Lutning intuitivt: Δy/Δx, formeln för k-värdet och y = mx + b

En skylt vid en bergsväg visar LUTNING 8%. Talet beskriver vägen framåt: för varje 100 fot horisontellt avstånd stiger eller sjunker vägen 8 fot, beroende på vilket håll du kör. Krymp avståndet till en enda fot, så blir förändringen 0,08 fot.

Den där 0,08:an är en lutning. Den mäter hur mycket en storhet (höjd) ändras för varje steg på en enhet i en annan (horisontellt avstånd). I en graf är storheterna $y$ och $x$, och frågan är densamma: när $x$ flyttar sig ett steg åt höger, hur långt flyttar sig $y$, och åt vilket håll?

Förändringen i y delat med förändringen i x, formeln för lutningen, $y = mx + b$ och enpunktsformen är fyra sätt att skriva ner ett och samma svar.

Lutning är en förändringshastighet, inte en form

Lutning ser ut som en snedställning, men den är ett tal, och det talet är en förändringshastighet.

Den klassiska definitionen är förändringen i y delat med förändringen i x, i läroböcker skrivet Δy/Δx. Mellan två punkter på en linje är Δy den vertikala förändringen (i $y$) och Δx den horisontella förändringen (i $x$):

$$\text{lutning} = \frac{\text{förändring i y}}{\text{förändring i x}}$$

Divisionen med Δx gör om den totala förändringen till en förändring per steg: 6 uppåt på 3 åt höger ger samma lutning som 2 uppåt på 1 åt höger, eftersom $y$ i båda fallen stiger med 2 för varje enhet i $x$. Talet kallas k-värdet eller riktningskoefficienten, och i formlerna här skrivs det $m$.

Eftersom lutningen är en storhet delad med en annan har den en enhet: kronor per gigabyte för en mobilräkning, meter per sekund (en hastighet) för sträcka delat med tid. Ett ”per” i en textuppgift pekar oftast på en lutning.

Lutningens tecken anger riktningen: med positiv lutning stiger linjen när du läser från vänster till höger, med negativ lutning sjunker den. Vägen med 8 procents lutning har lutningen 0,08 för den som kör uppför och $-0.08$ för den som kör nedför. Storleken anger brantheten: lutningen 5 är brantare än lutningen 2, och $-5$ är brantare än $-2$, även om $-5$ är det mindre talet.

Bilden kan lura. Sträck ut y-axeln så ser varje sned linje brantare ut, men ingen lutning ändras, eftersom lutning mäts i axlarnas enheter och inte som en vinkel på pappret.

Räkna ut lutningen från två punkter

Hur du räknar ut lutningen beror på vad som är givet. Med två punkter subtraherar du y-koordinaterna för att få Δy och x-koordinaterna för att få Δx. Det är formeln för lutningen:

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

Ta $(2, 3)$ och $(6, 11)$ som punkt 1 och punkt 2:

$$m = \frac{11 - 3}{6 - 2} = \frac{8}{4} = 2$$

Tolka svaret som en förändringshastighet. Från $x = 2$ till $x = 6$ är det fyra steg, och med 2 per steg borde $y$ stiga med 8, från 3 till 11. Det stämmer.

Det är du som väljer beteckningarna. Kalla i stället $(6, 11)$ för punkt 1, så vänds båda subtraktionerna:

$$m = \frac{3 - 11}{2 - 6} = \frac{-8}{-4} = 2$$

Både Δy och Δx bytte tecken, så svaret står sig. Byter du ordning på bara ett ställe blir det fel: $11 - 3$ delat med $2 - 6$ ger $\frac{8}{-4} = -2$, en linje som lutar åt fel håll. Den punkt som kommer först i täljaren måste också komma först i nämnaren.

Negativa lutningar kommer från samma formel. För $(1, 7)$ och $(4, 1)$:

$$m = \frac{1 - 7}{4 - 1} = \frac{-6}{3} = -2$$

Vid varje steg åt höger sjunker $y$ med 2, så på tre steg går värdet från 7 ner till 1.

En linjes lutning är densamma mellan vilka två av dess punkter som helst: $(4, 7)$ ligger också på den första linjen, och tillsammans med $(2, 3)$ ger den återigen $\frac{4}{2} = 2$. Det är den konstanta förändringshastigheten som gör linjen rät.

Läsa av lutningen i en graf

I en graf räknar du i stället för att subtrahera. Välj två gitterpunkter (ställen där linjen går exakt genom ett hörn i rutnätet) och räkna från den vänstra till den högra: enheter uppåt eller nedåt för Δy, enheter i sidled för Δx. Går du från vänster till höger blir Δx positivt, så bara Δy avgör tecknet.

Varje linje hamnar i ett av fyra fall:

Linje i grafen	Exempel	Δy delat med Δx	Lutning
Stiger från vänster till höger	$y = 2x + 1$	positivt delat med positivt	positiv
Sjunker från vänster till höger	$y = -3x + 4$	negativt delat med positivt	negativ
Horisontell	$y = 5$	0 delat med valfri förändring i x	0
Vertikal	$x = 5$	valfri förändring i y delat med 0	odefinierad

De två sista raderna är lätta att blanda ihop eftersom båda innehåller en nolla. På en horisontell linje $y = c$ har varje punkt samma y-värde, så Δy är 0, och 0 delat med ett Δx skilt från noll är 0. Linjen har en lutning, och den lutningen är noll.

På en vertikal linje $x = c$ har varje punkt samma x-värde, så Δx är 0, och division med noll är inte definierad. Uttryckt som förändringshastighet tar linjen aldrig något steg i $x$, så ”förändring i $y$ per steg i $x$” saknar svar. Om du hör att en vertikal linje ”saknar k-värde”, tolka det som odefinierad lutning, inte som noll.

K-formen: y = mx + b

I k-form syns en linjes två viktigaste tal direkt:

$$y = mx + b$$

Här är $m$ lutningen, och $b$ är värdet av $y$ när $x = 0$, där linjen skär y-axeln (i svenska läroböcker skrivs k-formen y = kx + m, där k är lutningen och m anger var linjen skär y-axeln, så se upp: här står m för lutningen). Den punkten är skärningspunkten med y-axeln, och i tillämpade uppgifter är den oftast ett startvärde.

Anta att ett mobilabonnemang kostar 15 kr i månaden plus 2 kr per gigabyte data. Med $x$ gigabyte och en räkning på $y$ kronor:

$$y = 2x + 15$$

Använder du ingen data betalar du 15 kr, skärningen med y-axeln. Varje gigabyte lägger till 2 kr, lutningen, så 5 gigabyte kostar $2(5) + 15 = 25$ kronor. För att rita grafen markerar du $(0, 15)$ och går sedan 1 steg åt höger och 2 uppåt, om och om igen.

Ekvationer ges ofta i allmän form, $Ax + By = C$, där lutningen är dold. Lös ut $y$ så syns den:

$$y = -\frac{A}{B}x + \frac{C}{B}$$

Lutningen är alltså $-\frac{A}{B}$ så länge $B \neq 0$. För $3x + 4y = 12$ subtraherar du $3x$ från båda leden och dividerar med 4: $y = -\frac{3}{4}x + 3$. Lutningen är $-\frac{3}{4}$ och linjen skär y-axeln där y = 3.

Skärningspunkterna med axlarna bekräftar det: linjen går genom $(0, 3)$ och $(4, 0)$, och $\frac{0 - 3}{4 - 0} = -\frac{3}{4}$. När $B = 0$ är ekvationen $Ax = C$, en vertikal linje, och precis då skulle $-\frac{A}{B}$ innebära division med noll.

Enpunktsformen: börja från en punkt du känner till

Ofta känner du till lutningen och en punkt, men inte var linjen skär y-axeln. Enpunktsformen använder precis den informationen:

$$y - y_1 = m(x - x_1)$$

Med ord: från den kända punkten $(x_1, y_1)$ ändras $y$ med $m$ för varje steg i $x$. Det är formeln för lutningen omskriven: för varje annan punkt $(x, y)$ på linjen gäller $\frac{y - y_1}{x - x_1} = m$, och multiplicerar du båda leden med $x - x_1$ får du enpunktsformen.

Bestäm ekvationen för linjen med lutningen 3 genom $(2, 5)$:

$$y - 5 = 3(x - 2)$$

Det är redan ett korrekt svar. För att skriva det i k-form multiplicerar du in och adderar sedan 5 till båda leden:

$$y - 5 = 3x - 6$$ $$y = 3x - 1$$

Kontrollera med den kända punkten: $3(2) - 1 = 5$.

En linje genom två punkter kräver ett extra steg. För $(2, 3)$ och $(6, 11)$ är lutningen 2, som vi räknade ut tidigare, så $y - 3 = 2(x - 2)$, vilket förenklas till $y = 2x - 1$. Den andra punkten bekräftar det: $2(6) - 1 = 11$.

Välj den form som passar det du vet. K-formen passar när du ska rita grafer och i alla problem med ett startvärde, som mobilabonnemanget. Enpunktsformen går snabbast från en punkt och en lutning, eller från två punkter. Den allmänna formen behåller heltalskoefficienter, gör det lätt att hitta båda skärningspunkterna med axlarna och ställer upp ekvationerna för elimination.

Parallella och vinkelräta linjer

Två linjer med samma lutning stiger i samma takt, så det vertikala avståndet mellan dem ändras aldrig. Om de skär y-axeln på olika ställen är de parallella och möts aldrig: $y = 2x + 1$ och $y = 2x - 4$ har samma $m$ och olika $b$.

För vinkelräta linjer gäller en mindre uppenbar regel. När ingen av dem är vertikal är den ena lutningen minus det inverterade värdet av den andra: vänd på bråket och byt tecken. Med andra ord är produkten av de två lutningarna $-1$. Lutningen 2 hör ihop med $-\frac{1}{2}$, och $-\frac{3}{4}$ hör ihop med $\frac{4}{3}$.

Regeln kommer av att man vrider ett steg. Ett steg längs en linje med lutningen 2 är 1 i x-led och 2 i y-led. Vrid steget ett kvarts varv moturs så byter de två talen plats och ett av dem byter tecken: $-2$ i x-led, 1 i y-led. Den nya lutningen är $\frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$.

Linjen som är vinkelrät mot $y = 2x - 1$ och går genom $(4, 1)$ har alltså lutningen $-\frac{1}{2}$: $y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 4)$, eller $y = -\frac{1}{2}x + 3$. Undantaget för vertikala linjer är verkligt: en horisontell och en vertikal linje är vinkelräta mot varandra, men den vertikala linjen har ingen lutning att multiplicera med. OpenStax avsnitt om linjära funktioner räknar fler exempel på parallella och vinkelräta linjer och ger mer övning på räta linjens ekvation.

Vart lutningen leder härnäst

En linje har samma lutning överallt, en kurva har det inte. Förändringen i y delat med förändringen i x mellan två punkter på en kurva fungerar fortfarande och ger den genomsnittliga förändringshastigheten, ändringskvoten: lutningen hos sekanten genom båda punkterna. För $f(x) = x^2$ mellan $x = 1$ och $x = 3$:

$$\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{9 - 1}{2} = 4$$

Flytta den andra punkten mot $x = 1$ så ändras genomsnittet: 3 på intervallet från 1 till 2, 2,5 från 1 till 1,5, 2,1 från 1 till 1,1. Värdena närmar sig 2, lutningen hos tangenten vid $x = 1$. Det gränsvärdet är derivatan, och vår derivataguide bygger upp analysen utifrån just den här bilden.

Närmare algebran är det en konstant lutning som gör en linjär funktion linjär, vilket vår funktionsguide visar tillsammans med de andra vanliga graftyperna. Och eftersom grafen till varje linjär ekvation i två variabler är en linje förutsäger lutningarna hur ett ekvationssystem beter sig: linjer med olika lutning skär varandra exakt en gång, linjer med samma lutning men olika skärning med y-axeln möts aldrig, och två ekvationer för samma linje har alla punkter gemensamma.

Vanliga misstag med lutning

• Δx delat med Δy. Delar du den horisontella förändringen med den vertikala får du det inverterade värdet, $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ i stället för 2 för det första punktparet. Eftersom $y$ ändrades med 8 medan $x$ ändrades med 4 måste lutningen vara större än 1.
• Blandad ordning på punkterna. Börjar du subtraktionerna i täljaren och nämnaren med olika punkter byter svaret tecken. Numrera punkterna först.
• Tappade minustecken vid negativa koordinater. För $(-3, -4)$ och $(1, 4)$ är Δy lika med $4 - (-4) = 8$, inte 0, och Δx är $1 - (-3) = 4$, så lutningen är 2. Sätt parentes runt varje negativ koordinat du sätter in.
• Att ge en vertikal linje lutningen noll. Ett plant golv har lutningen noll. En vägg har odefinierad lutning.
• Att tolka skärningen med y-axeln som branthet. Linjen $y = 0.5x + 100$ börjar högt men stiger långsamt, medan $y = 3x + 1$ börjar lågt och stiger sex gånger så snabbt. Skärningen med y-axeln flyttar linjen uppåt eller nedåt; bara $m$ ändrar hur brant den är.

Öva på att växla mellan formerna

Ta en linje och arbeta med den i alla former: två punkter, en graf, $y = mx + b$, enpunktsform och allmän form. Växla mellan dem tills varje omvandling sitter, och blanda in horisontella och vertikala linjer så att en nolla i täljaren och en nolla i nämnaren slutar se likadana ut.

Math Zen har ingen separat övning för lutning, så den träning som ligger närmast är fördelad på två ämnen: Grafanalys för skärningspunkter och att läsa av grafer, och Algebra för att lösa ekvationer och linjära ekvationssystem, där lutningarna avgör om två linjer möts. Linjära ekvationer och lutning finns också med på SAT, ACT och GED; vår guide för SAT Math visar var de dyker upp i det provet.

Varje formel här svarar på vägskyltens fråga: hur mycket ändras $y$ när $x$ tar ett steg? Om du glömmer en formel, ställ den frågan till talen framför dig och bygg upp formeln igen.