen

Kräfte auf einer schiefen Ebene, die Spannung in einem schräg verlaufenden Seil, die Startgeschwindigkeit eines Wurfs: All das muss in Komponenten zerlegt werden. Das ist Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck, nicht mehr.

Die Regel, die die meisten Fehler verhindert: Die Komponente, die am bekannten Winkel anliegt, nutzt Kosinus; die Komponente, die ihm gegenüberliegt, nutzt Sinus. Auf einer Neigung mit Winkel $\theta$ ist die Gewichtskomponente entlang der Ebene $mg\sin\theta$, und die Komponente, die in die Ebene drückt, ist $mg\cos\theta$.

Prüfe das an einem Grenzfall. Bei $\theta = 0$ ist die Fläche flach, und nichts sollte den Block entlang ziehen. Da $\sin 0 = 0$ ist, besteht die Sinus-Version diesen Test. Hättest du $mg\cos\theta$ für die Kraft entlang der Ebene geschrieben, würde der flache Fall ein volles $mg$ zur Seite ziehend ergeben, was offensichtlich falsch ist. Diese Dreißig-Sekunden-Prüfung erwischt den häufigsten Trigonometriefehler in der Mechanik.

Math Zen hat genau dafür ein eigenes Trigonometrie-Thema, und das Vektoren-Thema behandelt das Wiederzusammensetzen von Komponenten. Lies zuerst den Trigonometrie-Leitfaden, falls sich Sinus und Kosinus noch wie eine Wertetabelle anfühlen statt wie Koordinaten auf einem Kreis. Auf der Physikseite ist die schiefe Ebene die letzte Fertigkeit in Physics Zen Dynamik.

Potenzen, Wurzeln und das Abstandsquadratgesetz

Kinetische Energie ist $\tfrac{1}{2}mv^2$. Die Zentripetalbeschleunigung ist $\frac{v^2}{r}$. Die Gravitationsfeldstärke ist $\frac{GM}{r^2}$. Die Physik ist voller Quadrate in Zählern und Nennern, und jedes davon erzeugt eine Frage zum proportionalen Denken.

Verdoppelst du die Geschwindigkeit, wird die kinetische Energie viermal so groß. Verdoppelst du den Bahnradius, sinkt die Oberflächenschwerkraft auf ein Viertel. Verdreifachst du die Geschwindigkeit auf derselben Kurve, wächst die benötigte Zentripetalkraft auf das Neunfache. Prüfer lieben solche Aufgaben, weil die Rechnung trivial ist, die Überlegung dagegen nicht.

Zwei mathematische Gewohnheiten sind hier entscheidend. Erstens, wissen, wie eine Potenz auf das Skalieren der Basis reagiert: Wird $v$ mit $k$ multipliziert, wird $v^2$ mit $k^2$ multipliziert. Zweitens, sicher mit der wissenschaftlichen Schreibweise umgehen können, denn $G = 6.67 \times 10^{-11}$ und die Erdmasse $5.97 \times 10^{24}\ \text{kg}$ werden in derselben Aufgabe miteinander multipliziert.

Die Fertigkeit Potenzen und Wurzeln auf Math Zen übt beides, und der Exponenten-Leitfaden erklärt, was ein negativer Exponent tatsächlich bedeutet. Gravitation findet sich in Kreisbewegung und Gravitation auf Physics Zen.

Verhältnisse, Proportionen und Einheitenumrechnung

Ein Auto, das mit $72\ \text{km/h}$ fährt, bremst $4\ \text{s}$ lang. Bevor überhaupt Physik passieren kann, muss diese Geschwindigkeit zu $20\ \text{m/s}$ werden. Die Division durch $3.6$ ist keine physikalische Tatsache; sie ist $1000$ Meter pro Kilometer geteilt durch $3600$ Sekunden pro Stunde.

Einheitenumrechnung ist proportionales Denken. Das gilt auch für Dichteaufgaben, Fragen nach „wie viel Mal mehr" und jede Aufgabe, die zwei Größen in einem festen Verhältnis angibt. Das Fehlermuster ist immer dasselbe: zu multiplizieren, wo du dividieren solltest, oder bei einer zusammengesetzten Größe wie $\text{km/h}$ nur eine der beiden Einheiten umzurechnen.

Die Fertigkeit Verhältnisse und Proportionen auf Math Zen behandelt genau das, mit einer ausführlicheren Erklärung im Verhältnisse-Leitfaden. Die gleichförmige Bewegung in Physics Zen, die allererste Fertigkeit im kostenlosen Kinematik-Thema, verlangt fast in jeder Aufgabe dieselbe Umrechnung.

Graphen lesen: Steigung und Fläche

Geschwindigkeit-Zeit-Diagramme sind die am häufigsten geprüfte Darstellung im ersten Physikjahr. Die Steigung ist die Beschleunigung. Die Fläche zwischen der Linie und der Zeitachse ist die Verschiebung. Weg-Zeit-Diagramme geben die Geschwindigkeit als Steigung. Die Physik besteht darin, zu wissen, welche Größe wo steckt; die Mathematik besteht darin, eine Steigung zu lesen und eine Fläche korrekt zu berechnen.

Die häufigen Fehler sind, die Höhe eines Graphen abzulesen, wenn nach seiner Steigung gefragt ist, und zu vergessen, dass Fläche unterhalb der Achse als negative Verschiebung zählt. Beides sind Fehler beim Lesen der Mathematik, keine Physikfehler.

Das Graphenanalyse-Thema von Math Zen übt Achsenabschnitte, Steigungen und das Verhalten von Graphen ganz ohne Physik. Wechselst du später zu einem Analysis-basierten Kurs, zeigen der Ableitungen-Leitfaden und der Integrale-Leitfaden, dass „Steigung" und „Fläche" dieselben Ideen sind, nur exakt gemacht.

Zwei Unbekannte brauchen zwei Gleichungen

Manche Aufgaben lassen sich nicht mit einer Gleichung nach der anderen lösen. Ein elastischer Stoß erhält sowohl Impuls als auch kinetische Energie, was zwei Gleichungen für zwei Endgeschwindigkeiten ergibt. Ein Stromkreis mit zwei Batterien braucht die Kirchhoffsche Maschenregel für zwei Maschen. Eine Wurfaufgabe kann eine horizontale und eine vertikale Gleichung kombinieren, die sich die Flugzeit teilen.

Das sind lineare Gleichungssysteme, und das typische Fehlermuster ist, in die falsche Gleichung einzusetzen oder den Überblick zu verlieren, welche Variable bereits eliminiert wurde. Die Fertigkeit lineare Gleichungssysteme auf Math Zen übt die Mechanik von Einsetzen und Elimination. Auf Physics Zen taucht dieselbe Struktur bei Impuls und Stößen und bei Stromkreisen auf.

Ein Übungsplan, der beide Apps nutzt

Die folgende Tabelle ordnet jedem Physikthema die mathematische Fertigkeit zu, die darin am häufigsten versagt.

Physikthema (Physics Zen)	Mathefertigkeit, die am häufigsten versagt (Math Zen)
Gleichförmige Bewegung	Verhältnisse und Einheitenumrechnung
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung, freier Fall	Formeln umstellen, quadratische Gleichungen
Wurfbewegung	Trigonometrie, quadratische Gleichungen, lineare Gleichungssysteme
Newtonsche Gesetze, Reibung, schiefe Ebene	Trigonometrie, lineare Gleichungen lösen
Arbeit, Energie, Leistung	Potenzen und Wurzeln, proportionales Denken
Impuls und Stöße	Lineare Gleichungssysteme
Kreisbewegung und Gravitation	Quadrate in Brüchen, wissenschaftliche Schreibweise
Graphenaufgaben in jedem Thema	Steigung, Fläche, Verhalten von Graphen

Eine funktionierende Routine ist kurz. Verbring zehn Minuten mit der mathematischen Fertigkeit aus der rechten Spalte mit frisch generierten Aufgaben, wechsle dann zum Physikthema links und löse, bis die Algebra nicht mehr das ist, was dir auffällt. Beide Apps generieren jedes Mal neue Zahlen, sodass du keine Antworten auswendig lernen kannst, nur Methoden.

Physics Zen wird vom selben Team wie Math Zen entwickelt und folgt demselben Ablauf: eine generierte Aufgabe, eine sofortige Kontrolle, eine ausgearbeitete Lösung und die Theorie direkt neben der Aufgabe. Kinematik ist von Anfang bis Ende kostenlos. Es ist verfügbar für iPhone und Android. Für die umgekehrte Sichtweise listet der Physics-Zen-Blog die Physikfehler, die eigentlich Mathefehler sind auf, und was jeweils zu üben ist.

Du brauchst nicht mehr Physik, um ein verlorenes Vorzeichen zu beheben. Du brauchst fünf Minuten der richtigen Algebra, und dann bekommt die Physik, die du bereits verstehst, den Punkt, den sie verdient.