偏導數練習題：五道例題的完整解法與驗算

求 $f(x,y)=x^2y+3y^2$ 的兩個偏導數。如果你算出 $2x$ 和 $6y$，就少了一個係數，也漏掉了一整項。固定一個變數，是把它當作常數，不是刪掉所有含有這個變數的項。正確結果是 $f_x=2xy$ 和 $f_y=x^2+6y$。

這組練習從這個錯誤開始，再一步步處理乘積、複合函數、混合偏導數和數值驗算。請先試著解每一道題，再讀解法。在第一行旁邊寫下固定的是哪個變數；這個小註記能幫你發現不少錯誤。

如果想先看計算背後的圖像，可以讀偏導數的直覺解說。本文著重代數運算和答案檢查，不重複介紹曲面與梯度。

寫在計算上方的規則

求 $f_x$ 時，對 $x$ 微分，並把 $y$ 視為常數。求 $f_y$ 時，交換兩者的角色。OpenStax 的偏導數定義在差商中明確指出哪個輸入保持固定。接著對會變動的變數套用一般微分法則。

例如，固定 $y$ 時，$y^2$ 是常數，但 $xy^2$ 是常數乘上 $x$。因此兩者對 $x$ 的導數不同：

$$\frac{\partial}{\partial x}(y^2)=0, \qquad \frac{\partial}{\partial x}(xy^2)=y^2.$$

不要在微分前把兩個座標都代入。代入整個點會使表達式變成單一數值，失去求導所需的鄰近變化。先微分，再代入求值。只先代入固定的座標則可以，而且能作為獨立的驗算。

題目 1：有兩個獨立輸入的多項式

求下式的 $f_x$ 和 $f_y$，

$$f(x,y)=2x^3y-5xy^2+7y,$$

再算出它們在 $(1,2)$ 的值。

對 x 微分： 固定 $y$。$x^3$ 和 $x$ 的係數分別是 $2y$ 與 $-5y^2$。最後一項不會改變：

$$f_x=6x^2y-5y^2.$$

對 y 微分： 固定 $x$。第一項對 $y$ 是一次項，第二項是二次項，第三項又是一次項：

$$f_y=2x^3-10xy+7.$$

在指定的點，

$$f_x(1,2)=12-20=-8, \qquad f_y(1,2)=2-20+7=-11.$$

兩個導數在這裡都為負，但只憑導數的符號無法確定函數值，因為高度和斜率是不同的量。要獨立檢查第一個答案，把 $y=2$ 代回原函數，得到 $4x^3-20x+14$。它的一般導數是 $12x^2-20$，在 $x=1$ 時仍等於 $-8$。

題目 2：乘積與指數函數

求下列函數的兩個偏導數：

$$g(x,y)=x^2e^{xy}.$$

求 $g_x$ 時，兩個因子都依賴 $x$，所以要用乘法法則。指數函數還需要連鎖律：固定 $y$ 後，$xy$ 的導數是 $y$。

$$g_x=2xe^{xy}+x^2e^{xy}y =e^{xy}(2x+x^2y).$$

求 $g_y$ 時，因子 $x^2$ 是常數。只有指數函數會變，而它的指數對 $y$ 微分得到 $x$：

$$g_y=x^2e^{xy}x=x^3e^{xy}.$$

在 $(1,0)$，結果是 $g_x=2$ 和 $g_y=1$。常見錯答 $g_x=2xe^{xy}$ 只微分第一個因子，忘了第二個因子也依賴 $x$。另一種錯答把兩次計算中的內層導數都當成 1，於是分不清 $x$ 和 $y$ 的作用。

若需要練習找出內層函數，連鎖律例題會先拆開每一層，再把因子組合起來。

題目 3：對數、分式與定義域

設

$$h(x,y)=\ln(x^2+2y^2).$$

對數要求 $x^2+2y^2>0$，因此原點不在定義域內。其他位置先對裡面的表達式微分，再除以該表達式：

$$h_x=\frac{2x}{x^2+2y^2}, \qquad h_y=\frac{4y}{x^2+2y^2}.$$

在 $(2,1)$，分母為 6，兩個導數都等於 $2/3$。這只是在該點相等，不表示兩個導函數完全相同。

分母也提醒我們檢查定義域。原函數和這兩個公式在 $(0,0)$ 都沒有值。如果計算在那裡得到零，就是把座標代進未定義的分式。求值前先確認定義域，特別是題目同時出現根式、對數與商的時候。

題目 4：按兩種順序求混合偏導數

考慮

$$p(x,y)=x^2y^3+\sin(xy).$$

在本文中，$p_{xy}$ 表示先對 $x$ 微分，再對 $y$ 微分。請寫出中間結果，讓順序一目了然：

$$p_x=2xy^3+y\cos(xy).$$

現在對這個式子求 $y$ 的導數。第二項需要乘法法則：

$$p_{xy}=6xy^2+\cos(xy)-xy\sin(xy).$$

把順序反過來算：

$$p_y=3x^2y^2+x\cos(xy),$$ $$p_{yx}=6xy^2+\cos(xy)-xy\sin(xy).$$

兩個答案一致。這裡相關導數都連續，因此依照 OpenStax介紹的混合偏導數定理，也可以預期它們相等。不要把這當成對所有函數都無條件成立的規則。對一般光滑函數的練習題，這是很好的驗算；若某點缺少必要的正則性，定理的前提仍然重要。

題目 5：第三個變數也是要固定的輸入

對

$$q(x,y,z)=xy^2+z\cos x,$$

求全部三個一階偏導數。每次固定另外兩個輸入，就得到

$$q_x=y^2-z\sin x, \qquad q_y=2xy, \qquad q_z=\cos x.$$

在 $(0,2,3)$，它們依序是 4、0、1。中間的零不表示函數從不依賴 $y$，只表示在該點沿這個方向的一階變化率為零。把 $x=0$ 代回原式，就能確認截面是 $q=3$，其中 $z=3$。

用數值驗算抓出漏掉的因子

回到題目 1 的 $(1,2)$。固定 $y=2$，取一個很小的正數 $s$，計算中心差分

$$\frac{f(1+s,2)-f(1-s,2)}{2s}.$$

對這個多項式展開分子，會精確得到 $-8+4s^2$。驗算如下：

這是檢查符號運算的答案，不是微分公式的證明，而且只檢查所選的一個點。如果不小心在分子裡同時改變兩個座標，測量的就是另一條路徑上的變化。浮點運算中，步長太小會使相近數字相減時產生消去誤差，因此多幾個零不保證檢驗更準確。

重算前先診斷錯誤答案

用表格找出錯誤發生在哪一步，不必把全部代數計算從頭重寫。如果一般的微分法則還不熟悉，可先回到導數入門。

再試兩題，然後對照解法

練習 A。 求 $r_x$ 和 $r_y$，其中 $r(x,y)=3x^2y+y^4$，並在 $(2,-1)$ 求值。

導數是 $r_x=6xy$ 和 $r_y=3x^2+4y^3$。在該點分別為 $-12$ 和 $8$。$y^4$ 只在對 x 微分時消失；對 y 微分時，它貢獻 $4y^3=-4$。

練習 B。 求 $s(x,y)=\cos(2x-y)$ 的兩個一階偏導數，並在 $(0,0)$ 求值。

連鎖律給出 $s_x=-2\sin(2x-y)$ 和 $s_y=\sin(2x-y)$。第二個答案的正號來自兩個負號：微分餘弦產生一個，對 $2x-y$ 以 $y$ 微分又產生一個。兩條公式不同，但在原點的值都為零。

熟悉這些計算後，繼續做偏導數練習。簡短記錄你修正的是哪一類錯誤：固定輸入、乘法法則、內層導數，還是太早代入。這份記錄會告訴你接下來應重做哪類題目。