Eulers tal e: vad det är och varför det är 2,718

Skriv "e upphöjt till 1" på en miniräknare så svarar den 2,718281828. Det talet är Eulers tal, skrivet e, och det är en av de få konstanter som varje gren av matematiken förr eller senare stöter på: ränta på ränta, befolkningstillväxt, radioaktivt sönderfall, sannolikhetslära och hela analysen.

Den här guiden ger först det korta svaret och visar sedan var värdet kommer ifrån, två sätt att beräkna det och varför analysen betraktar e som den naturliga basen för exponenter. Om exponenter fortfarande känns osäkra, börja med förstå exponenter intuitivt och kom tillbaka.

Det korta svaret: vad e är och dess viktigaste värden

Värdet av e är ungefär 2,71828. Med fler decimaler är det 2,718281828459045..., och decimalerna tar aldrig slut och upprepas inte, eftersom e är irrationellt (MathWorld). Det är basen för den naturliga logaritmen och för den naturliga exponentialfunktionen $e^{x}$. Du kan också se det kallas Napiers konstant, efter John Napier (Wikipedia).

De flesta sökningar om e handlar egentligen om något av en handfull värden. Här är de, beräknade med sex eller fler värdesiffror:

Uttryck	Värde	Varför
$e^{1}$	2,718282	Varje tal upphöjt till 1 är oförändrat
$e^{0}$	1	Varje tal skilt från noll upphöjt till 0 är 1
$e^{-1}$	0,367879	Samma som $1/e$
$e^{2}$	7,389056	$e \times e$
$e^{1/2}$	1,648721	Samma som $\sqrt{e}$
$\ln e$	1	Den naturliga logaritmen upphäver $e^{x}$

Så e upphöjt till 1 är bara e, ungefär 2,71828. Inget särskilt händer vid första potensen; det speciella är själva basen.

Var e kommer ifrån: ränta på ränta

Jacob Bernoulli stötte på det här talet 1683 när han studerade kontinuerlig förräntning, och visade att det måste ligga mellan 2 och 3 (MacTutor). Hans fråga är lätt att ställa.

Sätt in 1 krona på ett konto som ger 100 % ränta per år. Betalas räntan en gång vid årets slut har du 2 kronor. Dela nu samma 100 % i n mindre utbetalningar, som var och en lägger till $1/n$ av saldot, och låt varje utbetalning ge ränta på de tidigare. Efter ett år har du

$$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}$$

kronor. Tätare kapitalisering ger mer, men inte obegränsat mycket:

Kapitalisering	n	Saldo efter ett år
Årligen	1	2,000000
Två gånger per år	2	2,250000
Kvartalsvis	4	2,441406
Månadsvis	12	2,613035
Dagligen	365	2,714567
Varje timme	8 760	2,718127
Kontinuerligt	n växer utan gräns	2,718282 = e

Att gå från månadsvis till daglig kapitalisering ger ungefär tio öre extra. Att gå från daglig till varje timme ger mindre än ett halvt öre extra. Saldot kryper mot ett tak som det aldrig passerar, och det taket är e. Det är precis så OpenStax lärobok i analys definierar talet: när m växer närmar sig $\left(1 + 1/m\right)^{m}$ ett tal, och det talet kallas e (OpenStax Calculus Volume 1, section 1.5). För en ränta r över t år ger samma idé formeln för kontinuerlig tillväxt $A = Pe^{rt}$.

Två definitioner som stämmer överens, och hur snabbt var och en når fram

Det finns en andra väg till samma tal. Addera 1 delat med varje fakultet:

$$e = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}$$

MathWorld anger båda formerna som definitioner av e, och Euler ställde dem sida vid sida i sin Introductio in analysin infinitorum från 1748, där han också gav e med 18 decimaler (MacTutor). De ger samma tal, men i mycket olika takt. Här är konvergenstävlingen, direkt beräknad; målet är 2,71828, de fem första decimalerna av e:

Konvergenstävling: gränsvärde mot serie

Gränsvärde $\left(1 + 1/n\right)^{n}$	Värde	Serie, antal termer	Delsumma
n = 1	2,000000	2 termer (till 1/1!)	2,000000
n = 10	2,593742	4 termer (till 1/3!)	2,666667
n = 100	2,704814	6 termer (till 1/5!)	2,716667
n = 1 000	2,716924	8 termer (till 1/7!)	2,718254
n = 100 000	2,718268	9 termer (till 1/8!)	2,718279
n = 1 000 000	2,718280	10 termer (till 1/9!)	2,718282

Serien har låst fast 2,71828 efter 10 termer. Gränsvärdet behöver ett n på ungefär 743 000 innan det första gången visar 2,71828, och även vid en miljon steg är det fortfarande fel på sjätte decimalen. Förklaringen ligger i felens storlek. Varje ny term med fakultet är mycket mindre än den förra, så seriens fel krymper snabbare än någon potens. Gränsvärdets fel krymper ungefär som $e/(2n)$, så tio gånger fler steg ger bara ungefär en extra korrekt siffra.

Den praktiska lärdomen: gränsvärdet förklarar varför e finns (det är taket för tillväxt med ränta på ränta), och serien är hur man faktiskt beräknar det.

Varför analysen föredrar e

Varje exponentialfunktion $b^{x}$ med $b > 0$ är en kurva som stiger (eller sjunker) allt snabbare. Dess lutning i varje punkt är proportionell mot höjden. För de flesta baser är proportionalitetskonstanten ett besvärligt tal: för $2^{x}$ är lutningen ungefär 0,693 gånger höjden, för $3^{x}$ ungefär 1,099 gånger höjden.

Det finns exakt en bas där konstanten är 1, så att lutningen i varje punkt är lika med höjden. Den basen är e. OpenStax definierar e så i kapitlet om derivator: den unika bas vars exponentialfunktion har lutningen 1 vid $x = 0$, varav

$$\frac{d}{dx}\, e^{x} = e^{x}$$

följer (OpenStax Calculus Volume 1, section 3.9). En funktion som är sin egen derivata gör analys av tillväxt nästan gratis: derivera $e^{x}$ och inget ändras, integrera det och inget ändras. Om tanken på derivata som lutning är ny bygger derivator från grunden upp den steg för steg.

Den naturliga logaritmen, skriven ln, är inversen till $e^{x}$: $\ln(e^{x}) = x$ och $e^{\ln x} = x$ för $x > 0$. Dess derivata är lika snygg, $\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$. Därför kallar forskare bas e "naturlig": det är den bas som gör formlerna kortast. Vår guide förstå logaritmer intuitivt behandlar ln vid sidan av bas 10 och 2.

Serien från förra avsnittet är inte heller en tillfällighet. Maclaurinserien för $e^{x}$ är $\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}/n!$ (OpenStax Calculus Volume 2, section 6.3); sätt $x = 1$ och du får fakultetssumman för e.

Eulers tal, Eulers konstant och Eulers identitet

Eulers namn hänger på så många resultat att tre olika saker blandas ihop vid sökning:

Namn	Symbol och värde	Vad det är
Eulers tal	e ≈ 2,71828	Bas för den naturliga logaritmen; gränsvärdet och serien ovan
Eulers konstant (Euler-Mascheroni)	γ ≈ 0,57722	Gränsvärdet av $1 + \tfrac{1}{2} + \cdots + \tfrac{1}{n} - \ln n$ när n växer
Eulers identitet	$e^{i\pi} + 1 = 0$	En ekvation som förbinder e, i, π, 1 och 0

De skiljer sig också i vad som är känt om dem. Om e är bevisat att det är irrationellt och, av Charles Hermite 1873, transcendent (MathWorld). För γ är det fortfarande inte känt om den ens är irrationell (MathWorld, Euler-Mascheroni constant). Och Eulers identitet är inte ett tal alls utan ett påstående om e upphöjt till ett imaginärt tal; vår genomgång av Eulers identitet visar varför $e^{i\pi}$ hamnar på -1.

Vanliga misstag med e

Att behandla e som en variabel. I $e^{x}$ varierar x, men inte e. Att lösa $e^{x} = 5$ betyder att ta ln av båda led: $x = \ln 5 \approx 1.609$.

Att avrunda för tidigt. Om du använder 2,7 i stället för e i $e^{3}$ får du 19,683 i stället för 20,0855. Behåll miniräknarens e till sista steget.

Att blanda ihop $e^{-1}$ med $-e$. En negativ exponent betyder en invers: $e^{-1} = 1/e \approx 0.3679$, och det är positivt. $-e \approx -2.718$ är ett annat tal.

Att blanda ihop ln och log. På de flesta miniräknare betyder "log" bas 10 och "ln" bas e. $\ln e = 1$, men $\log e \approx 0.4343$.

Öva med e

Försök med de här innan du tittar på svaren:

1. Vad är $e^{0}$, $e^{1}$ och $\ln 1$ utan miniräknare?
2. Förenkla $e^{2} \cdot e^{3}$ och $\ln\left(e^{7}\right)$.
3. Lös $e^{x} = 1$.

Svar: 1, e och 0; $e^{5}$ och 7; $x = 0$.

Math Zens logaritmövningar tränar ln och basbyte, och funktionsövningarna innehåller exponentialfunktioner, så att du kan göra de här reglerna till vana en uppgift i taget.

Vanliga frågor

Är e ett rationellt tal?

Nej. e är irrationellt och decimalerna tar aldrig slut och upprepas inte. Hermite bevisade 1873 att det dessutom är transcendent: det är inte nollställe till något polynom med rationella koefficienter förutom nollpolynomet.

Varför kallas det e?

Leonhard Euler använde bokstaven i ett brev till Christian Goldbach 1731 och i tryck 1736. Ingen vet säkert varför han valde e; berättelsen att han tog sin egen begynnelsebokstav stöds inte av historiker.

Vad är e^2?

Ungefär 7,389. Det är e multiplicerat med sig självt, $2.71828 \times 2.71828$.

Vad är e upphöjt till 0?

Exakt 1, som varje tal skilt från noll upphöjt till 0.