偏導數是什麼？直覺理解偏導數（單一方向的斜率）

普通的導數是曲線的斜率。你有一個輸入、一個輸出，而在每一點上，有一個數說明輸出變化得多快。一旦函數有兩個輸入，這個畫面就失效了。三維空間中的圖形是曲面，不是曲線，而曲面並沒有單一的斜率。從同一點出發，你往東走可能是平緩的上坡，往北走卻可能是下坡。

偏導數就是老老實實的替代做法。它回答的是一個比較窄的問題：如果我讓其他所有輸入保持不動，只往這個方向走，斜率是多少？這一章接下來的內容，混合偏導數、梯度、多變數連鎖律，都是沿著不只一條路徑問這同一個問題。

曲面沒有單一的斜率

單變數的函數在平面上畫出一條曲線。雙變數的函數 f(x, y) 則在空間中畫出一個曲面。每一對 (x, y) 是地板上的一個點，而 f(x, y) 就是那個點上方屋頂的高度。

以這個碗為例

$$f(x, y) = x^{2} + y^{2}$$

在原點，高度是 0。在 (1, 0)，高度是 1。在 (0, 2)，高度是 4。在 (1, 2)，高度是 5。站在 (1, 2)，並沒有哪一個數配得上「那個斜率」這個名稱。往 x 方向走，屋頂持續上升。往 y 方向走，上升得更快。斜著走，則是兩者的混合。

這就是為什麼已經精通單變數微積分的學生會覺得腳下的地面在動。他們所信賴的導數，原本是對局部變化的完整描述。在曲面上，它只是對某一條選定路徑的描述。

天氣圖和地形圖已經用到了這個概念。等高線是高度相同的點所構成的集合。等高線密集的地方，曲面很陡。等高線疏散的地方，曲面平緩。偏導數就是你沿著那張地圖上的一條格線走、而忽略另一條時，會量到的斜率。

讓一個輸入保持不動

讓曲面變得好讀的做法，是切片。

把 y 固定成常數，比方說 y = 2，只看高度如何依賴 x。函數就簡化成

$$g(x) = f(x, 2) = x^{2} + 4$$

這是一條位在 x 軸上方四個單位的普通拋物線。它的導數是 2x。這個數就是 f 對 x 的偏導數，在直線 y = 2 上求值。在 x = 1 時它等於 2：如果你站在 (1, 2)，往 x 方向跨出一小步，屋頂每走一個單位的步長，大約上升 2 個單位的高度。

反過來固定 x，比方說 x = 1，切片就是

$$h(y) = 1 + y^{2}$$

導數是 2y。在 y = 2 時，那個斜率是 4。同一個點，不同的路徑，不同的斜率。這並不矛盾。你問的是兩個不同的問題。

在計算上，規則和單變數微積分中已經用過的一樣。要求 $\frac{\partial f}{\partial x}$，把 y 當成常數，對 x 微分。要求 $\frac{\partial f}{\partial y}$，把 x 當成常數，對 y 微分。對這個碗來說，$\frac{\partial f}{\partial x}$ = 2x，$\frac{\partial f}{\partial y}$ = 2y。另一個變數甚至不會出現，因為 $x^{2} + y^{2}$ 中的每一項只依賴一個輸入。在像 $3x^{2}$y 這樣的乘積中，兩個輸入都出現：$\frac{\partial}{\partial x}$ 得到 6xy，因為 3y 是 $x^{2}$ 的固定係數，$\frac{\partial}{\partial y}$ 得到 $3x^{2}$，因為 $3x^{2}$ 是 y 的固定係數。

「把另一個變數視為常數」這句話不是考試用的小技巧。它就是切片。你站在一條格線上，問的是屋頂沿著那條線的斜率。

彎曲的 d 是警告標籤

符號 ∂，也就是彎曲的 d，存在的目的，是讓這種切片不會與另外兩種導數搞混。

$\frac{df}{dx}$ 中普通的 d 屬於單變數的函數。如果有人對 f(x, y) 寫下 $\frac{df}{dx}$，他並沒有說明 y 發生了什麼事。也許 y 是獨立的而且被凍結，那就是偏導數。也許 y 暗地裡是 x 的函數，這時 x 可以同時透過兩條管道改變輸出，你需要的就是全導數。彎曲的 d 宣告的是第一種解讀：這個輸入在動，其他的不動。

記號接著分成兩種意思相同的習慣：

• 萊布尼茲記法：$\frac{\partial f}{\partial x}$ 與 $\frac{\partial f}{\partial y}$
• 下標記法：$f_x$ 與 $f_y$

兩者都是一條切片的斜率。高階偏導數則把下標或分母疊起來。$f_xx$ 是「對 x 切片，再把那個斜率對 x 切一次」，也就是沿著那條格線的普通二階導數。$f_xy$ 是「對 x 切片，再問這個 x 方向的斜率在你往 y 方向移動時如何變化」。

彎曲的 d 不是新的演算法。冪法則、乘積法則、連鎖律，全都仍然適用。新的資訊只是哪些變數被凍結了。整個主題其實就是這一點；忘了它，才會把它誤讀成一個新主題。

混合偏導數衡量扭轉

有了 $f_x$，你可以再微分一次。對 x 微分會得到 $f_xx$，也就是東西向切片的凹性。對 y 微分則得到混合偏導數 $f_xy$：東西向的斜率本身，在你往北走時如何變化。

在碗 $x^{2} + y^{2}$ 上，$f_x$ = 2x，所以 $f_xy$ = 0。東西向的斜率只依賴 x。往北走並不會改變它。這個曲面是圓形的碗，具有旋轉對稱，沒有扭轉。

在鞍面

$$f(x, y) = x^{2} - y^{2}$$

上，一階偏導數是 $f_x$ = 2x 與 $f_y$ = -2y。混合偏導數同樣都是零。比較有趣的混合偏導數例子是一個乘積，

$$f(x, y) = x^{2} y$$

這裡 $f_x$ = 2xy，接著 $f_xy$ = 2x。從另一邊開始，$f_y$ = $x^{2}$，接著 $f_yx$ = 2x。兩個混合偏導數相等。

這種相等是通常的情形，不是巧合。對於第一門多變數微積分課程中的平滑函數，混合偏導數是相等的：先往東再往北所感受到的扭轉，就是先往北再往東所感受到的扭轉。這個定理有技術上的條件（混合偏導數必須連續），但畫面並不會變。在沒有摺痕的曲面上，兩個小步伐的順序並不重要。

當課本要你「驗證 $f_xy$ = $f_yx$」時，它是要你檢查：這個曲面不會在某一種順序下暗地裡有扭轉，而在另一種順序下沒有。對於你在入門課程中會遇到的每個函數，檢查都會成立，而這個計算是切片規則的練習，不是新的概念。

梯度把斜率收集起來

某一點上的兩個一階偏導數是兩個數。把它們寫成一對，就成為輸入平面上的向量：

$$\nabla f = (f_x, f_y)$$

這個向量就是梯度。每個分量是一條切片的斜率，所以整個物件是一趟旅程：在地板的坐標中「往東這麼遠、往北那麼遠」，而不是在高度上。這趟旅程指向增加最快的方向，它的長度就是那段上坡有多陡。相反的旅程 -$\nabla f$ 指向下坡，這就是為什麼梯度下降法是逆著梯度走。

在碗 $x^{2} + y^{2}$ 的 (1, 2) 處，梯度是 (2, 4)。從那個地板上的點出發，爬上屋頂最快的方式，就是向量 (2, 4) 的方向，也就是與 (1, 2) 本身相同的方向。圓形碗上最陡的路徑是沿徑向往外，這正是畫面本來就暗示的，而梯度證實了它。

兩個偏導數都等於零的點是臨界點。梯度這趟旅程的長度為零：在一階近似下，沒有任何方向是上坡或下坡。那可能是極小值（碗的底部，在原點）、極大值（山丘的頂端），或鞍點（山口：沿一條切片是極小值，沿另一條是極大值）。鞍面 $x^{2} - y^{2}$ 在原點有一個臨界點。x 切片是山谷，y 切片是山脊，梯度為零是因為這兩個一階斜率相互抵消，成為一個平坦的瞬間，而不是一個平坦的鄰域。

多變數的最佳化就是這種搜尋。找出梯度是零旅程的位置，然後讀二階偏導數，或附近的切片，看看你面對的是碗、山丘，還是山口。使用 D = $f_xx$ $f_yy$ - ($f_xy$)² 的二階導數檢定，就是這種讀法的打包版本。D 本身不是重點。重點是兩條切片，以及它們之間的扭轉，決定了這個點的類型。

多變數連鎖律是同樣的配對在運動中的樣子。如果路徑 (x(t), y(t)) 在地板上行走，沿著路徑的高度變化率是

$$\frac{df}{dt} = f_x x'(t) + f_y y'(t)$$

這就是梯度與路徑速度的內積。曲面提供一趟由斜率組成的旅程，路徑提供一趟由運動組成的旅程。兩者的一致程度，就是實際行走的人所感受到的高度變化率。當路徑與梯度平行時，高度變化得最快。當路徑與梯度垂直時，高度在瞬間是不變的，這就是等高線的幾何意義。

錯誤從哪裡來

偏導數的錯誤幾乎都是沒有凍結正確的變數。

第一種是看到什麼就微分什麼。被要求求 $3x^{2}$y 的 $\frac{\partial}{\partial x}$ 時，學生寫出 6xy + $3x^{2}$，那是兩個偏導數的和，或寫出 6x，那是把 y 當成 x。切片規則更嚴格：在這次微分中，y 是一個數。它只以係數的身分留在答案中。

第二種是相信曲面有單一的斜率。依高度上色的繪圖軟體可能會掩蓋這件事，因為眼睛讀到的是單一的陡度。問某一點的斜率時，你必須回答「哪個方向？」偏導數就是這樣的一個答案。梯度是沿坐標軸的各個答案的集合。兩者都不是屋頂「那個」斜率。

第三種是把 ∂ 與 d 混用。如果 y 真的依賴 x，凍結 y 就是對這個情況的錯誤建模。相關變化率問題與某些微分方程需要全導數，它讓每一條依賴管道都有貢獻。當其他輸入真的獨立，或者你刻意選擇研究其中一條管道時，偏導數才是正確的。

第四種是把梯度為零當成保證是極小值。$x^{2} - y^{2}$ 的原點是臨界點，卻不是極小值或極大值。一階平坦不等於二階平坦。你仍然必須檢查切片。

第五種是把 $\nabla f$ 讀成 f 的值。梯度不是高度。它是輸入平面上由斜率組成的一趟旅程。把兩者搞混，就是向量那篇文章警告過的同一種混淆：把方向當成位置。

Math Zen 的定位

偏導數建立在普通導數之上，就像矩陣建立在向量之上。如果單變數的規則仍然只停留在口頭上，每一次切片都會變成儀式。如果它們已經流暢，偏導數就只多一個決定：哪一個輸入在動。

Math Zen 的偏導數練習依循這個順序。前面的級別練習切片本身：給定 f(x, y)，把另一個變數當成常數，寫出 $f_x$ 與 $f_y$。後面的級別再疊上更多導數（$f_xx$、$f_xy$、$f_yx$），組出梯度，沿著路徑套用連鎖律，並分類臨界點。這篇文章裡的畫面，恰好就是那張清單。

一個有用的循環是：挑一個雙變數函數，在某一點畫出兩條切片，計算兩個一階偏導數，組成梯度，並大聲說出哪個方向是上坡。然後隔一段時間再回來，使用與微積分系列其餘部分相同的間隔複習時程。目標不是背下「y 是常數」，而是看見一個曲面，並知道你走的是哪一條路徑。

結論

偏導數是曲面在某一個方向上的斜率，同時其他所有輸入都保持不動。彎曲的 d 標示出那個凍結。混合偏導數問的是，一條切片的斜率在你沿著另一個軸行走時如何變化，在平滑的曲面上，兩種順序的結果一致。梯度把一階偏導數收集成一趟指向上坡的旅程。臨界點是那趟旅程消失的地方，它們可能是碗、山丘或鞍點。

這樣整合起來，多變數微分並不是一種新的微積分。它是普通的微積分，一次對準一條格線，然後再重新組裝。曲面有很多斜率。偏導數就是你終於說出自己指的是哪一個時，所得到的東西。