绝对值方程：把它看作距离来求解

$|x|$两边的竖线常常看起来像又一条需要背下来的指令。换一种读法，把它当成一个问题：这个数离零有多远？

5离零有五步。-5也离零有五步，只是方向相反。因此$|5| = 5$，而且$|-5| = 5$。绝对值保留距离，去掉方向。

看清这幅图后，求解绝对值方程就变成寻找与某点相距指定距离的位置。常见的两种情况来自数轴本身，并不是强加在代数上的技巧。

距离可以是零，但不能是负数

绝对值的结果是非负数。“非负”很重要，因为零是允许的，所以说绝对值总会把数变成正数并不完全准确。

对于实数$x$，定义是：

$$|x| = \begin{cases}x & x \geq 0 \\ -x & x < 0\end{cases}$$

第二行并不是说答案为负。如果$x = -7$，那么$-x = -(-7) = 7$。负号会反转一个已经是负数的方向。我们的负数指南更详细地解释了这种反转。

应用绝对值之前，先计算竖线里面的表达式：

$$|3 - 8| = |-5| = 5$$

通常不能把绝对值符号分配到减法的每一项上。这里$|3| - |8| = -5$，与原式不同。两条竖线围住的是一个完整表达式，变成距离的是这个表达式的值。

为什么会出现两个答案

考虑：

$$|x| = 6$$

哪些点离零六个单位？有两个：$x = 6$和$x = -6$。两者都满足方程，谁也不比另一个更正确。

现在移动参照点：

$$|x - 4| = 6$$

表达式$x - 4$表示$x$与4之间带符号的差，取绝对值后得到两点间的距离。从4出发，向右移动六个单位或向左移动六个单位：

$$x = 4 + 6 = 10 \quad \text{或} \quad x = 4 - 6 = -2$$

直接检验两个答案：$|10 - 4| = 6$，而且$|-2 - 4| = 6$。

参照点不一定是正数。在$|x + 3| = 2$中，可以在心里把里面改写成$x - (-3)$。中心是-3，所以解是-1和-5。

分成两种情况前先孤立绝对值

对于正的常数$c$，基本规则是：

$$|A| = c \quad \Longleftrightarrow \quad A = c \;\text{或}\; A = -c$$

这里的$A$表示竖线内的整个表达式。使用这条规则前，要用普通代数中保持等式平衡的运算孤立绝对值。

解这个例子：

$$3|2x - 1| + 4 = 25$$

减去4：

$$3|2x - 1| = 21$$

除以3：

$$|2x - 1| = 7$$

现在分成两个方程：

$$2x - 1 = 7 \quad \text{或} \quad 2x - 1 = -7$$

第一个得到$2x = 8$，所以$x = 4$。第二个得到$2x = -6$，所以$x = -3$。

代回原方程检验，得到$3|8 - 1| + 4 = 25$和$3|-6 - 1| + 4 = 25$。两个答案都成立。

不要直接把原方程中的25改成-25来分情况。绝对值规则改变的是孤立距离的符号，不是题目中每一项的符号。Paul's Online Math Notes讲解这类方程时也强调了先孤立绝对值并检验答案。

继续运算前先检查是否无解

假设方程是：

$$2|x + 1| + 5 = 1$$

减去5，再除以2，得到：

$$|x + 1| = -2$$

到这里就应停下。没有实数到某点的距离是负二。若分成$x + 1 = -2$和$x + 1 = 2$，你是在为另一个问题制造答案。

零要单独处理：

$$|3x - 9| = 0$$

里面必须等于零，所以$3x - 9 = 0$，于是$x = 3$。分别写正零和负零，只会把同一个答案算两遍。

对于已经孤立、内部是非常数一次式的绝对值，右边为正数时有两个解，为零时有一个解，为负数时无解。不要把这条捷径推广到所有绝对值方程，因为内部可能是二次式，右边也可能含有变量。

右边含有变量时要检查符号

现在解：

$$|x - 2| = 2x + 1$$

左边不可能是负数，所以解必须满足$2x + 1 \geq 0$，也就是$x \geq -\frac{1}{2}$。

列出两个候选方程：

$$x - 2 = 2x + 1 \quad \text{或} \quad x - 2 = -(2x + 1)$$

第一个得到$x = -3$，但它不满足符号限制。代回原方程可以直接看出问题：左边是5，右边是-5。

第二个得到$3x = 1$，所以$x = \frac{1}{3}$。代入后两边都是$\frac{5}{3}$。这是唯一的解。

当某项运算可能产生不满足原方程的候选答案时，检验尤其有用。两边平方也会这样，因为平方会抹去右边为正还是为负的区别。

两个绝对值是在比较两个距离

两边都有绝对值的方程也可能很简单：

$$|x - 1| = |x + 5|$$

它问的是哪个点到1和-5的距离相等。在数轴上，这个点就是两者的中点$x = -2$。

代数会得到同一个答案。两个绝对值相等，说明内部相等或互为相反数：

$$x - 1 = x + 5 \quad \text{或} \quad x - 1 = -(x + 5)$$

第一个方程化为$-1 = 5$，所以无解。第二个化为$2x = -4$，得到$x = -2$。它到两个参照点的距离都是3。

这与$|x - 1| + |x + 5| = 10$这种含有绝对值之和的方程不同。不能只分一次两种情况就去掉所有绝对值符号。这类问题通常需要根据每个内部表达式改变符号的位置划分区间。

图像让解的数量一目了然

$y = |x|$的图像是V形。零的右边沿着$y = x$，左边沿着$y = -x$。V形的尖点叫作顶点。

对于$y = |x - 4|$，顶点移到$(4, 0)$。求解$|x - 4| = 6$，就是寻找这个V形图像与水平线$y = 6$相交的位置。它们有两个交点，分别是$x = -2$和$x = 10$。

位于零的水平线只接触顶点一次。零以下的水平线完全碰不到图像。这就在纸上画出了两个解、一个解或没有解的规律。

把等式改成不等式，问题就从寻找交点变成寻找区域。例如$|x - 4| < 6$表示到4的距离小于6，所以$-2 < x < 10$。我们的不等式指南进一步讲解了这一步。

一套简短的求解流程

先算出绝对值符号内所有纯数字部分，再孤立一个绝对值，检查另一边的符号，只在符号允许时分成两种情况。分别求解后，把每个候选答案代回原方程。

你可以在Math Zen的代数主题中练习这个过程，其中包含绝对值内容。使用两种情况的规则前，先从距离图像入手。如果你能说明参照点在哪里，以及方程要求怎样的距离，接下来的代数任务就很明确了。