L'Hôpitals regel: villkoren och fyra genomräknade gränsvärden

Du sätter in värdet som $x$ närmar sig i ett bråk och får $0/0$. Ska du derivera täljare och nämnare? Ibland. Fråga först om uttrycket kan förenklas med vanlig algebra, om de två delarna verkligen bildar en tillåten form och om derivering gör gränsvärdet lättare att räkna ut. L'Hôpitals regel är en sats med villkor, inte en uppmaning att derivera varje bråk vars nämnare ställer till det.

Här kommer en tabell över villkoren före beräkningarna. Sedan följer vi den genom fyra genomräknade gränsvärden: ett löses snabbare med faktorisering, ett ligger utanför regeln, ett använder regeln vid oändligheten och en potens blir användbar först efter logaritmering. Om gränsvärden är nya för dig, läs vår guide till gränsvärden först. Guiden om derivator tar upp den andra förkunskapen.

Kontrollera villkoren innan du deriverar

Vid punkten som närmas ska täljare och nämnare undersökas var för sig. Regeln kan användas direkt på kvoter med formerna $0/0$ eller $\pm\infty/\pm\infty$, om också satsens övriga villkor gäller. Den gäller inte direkt för $5/0$, $0\cdot\infty$, $\infty-\infty$ eller en potens som $1^{\pm\infty}$. En del av dessa former kan skrivas om till en godkänd kvot; andra kräver en annan metod.

Under sina förutsättningar säger satsen i en vanlig formulering

$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},$$

om gränsvärdet till höger finns som ett ändligt eller lämpligt oändligt gränsvärde. Nära punkten måste $f$ och $g$ vara deriverbara i det relevanta punkterade intervallet, och $g'(x)$ får inte vara noll där. De ursprungliga funktionerna ska båda gå mot noll eller båda växa obegränsat i absolutvärde i den aktuella riktningen. Motsvarande varianter gäller ensidiga gränsvärden och gränsvärden vid oändligheten. OpenStax Calculus, volym 1, §4.8 ger satsen och omskrivningarna; Paul's Online Notes betonar att formen ska granskas först.

Om gränsvärdet av $f'/g'$ inte finns kan metoden helt enkelt vara otillräcklig. Det bevisar inte att det ursprungliga gränsvärdet saknas. Omvänt är $0/0$ efter insättning bara den första kontrollen. Funktionerna och nämnarens derivata måste fortfarande uppfylla villkoren nära punkten. I exemplen anger vi därför definitionsmängd och närmanderiktning.

Fall 1: algebra löser 0/0 först

Betrakta

$$\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}.$$

Täljare och nämnare går mot noll, så formen är $0/0$. Första raden i tabellen tillåter regeln, men faktorisering är enklare. För $x\ne3$ gäller

$$\frac{x^2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3.$$

Bråket är odefinierat vid $x=3$, men ett gränsvärde använder närliggande värden. Där är bråket lika med $x+3$, alltså blir gränsvärdet $6$. Som kontroll kan du derivera täljare och nämnare var för sig och få $\lim_{x\to3}2x/1=6$. Metoderna stämmer överens, men faktoriseringen visar det borttagbara hålet och varför förkortningen är tillåten.

Det finns ett metodval: tillåten betyder inte bäst. Faktorisering, rationalisering eller förenkling av ett sammansatt bråk tar ofta bort hindret innan derivator behövs. Vår förklaring av gränsvärden använder ett annat borttagbart hål för att skilja funktionsvärdet från gränsvärdet. Här väljer du det kortaste och tydligaste giltiga sättet.

Fall 2: 5/0 är ingen obestämd form

Ta nu

$$\lim_{x\to0}\frac{5}{x}.$$

Täljaren går mot $5$, inte mot noll eller oändlighet, medan nämnaren går mot noll. Detta är tabellrad två, $5/0$, så L'Hôpitals regel gäller inte. Riktningen avgör: när $x\to0^+$ går $5/x\to+\infty$; när $x\to0^-$ går $5/x\to-\infty$. Det tvåsidiga gränsvärdet finns därför inte, även om beteendet från varje sida är tydligt.

Att blint derivera ovanför och under bråkstrecket skulle ge $0/1=0$, ett felaktigt svar. Satsen har inte misslyckats; beräkningen gjordes utan dess villkor. Kontrollera tillåtligheten före deriveringen. Här säger nämnarens tecken på vardera sidan mer än ännu en algebrarad.

Exemplet visar också varför ”nämnaren går mot noll” inte räcker för att avgöra en gräns. Jämför fall 1: båda nämnarna går mot noll, men där går även täljaren mot noll och kvoten närmar sig ett ändligt tal. Ursprunglig form bestämmer vilka metoder som kan användas; riktningen avgör om ett tvåsidigt svar finns.

Fall 3: oändligt genom oändligt

Låt $x\to+\infty$ i

$$\frac{2x^2+3x}{x^2-1}.$$

Både täljaren och nämnaren växer mot $+\infty$. Detta ger den tillåtna formen $\infty/\infty$ i tabellrad tre. För tillräckligt stora positiva $x$ är både nämnaren och dess derivata skilda från noll. Derivera täljare och nämnare var för sig:

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^2+3x}{x^2-1} =\lim_{x\to+\infty}\frac{4x+3}{2x}=2.$$

Sista steget följer av att $3/(2x)\to0$. En tillämpning räcker: fortsätt inte derivera när den nya kvoten har ett tydligt gränsvärde. En direkt algebraisk kontroll är ännu kortare. Dela den ursprungliga täljaren och nämnaren med $x^2$; då blir $(2+3/x)/(1-1/x^2)\to2$. Båda metoderna visar att de ledande andragradskoefficienterna styr här.

Jämförelsen hjälper dig att välja metod. Derivering är användbar när den förenklar kvoten. Om division med högsta potensen av $x$ löser frågan genast, använd det. Regeln är giltig här, men enkel algebra blir inte sämre för det.

Fall 4: en potens kräver en logaritm

Betrakta det positiva uttrycket $(1+x)^{1/x}$ när $x\to0$, med $x>-1$ och $x\ne0$. Basen går mot $1$ medan exponentens absolutvärde växer obegränsat; det ger den obestämda potensformen $1^{\pm\infty}$. Det är ingen kvot, så tabellrad fyra säger att regeln inte får användas direkt på potensen.

Sätt $y=(1+x)^{1/x}$ och ta naturliga logaritmen på det positiva området:

$$\ln y=\frac{\ln(1+x)}{x}.$$

Nu går både täljare och nämnare i den logaritmiska kvoten mot noll. Nära noll är de deriverbara, och nämnarens derivata är $1$. Använd regeln på denna kvot:

$$\lim_{x\to0}\ln y =\lim_{x\to0}\frac{1/(1+x)}{1}=1.$$

Exponentialfunktionen är kontinuerlig, så det ursprungliga gränsvärdet är $e^1=e$. Inom $x>-1$ blir värdet detsamma från båda sidor. Den viktiga skillnaden är att L'Hôpital beräknade gränsvärdet av $\ln y$, inte direkt av potensen. Vår guide till Eulers tal visar varför gränsvärden med $e$ återkommer i analysen.

Ta inte logaritmen av ett uttryck som kan vara icke-positivt utan att granska definitionsmängden. Här är $1+x>0$ nära noll, så steget är giltigt. Logaritmen omvandlar uppgiften till en kvot; exponentiering tar svaret tillbaka till ursprungsuttrycket. Saknas något av stegen är resonemanget ofullständigt.

Blanda inte ihop två olika derivataoperationer

L'Hôpitals regel jämför gränsvärdet av $f/g$ med gränsvärdet av $f'/g'$. Kvotregeln beräknar i stället derivatan av hela funktionen $f/g$:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{f'g-fg'}{g^2}.$$

Det är två olika saker. I fall 1 är bråket lika med $x+3$ för $x\ne3$, så dess vanliga derivata i närheten är $1$. Men dess gränsvärde när $x\to3$ är $6$. Den som använder kvotregelns derivata i stället för $f'/g'$ besvarar fel fråga. På samma sätt gav $f'/g'$ i fall 2 fel svar, eftersom den nödvändiga ursprungsformen saknades.

En kort beslutsrutin är: sätt in eller granska de två delarna, namnge formen, förenkla om möjligt, kontrollera definitionsmängd och satsvillkor, och derivera täljare och nämnare var för sig bara om det hjälper för en tillåten kvot. Behåll närmanderiktningen i skrivsättet. Som övning kan du ändra fall 3 till $x\to-\infty$ och kontrollera form och svar på nytt. Math Zens ämnen gränsvärden och derivator tränar grunderna en uppgift i taget.

Vanliga frågor

Får jag använda L'Hôpital varje gång insättning ger $0/0$? Det är en möjlig metod, inte en automatisk instruktion. Kontrollera deriverbarhet i den relevanta punkterade omgivningen, att nämnarens derivata inte är noll där och att derivatakvoten har ett lämpligt gränsvärde. Prova enkel algebra först.

Får regeln användas flera gånger? Ja, om den nya kvoten åter uppfyller villkoren och en tillämpning till hjälper. Kontrollera den nya formen varje gång. Sluta så snart ett vanligt gränsvärde kan räknas ut.

Varför inte kvotregeln? Kvotregeln hittar derivatan av $f/g$. L'Hôpital jämför gränsvärdena av $f/g$ och $f'/g'$ under särskilda villkor. Operationerna är inte utbytbara.

Vad händer om täljaren inte går mot noll? Om nämnaren går mot noll medan täljaren går mot ett ändligt tal skilt från noll, är formen inte $0/0$. Undersök tecken och ensidigt beteende i stället, som för $5/x$ nära noll.