Monty Hall-problemet: varför byte av dörr fördubblar dina chanser

År 1990 ställde en läsare i Marilyn vos Savants tidningskrönika en kort fråga om ett tv-program. Hennes svar, att du ska byta dörr, provocerade ungefär tiotusen protestbrev, nära tusen av dem undertecknade av personer med doktorsexamen, många som insisterade på att en krönikör inte hade att göra med att ha grundläggande sannolikhet fel. Hon hade inte fel. De hade det.

Det är vad som gör Monty Hall-problemet värt din tid. Det är ingen knepfråga, och det hänger inte på finstilt. Det är ett helt rättvist pussel med ett tre-raders upplägg, och det besegrar pålitligt intuitionen hos intelligenta människor, inklusive professionella matematiker, tills de ser den ena asymmetrin de missade. När du ser den slutar svaret kännas paradoxalt och börjar kännas oundvikligt.

Spelets regler

Pusslet är modellerat efter tv-programmet Let's Make a Deal, vars ursprungliga programledare, Monty Hall, gav det dess namn. Upplägget:

Det finns tre stängda dörrar. Bakom en står en bil. Bakom de andra två står getter. Bilen placerades slumpmässigt, så innan något händer har varje dörr $\frac{1}{3}$ chans att gömma den.

Du väljer en dörr, säg dörr 1. Den förblir stängd.

Programledaren, som vet exakt var bilen är, öppnar en av de två dörrar du inte valde, och han öppnar alltid en med en get. Säg att han öppnar dörr 3 och en get tittar tillbaka på dig.

Nu förblir två dörrar stängda: din dörr 1 och den orörda dörr 2. Programledaren erbjuder dig ett val. Stanna vid dörr 1, eller byt till dörr 2.

Nästan allas magkänsla säger samma sak: två dörrar, en bil, femtio-femtio, så det spelar ingen roll. Magkänslan har fel. Att stanna vinner $\frac{1}{3}$ av gångerna. Byte vinner $\frac{2}{3}$ av gångerna. Bytet fördubblar bokstavligen dina chanser, och hela pusslet är att förstå var den extra sannolikheten kommer ifrån.

Beviset är bara räkning

Det renaste sättet att se svaret är att lägga märke till att hela spelet avgörs av en händelse: om ditt första val var rätt.

Det är hela beviset. Att stanna satsar på att din blinda första gissning var rätt, en $\frac{1}{3}$-händelse. Byte satsar på att den var fel, en $\frac{2}{3}$-händelse. Det är de enda två alternativen, och de ligger inte nära.

Om du föredrar att se varje fall utlagt, fäst ditt val som dörr 1 och låt bilen variera. Bil bakom dörr 1: programledaren öppnar dörr 2 eller 3, stanna vinner, byte förlorar. Bil bakom dörr 2: programledaren måste öppna dörr 3, stanna förlorar, byte vinner. Bil bakom dörr 3: programledaren måste öppna dörr 2, stanna förlorar, byte vinner. Tre lika sannolika världar, och byte vinner i två av dem. Räkningen är beviset.

Var den extra sannolikheten kommer ifrån

Femtio-femtio-instinkten kommer från en tumregel som vanligtvis tjänar dig väl: två okända, ingen anledning att föredra den ena, så dela sannolikheten lika. Regeln är fin. Misstaget är att tro att de två stängda dörrarna är symmetriska. De är inte det, för de hade mycket olika historier.

Din dörr valdes av dig, blint, innan något avslöjades. Ingenting som hände efteråt involverade din dörr alls: programledaren fick inte röra den, oavsett om den gömde bilen eller inte. Så ingen information om din dörr producerades någonsin, och dess sannolikhet stannar där den startade, på $\frac{1}{3}$.

Den andra stängda dörren överlevde något. Programledaren tittade på de två dörrar du inte valde, av vilka minst en hade en get, och eliminerade medvetet en get från det paret. Dörren han lämnade stängd är antingen slumpmässigt skräp (i $\frac{1}{3}$-världen där ditt val var rätt) eller bilen själv (i $\frac{2}{3}$-världen där ditt val var fel). Hans val var bundet av sanningen, och bindningen läcker information. All $\frac{2}{3}$-sannolikhet som paret startade med kollapsar på dess enda överlevande medlem.

Versionen med 100 dörrar, för de obevisade

Om argumentet med tre dörrar fortfarande känns halt, skala upp det. Samma regler, 100 dörrar, en bil, 99 getter. Du väljer dörr 1. Programledaren, som vet var bilen är, öppnar 98 av de återstående dörrarna, varenda en en get, och lämnar exakt en annan dörr stängd. Stanna eller byt?

Ditt första val var rätt 1 gång av 100. I de andra 99 fallen står bilen någonstans i dörrarna du inte valde, och programledarens 98 avslöjanden tvingades runt den: han öppnade allt utom bilen. Den enda dörr han lämnade stängd är inte en slumpmässig överlevare. Det är där bilen måste vara, 99 gånger av 100.

Ingen stannar i spelet med 100 dörrar. Men spelet med tre dörrar är samma spel. Programledarens avslöjande tvingades runt bilen på exakt samma sätt; det fanns bara mindre av det att titta på. Om byte uppenbart är rätt vid 100 dörrar ligger bevisbördan hos den som påstår att tre dörrar är annorlunda, och fallräkningen ovan visar att de inte är det.

Det finstilta som gör svaret ärligt

Här är delen som populära återberättelser vanligtvis hoppar över, och det är skillnaden mellan att känna svaret och att förstå det. Resultatet $\frac{2}{3}$ beror på programledarens beteende, inte bara på vad du såg.

Standardreglerna antar att programledaren alltid öppnar en dörr, alltid öppnar en get och alltid erbjuder bytet. Ändra de reglerna och svaret ändras. Den klassiska varianten kallas ibland Monty Fall: programledaren halkar, öppnar en av de två ovalda dörrarna helt slumpmässigt, och den råkar visa en get. Samma dörrar, samma get, samma bild på din skärm. Men nu vinner byte bara $\frac{1}{2}$ av gångerna.

Varför skillnaden? I standardspelet avslöjar programledaren en get i varje värld, så avslöjandet talar inte om huruvida ditt val var rätt, och din dörr stannar på $\frac{1}{3}$. I Monty Fall exponerar en slumpmässig programledare ibland bilen av misstag. Att se en get är nu självt evidens, och det är evidens till förmån för ditt ursprungliga val, för världar där ditt val var rätt kunde aldrig producera en exponerad bil. Kör siffrorna och de två stängda dörrarna hamnar genuint på $\frac{1}{2}$ vardera.

Testa det, för alla borde göra det en gång

Monty Hall-problemet har en stor nåd: det är billigt att testa. Ta tre muggar och ett mynt, och rekrytera en vän som programledare, eller simulera det själv med några rader kod, eller på papper med en tärning för att placera bilen. Spela trettio rundor alltid stanna, sedan trettio rundor alltid byta.

Resultatet är märkligt övertygande på ett sätt som argument inte är. De som stannar konvergerar mot att vinna ungefär en tredjedel av gångerna, bytare mot ungefär två tredjedelar, och efter tillräckligt många rundor slutar mönstret kännas som en paradox och börjar kännas som den uppenbara följden av steg 1 ovan: ditt första blinda val är vanligtvis fel, och byte tar hem just det. Medelvärden beräknade över många försök är också där sannolikhetspåståenden får sin mening från början, en poäng som utforskas i förstå statistik intuitivt.

Det är också, historiskt, så argumentet avgjordes. Efter vos Savant-stormen körde klassrum över landet experimentet, och simuleringar bekräftade $\frac{2}{3}$ till så många decimaler som någon brydde sig om att köra. Många av matematikerna som hade skrivit arga brev skrev andra, mer förlägna.

Zenen i det

Monty Hall-problemet består för att det är en perfekt miniatyr av hur sannolikhet faktiskt fungerar och hur mänsklig intuition faktiskt misslyckas. Instinkten det besegrar, symmetrisk okunskap om två stängda dörrar, är en bra instinkt. Den överlever bara inte mötet med en asymmetrisk historia, och pusslet gömmer asymmetrin i öppen dager: en dörr skyddades av ditt val, den andra valdes av någon som visste svaret.

Lägg märke till vad som löste förvirringen. Inte en formel, och inte auktoritet. Räkning. Tre lika sannolika världar, en ärlig sammanräkning av vad som händer i var och en, och viljan att lita på sammanräkningen mer än på känslan. Det draget, räkna upp möjligheterna och räkna dem, är det mesta av vad sannolikhet är, och det går att lära sig.

Nästa gång två alternativ känns uppenbart femtio-femtio är det värt att ställa Monty Hall-frågan: kom de här två möjligheterna hit på samma sätt? Ibland gjorde de det, och myntkastet är verkligt. Och ibland lämnades en av dem stående av en process som visste något, och oddsen är tyst, avgörande skeva.

Dörrarna minns inte. Proceduren gör det.