Kedjeregeln med exempel: derivera sammansatta funktioner steg för steg

Derivera $(2x+3)^5$. Om du använder den vanliga potensregeln som om parentesen bara innehöll $x$ får du $5(2x+3)^4$. Formen ser rätt ut, men en faktor två saknas. Uttrycket inom parentesen förändras dubbelt så snabbt som $x$, och derivatan måste ta med den förändringen.

Den saknade faktorn är själva poängen med kedjeregeln. Här går vi igenom egna exempel, från en inre funktion till tre nästlade lager. Om du först vill förstå vad en derivata betyder kan du läsa vår guide till derivator. Här fokuserar vi på att känna igen lagren, derivera dem och kontrollera resultatet.

Hitta den inre och den yttre funktionen

I en sammansatt funktion matas en funktions resultat in i en annan. För $y=(2x+3)^5$ räknar du först ut $2x+3$ och upphöjer sedan resultatet till fem. Skriv $g(x)=2x+3$ för den inre funktionen och $f(u)=u^5$ för den yttre. Då är $y=f(g(x))$.

När du beräknar värdet går du inifrån och ut. När du deriverar börjar du i stället med den yttre operationen, behåller dess argument oförändrat och multiplicerar sedan med derivatan av argumentet. OpenStax anger regeln så här för deriverbara sammansättningar i sitt avsnitt om kedjeregeln:

$$\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x)$$

Den yttre funktionens derivata beräknas vid $g(x)$, inte vid $g'(x)$. Den inre derivatan är en separat faktor. Om något av lagren inte är deriverbart i den aktuella punkten kan formeln inte utan vidare användas där.

Prova att namnge lagren innan du väljer en regel. I $\sin(4x^2-1)$ är sinus den yttre operationen och $4x^2-1$ det inre uttrycket. I $\sqrt{1+x^4}$ är kvadratroten den yttre operationen och $1+x^4$ det inre uttrycket. I $x^2+3x$ är den översta operationen addition, så termerna deriveras var för sig. Parenteser betyder inte alltid att kedjeregeln behövs.

Om idén att mata in en funktions värde i en annan är ny för dig, förklarar sammansatta funktioner värdeberäkning och definitionsmängd innan derivator kommer in. Börja med funktioner från grunden om notation för indata och utdata ännu känns främmande.

Använd samma fyra steg varje gång

Metoden ändras inte när uttrycket blir större:

1. Namnge uttrycket närmast innanför. För $h(x)=(3x^2-2)^4$ sätter du $u=3x^2-2$.
2. Derivera utsidan med $u$ kvar oförändrat. Utsidan är $u^4$, så dess derivata är $4u^3$.
3. Derivera insidan. Här är $du/dx=6x$.
4. Multiplicera och sätt tillbaka uttrycket. Resultatet blir $h'(x)=4(3x^2-2)^3(6x)=24x(3x^2-2)^3$.

Utveckla inte fjärdepotensen om en senare beräkning inte kräver det. I svaret på faktoriserad form syns var delarna kommer ifrån: $4(3x^2-2)^3$ hör till den yttre potensen, medan $6x$ hör till det inre andragradsuttrycket. Om du utvecklar för tidigt blir en glömd faktor svårare att upptäcka.

Vid tre lager upprepar du samma handling. Derivera det yttersta lagret, multiplicera med derivatan av nästa lager och sedan med derivatan av det innersta. OpenStax behandlar denna upprepade användning av kedjeregeln i samma avsnitt. Du behöver inte memorera en ny regel.

Tre fullständigt lösta exempel

En potens av ett linjärt uttryck. Återgå till $p(x)=(2x+3)^5$. Den yttre derivatan är $5(2x+3)^4$ och den inre derivatan är $2$. Därför:

$$p'(x)=5(2x+3)^4(2)=10(2x+3)^4$$

Kontrollera vid $x=0$ i stället för att bara lita på symbolsvar. Den ursprungliga funktionen ger $p(0)=3^5=243$. Utvecklar vi bara förstagradstermen i $(3+2x)^5$ får vi $243+5(3^4)(2x)+\cdots=243+810x+\cdots$, så lutningen vid noll är $810$. Vår derivata ger $10(3)^4=810$. Svaret utan den inre faktorn ger $405$ och klarar inte kontrollen.

En trigonometrisk sammansättning. Låt $q(x)=\sin(4x^2-1)$ och mät vinklarna i radianer. Den yttre derivatan av sinus är cosinus med samma argument, och derivatan av det inre uttrycket $4x^2-1$ är $8x$:

$$q'(x)=\cos(4x^2-1)(8x)=8x\cos(4x^2-1)$$

Vid $x=0$ är den inre derivatan noll, alltså är $q'(0)=0$. Det passar också med en lokal symmetrikontroll: $q(x)$ beror på $x^2$ och har samma värde vid $x$ och $-x$. Vid $x=1$ är lutningen $8\cos(3)$, inte $\cos(8)$. Cosinus får det oförändrade inre uttrycket som argument, inte dess derivata.

Tre nästlade lager. Ta $r(x)=\left[\sin(2x^2+1)\right]^3$. Från utsidan inåt består den av en tredje potens, sinus och $2x^2+1$. Derivera i den ordningen:

$$\begin{aligned} r'(x)&=3\left[\sin(2x^2+1)\right]^2 \cdot\cos(2x^2+1)\cdot 4x\\ &=12x\sin^2(2x^2+1)\cos(2x^2+1). \end{aligned}$$

Det finns tre faktorer eftersom tre förändringar hänger ihop. Tredje potensen ger $3\sin^2(\cdot)$, sinus ger cosinus och andragradsuttrycket ger $4x$. Även här är $r'(0)=0$, vilket stämmer med att $r(x)$ är en jämn funktion. Det bevisar inte hela derivatan, men kan snabbt avslöja vissa algebrafel.

Avgör om en annan regel också behövs

Hitta först operationen på översta nivån. I $a(x)=x(2x+3)^5$ multipliceras två uttryck som beror på variabeln. Börja med produktregeln och använd sedan kedjeregeln på faktorn som är en potens:

$$\begin{aligned} a'(x)&=1\cdot(2x+3)^5+x\cdot 5(2x+3)^4\cdot2\\ &=(2x+3)^5+10x(2x+3)^4\\ &=(2x+3)^4(12x+3). \end{aligned}$$

Däremot har $b(x)=(2x+3)^5$ ingen produkt på översta nivån. Enbart kedjeregeln ger $10(2x+3)^4$. Uttrycken skiljer sig genom faktorn $x$ utanför potensen, och den faktorn ändrar vilken regel du börjar med.

En kvot kan dölja samma val. Skriv om $c(x)=1/(2x+3)^2$ till $(2x+3)^{-2}$. Operationen på översta nivån är nu en potens:

$$c'(x)=-2(2x+3)^{-3}(2)=-\frac{4}{(2x+3)^3},\qquad x\ne-\frac32.$$

Kvotregeln skulle också fungera, men omskrivningen gör sammansättningen tydlig. Om både täljaren och nämnaren beror på $x$ använder du kvotregeln ytterst och granskar varje del för sig för att se om kedjeregeln behövs. OpenStax tar upp sådana regelkombinationer i sitt avsnitt om kedjeregeln.

Rätta tre vanliga felsvar

Den inre faktorn saknas. För $(5x-1)^4$ utelämnar svaret $4(5x-1)^3$ den inre derivatan $5$. Skriv delarna innan du multiplicerar: $4(5x-1)^3\times5=20(5x-1)^3$.

Den yttre funktionens argument byts ut. För $\cos(x^2+2)$ sätter svaret $-\sin(2x)\cdot2x$ in den inre derivatan i sinus. Rätt derivata är $-\sin(x^2+2)\cdot2x$. Derivera utsidan med det oförändrade inre uttrycket som argument och lägg sedan till den inre derivatan som faktor.

Parenteserna försvinner. För $(x^2+3)^3$ följer $3x^2+3^2(2x)$ inte kedjeregeln. Hela det inre uttrycket ska stå kvar i potensen: $3(x^2+3)^2(2x)=6x(x^2+3)^2$. Behåll en tydlig parentes runt insidan fram till sista raden.

En enkel kontroll är att undersöka den ursprungliga funktionen och din derivata vid ett lätt värde. En numerisk träff i en punkt bevisar inte att derivatan gäller för alla $x$, men en avvikelse kan snabbt avslöja ett till synes rimligt felsvar.

Tre övningsuppgifter med fullständiga lösningar

Försök själv innan du läser lösningen. Markera lagren och skriv en faktor per lager.

1. Derivera $s(x)=(7-3x)^4$. Den yttre derivatan är $4(7-3x)^3$ och den inre derivatan är $-3$, alltså:

$$s'(x)=4(7-3x)^3(-3)=-12(7-3x)^3.$$

Minustecknet är en snabb kontroll. Nära en punkt där $7-3x$ är positivt minskar det inre värdet när $x$ ökar. Då minskar också dess fjärde potens.

2. Derivera $t(x)=\cos(3x^2+x)$. Yttre cosinus blir minus sinus, och det inre polynomet blir $6x+1$:

$$t'(x)=-\sin(3x^2+x)(6x+1).$$

Vid $x=0$ blir detta noll eftersom $\sin(0)=0$. Dra inte slutsatsen att den inre derivatan är noll där; den är ett. När faktorerna hålls isär ser du varför produkten blir noll.

3. Derivera $v(x)=(1+\sin x)^3$. Den yttre potensen ger $3(1+\sin x)^2$ och den inre derivatan är $\cos x$:

$$v'(x)=3(1+\sin x)^2\cos x.$$

Insidan innehåller sinus, men operationen på översta nivån är fortfarande en tredje potens. Arbeta utifrån och in. Vid $x=0$ är derivatan $3(1)^2(1)=3$.

När du behärskar exemplen kan du fortsätta med Math Zens övningar om derivator, där kedjeregeln har en egen färdighet bland kalkyluppgifterna. Gå tillbaka till en uppgift du missade och förklara vilken faktor som saknades innan du försöker med nästa. Behåll den här ordningen: hitta den yttre operationen, låt argumentet vara oförändrat och multiplicera med derivatan av argumentet.

Vanliga frågor

Är kedjeregeln samma sak som potensregeln?

Nej. Potensregeln deriverar $x^n$. Kedjeregeln gör att du också kan derivera en potens av ett inre uttryck: derivatan av $[g(x)]^n$ är $n[g(x)]^{n-1}g'(x)$. Om $g(x)=x$ är dess derivata ett, och den vanliga potensregeln återkommer.

Kan jag använda kedjeregeln för en kvadratrot?

Ja. Skriv om $\sqrt{1+x^4}$ som $(1+x^4)^{1/2}$. Den yttre derivatan är $\tfrac12(1+x^4)^{-1/2}$ och den inre är $4x^3$. Tillsammans ger de $2x^3/\sqrt{1+x^4}$.

Varför ger nästlade funktioner flera faktorer?

Varje lager reagerar på förändringen i lagret innanför. I $[\sin(2x^2+1)]^3$ ändras andragradsuttrycket när $x$ ändras, vilket ändrar sinus och därefter tredje potensen. De tre derivatafaktorerna beskriver dessa tre sammanlänkade förändringar.