分部積分例題：怎麼選 u 與 dv，並檢查每個答案

考慮 $\int x e^{2x}\,dx$。冪次法則沒辦法積分整個乘積，而單獨積分 $e^{2x}$ 又會把 $x$ 留在原處。分部積分替這個乘積指出一個有用的方向：微分會變簡單的那一部分，積分仍然好處理的那一部分，然後再處理剩下的那個比較小的積分。

要看完整的代數推導，請參見四個經過檢查的部分分式例題。

這一課用一系列分部積分例題，從單一個乘積，一路講到重複使用與定積分的上下限。如果你想先弄懂積分的意義再學技巧，請從我們的積分指南開始。導數指南也有幫助，因為把你的答案微分回去，正是這裡最好的檢查方式。

公式從哪裡來

乘法律說 $\frac{d}{dx}(uv)=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$。對兩邊積分，再把其中一項移到另一邊，就得到OpenStax Calculus, Volume 2 所述的分部積分公式：

$$\int u\,dv=uv-\int v\,du.$$

這裡 $u$ 是你選擇要微分的式子，$dv$ 是你選擇要積分的部分。求出 $du$ 與 $v$ 之後，新的積分 $\int v\,du$ 應該比原來的積分更容易。如果變得更糟，就重新考慮怎麼拆。這個公式是乘法律在代數上的結果，並不是保證每一種拆法都有用的食譜。

對不定積分，記得在最後加上常數 $C$。選取 $v$ 的反導函數時，可以把一個常數吸收進去，但比較簡單的做法是選一個方便的 $v$，再把 $C$ 加在最後的答案上。

有目的地選 u 與 dv

有用的問題是：「哪一個因式微分之後會縮小？」像 $x^2$ 這樣的多項式會變成 $2x$，再變成 $2$，最後變成零。對數會變成 $1/x$，常常能與其餘部分搭配得很好。同時，指數函數以及正弦或餘弦，反覆積分都仍然容易。

大家熟悉的 LIATE 口訣，把對數、反三角函數、代數式、三角函數與指數函數的因式，依序排為 $u$ 的候選。OpenStax 把它當成經驗法則，而不是定理。要檢查所得到的 $\int v\,du$，而不是盲信你看到的第一個字母。另一種拆法可能更短，有些乘積用變數變換處理會更好。

例如，$\int 2x\cos(x^2)\,dx$ 含有內層函數 $x^2$ 和它的導數 $2x$。令 $t=x^2$，則 $dt=2x\,dx$，積分就是 $\sin(x^2)+C$。用分部積分會把一個簡單的合成函數變成不必要的工作。相對地，$x e^{2x}$ 沒有這種直接的內層導數配對，而微分 $x$ 則會把它消去。

計算之前，先寫一個小的兩欄表：一邊是 $u$、$du$，另一邊是 $dv$、$v$。然後問問自己，把 $v$ 乘以 $du$ 會不會得到比較簡單的積分。這個檢查能避免一個常見的錯誤：僅僅因為某個因式看起來眼熟、容易積分，就把它選成 $u$。

例題 1：一次式乘以指數函數

求 $\int x e^{2x}\,dx$。選 $u=x$，所以 $du=dx$。選 $dv=e^{2x}\,dx$，得到 $v=\frac12e^{2x}$。這個因子 $\frac12$ 很重要：微分 $e^{2x}$ 會多出一個二。

$$\begin{aligned} \int x e^{2x}\,dx &=x\left(\frac12e^{2x}\right)-\int\frac12e^{2x}\,dx\\ &=\frac{x e^{2x}}2-\frac{e^{2x}}4+C\\ &=\frac{e^{2x}}4(2x-1)+C. \end{aligned}$$

把因式分解後的答案微分。乘法律給出 $\frac14[2e^{2x}(2x-1)+2e^{2x}]$，化簡後是 $x e^{2x}$。這恰好還原了被積分函數。如果檢查得到的是 $2x e^{2x}$，很可能的錯誤是在積分 $e^{2x}$ 時漏掉了 $\frac12$。

這個選擇也有一個看得見的停止點：微分 $x$ 會留下一個常數，所以剩下的積分只含指數函數。在這個例子中，這就是「比較簡單」的意思。

例題 2：積分一個對數

求 $x>0$ 時的 $\int\ln x\,dx$。這裡沒有寫出來的乘積，但你可以補上一個因子 1：$\ln x=1\cdot\ln x$。選 $u=\ln x$ 與 $dv=dx$。則 $du=\frac1x\,dx$，$v=x$。

$$\begin{aligned} \int\ln x\,dx &=x\ln x-\int x\frac1x\,dx\\ &=x\ln x-x+C. \end{aligned}$$

檢查很短：$\frac{d}{dx}(x\ln x-x)=\ln x+1-1=\ln x$。定義域 $x>0$ 讓我們可以寫出 $\ln x$ 和 $1/x$，而不必跨過零。更一般的反導函數 $x\ln|x|-x+C$ 在不含零的區間上也成立，但題目所述的範圍停留在正的一側。

如果你選 $u=1$ 與 $dv=\ln x\,dx$，你光是要求 $v$，就得先知道原來的積分。這種循環的拆法，說明了為什麼這裡對數要放在 $u$。

例題 3：重複使用這個方法，直到多項式消失

求 $I=\int x^2\sin x\,dx$。微分 $x^2$ 會降低它的次數，而積分正弦仍然很直接。先選 $u=x^2$ 與 $dv=\sin x\,dx$，所以 $du=2x\,dx$，$v=-\cos x$：

$$I=-x^2\cos x+2\int x\cos x\,dx.$$

剩下的積分仍然含有乘積。令 $J=\int x\cos x\,dx$，再用一次分部積分：$u=x$，$du=dx$，$dv=\cos x\,dx$，$v=\sin x$。則

$$J=x\sin x-\int\sin x\,dx=x\sin x+\cos x.$$

把這個結果代入 $I$：

$$\int x^2\sin x\,dx=-x^2\cos x+2x\sin x+2\cos x+C.$$

現在逐項微分。$-x^2\cos x$ 的導數是 $-2x\cos x+x^2\sin x$。$2x\sin x$ 的導數是 $2\sin x+2x\cos x$；$2\cos x$ 的導數是 $-2\sin x$。所有多餘的項都互相抵消，只剩下 $x^2\sin x$。這個抵消，是對積分正弦時的正負號，以及微分 $x^2$ 時的因子二的有力檢查。

當每次使用分部積分都讓某個因式變小時，重複使用分部積分就很有用。如果新的積分長得像原來的積分，仍然可能把原來的積分集中到同一邊來解，但不要在沒有明確終點的情況下，一直套用公式。

例題 4：定積分要保留上下限

計算 $\int_0^1 x\ln(1+x)\,dx$。因式 $x$ 容易積分，但微分 $\ln(1+x)$ 會得到 $1/(1+x)$。選 $u=\ln(1+x)$ 與 $dv=x\,dx$。則 $du=\frac{1}{1+x}\,dx$，$v=x^2/2$。分部積分的定積分形式是 $\int_a^b u\,dv=[uv]_a^b-\int_a^b v\,du$。

$$\begin{aligned} \int_0^1 x\ln(1+x)\,dx &=\left[\frac{x^2}{2}\ln(1+x)\right]_0^1 -\frac12\int_0^1\frac{x^2}{1+x}\,dx\\ &=\frac12\ln2-\frac12\int_0^1\left(x-1+\frac1{x+1}\right)dx. \end{aligned}$$

多項式長除法給出 $x^2/(x+1)=x-1+1/(x+1)$。它從零到一的積分是 $1/2-1+\ln2=\ln2-1/2$。因此

$$\int_0^1 x\ln(1+x)\,dx =\frac12\ln2-\frac12\left(\ln2-\frac12\right)=\frac14.$$

這個正的結果是合理的，因為 $x\ln(1+x)$ 在 $[0,1]$ 上非負。作為獨立的代數檢查，一個反導函數是 $\frac{x^2-1}{2}\ln(1+x)-\frac{x^2}{4}+\frac{x}{2}$；在 1 和 0 處求值，也得到 $1/4$。對定積分來說，要把同樣的上下限帶進新的積分。最後的數字中沒有 $+C$。

三道附解答的練習題

1. 多項式與指數函數。求 $\int 3x e^x\,dx$。

取 $u=3x$ 與 $dv=e^x\,dx$。則 $du=3\,dx$，$v=e^x$，所以

$$\int 3x e^x\,dx=3x e^x-3\int e^x\,dx=3e^x(x-1)+C.$$

微分 $3e^x(x-1)$：得到 $3e^x(x-1)+3e^x=3xe^x$。結果與原來的被積分函數吻合。

2. 帶係數的對數。求 $x>0$ 時的 $\int x\ln x\,dx$。

選 $u=\ln x$ 與 $dv=x\,dx$。則 $du=dx/x$，$v=x^2/2$：

$$\int x\ln x\,dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac12\int x\,dx =\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C.$$

微分得到 $x\ln x+x/2-x/2=x\ln x$。把兩個 $x/2$ 項保留在畫面上，檢查會更容易跟上。

3. 一個定積分。計算 $\int_0^{\pi/2}x\cos x\,dx$。

取 $u=x$ 與 $dv=\cos x\,dx$，得到 $du=dx$ 與 $v=\sin x$。在分部積分這一步之後再代入上下限：

$$\begin{aligned} \int_0^{\pi/2}x\cos x\,dx &=[x\sin x]_0^{\pi/2}-\int_0^{\pi/2}\sin x\,dx\\ &=\frac\pi2-[-\cos x]_0^{\pi/2}\\ &=\frac\pi2-1. \end{aligned}$$

在這個區間上，$x$ 與 $\cos x$ 都非負，而 $\pi/2-1$ 是正的。微分 $x\sin x+\cos x$ 得到 $x\cos x$，這驗證了用來計算上下限的反導函數。

想練習背後的反導函數選擇，請使用 Math Zen 的積分主題。要看重複使用積分方法的後續應用，請參見拉普拉斯轉換指南。