Vad är en parametrisk ekvation i enkla termer?

En parametrisk ekvation beskriver en kurva genom att säga var en punkt är vid varje värde av en tredje variabel, vanligtvis skriven t. I stället för en enda regel y = f(x) får du ett par: x = f(t) och y = g(t). Mata båda funktionerna med samma t och du får en punkt i planet. Svep t och punkten ritar en bana. Den extra variabeln är en klocka, eller en vinkel, eller ett skjutreglage i en animation: vad som helst båda koordinaterna kan lyssna på samtidigt. En cirkel, en slinga och en kastad boll är alla lättare i det här språket, för att de är banor, inte grafer av en enda höjd för varje x.

Vad är skillnaden mellan parametriska och kartesiska ekvationer?

En kartesisk ekvation relaterar x och y direkt, som i y = x² eller x² + y² = 1. Den är ett fotografi av en mängd punkter. Parametriska ekvationer är en film av en punkt som färdas längs den mängden: de talar om läget vid varje t, vilket håll banan vandras, och hur snabbt. Samma cirkel x² + y² = 1 kan ritas långsamt eller dubbelt så snabbt, medurs eller moturs, med start i (1, 0) eller i (0, 1). De filmerna eliminerar alla till samma kartesiska ekvation, så fotografiet kan inte skilja dem åt.

Hur eliminerar man parametern i parametriska ekvationer?

Lös en av paret för t, eller kombinera dem så att t tar ut varandra, och substituera för att få en relation mellan x och y. För x = t och y = t² får du y = x² genast. För x = cos t och y = sin t kvadrerar du och adderar, med cos² t + sin² t = 1, och återfår cirkeln x² + y² = 1. Att eliminera parametern är rätt drag när du bara behöver formen. Det är fel drag när frågan handlar om hastighet, riktning, en partikel i vila, eller vilken punkt du befinner dig i vid ett givet t, för att det är fakta om klockan, och klockan är det du just kastade bort.

Hur hittar man dy/dx för parametriska ekvationer?

Derivera varje koordinat med avseende på t, och dividera sedan: dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt), förutsatt att dx/dt inte är noll. Båda takterna är hur snabbt den koordinaten ändras mot klockan; deras kvot är hur snabbt y ändras per enhet x, vilket är lutningen. Det här är kedjeregeln, inte en ny derivata, samma idé som i [artikeln om derivator](/blog/understanding-derivatives-intuitively). En horisontell tangent händer när dy/dt = 0 medan dx/dt inte är det; en lodrät tangent händer när dx/dt = 0 medan dy/dt inte är det. Om båda försvinner har partikeln stannat, och 0/0 är inte en tangent.

Varför använder vi parametriska ekvationer?

För att många kurvor är resor, inte grafer. En cirkel faller på det lodräta linjetestet, en projektil besöker samma x två gånger, och en animation måste veta var en punkt är vid tiden t, inte bara vilka punkter den någonsin upptar. Fysiken skriver banor så här; datorgrafik skriver Bézierkurvor så här; AP Calculus BC testar lutning som (dy/dt)/(dx/dt) och båglängd som integralen av hastigheten. Polära koordinater, från [artikeln om polära koordinater](/blog/understanding-polar-coordinates-intuitively), är ett annat adressystem för samma plan. Parametriska ekvationer är en annan beskrivning av rörelse genom det.

Förstå parametriska ekvationer intuitivt (en kurva med en klocka)

Kartesiska grafer svarar på en fråga: givet x, vad är y? En stor del av skolmatematiken är den frågan, så det börjar kännas som att en kurva är en graf av y mot x. Sedan skriver en senare kurs x = cos t, y = sin t, kallar paret parametriskt och ber dig skissa banan. Elever som var flytande med y = f(x) kan plötsligt inte säga var partikeln är vid t = π/2, och lutningsformeln $\frac{dy}{dx}$ = ( $\frac{dy}{dt}$ )/( $\frac{dx}{dt}$ ) kommer som en sak till att memorera.

De två beskrivningarna är inte rivaler. En graf av y mot x är ett fotografi av en kurva. Parametriska ekvationer är en film av en punkt som färdas längs den kurvan, och den extra variabeln t är klockan. När det är bilden är att eliminera parametern att glömma klockan, och analysformlerna är kedjeregeln som läser två takter mot samma klocka.

En bana är inte en graf av y mot x

Det lodräta linjetestet är en regel om grafer av funktioner, inte om kurvor. En cirkel faller på det för att ett x kan möta cirkeln på två höjder. Det gör inte cirkeln olaglig. Det gör cirkeln till något en enda funktion y = f(x) inte kan vara.

Parametriska ekvationer är hur du talar om de objekten: slingor, åttor, ett linjesegment ritat fram och tillbaka, en projektil som går upp och kommer ner genom samma x två gånger. En funktion är en maskin med en ingång och en utgång. Parametriska ekvationer använder två maskiner som delar en ingång. Mata båda med samma t och du får en punkt (x(t), y(t)). Svep t och punkten ritar en bana.

Den banan har en riktning, för att t ökar. Grafen av y = $x^{2}$ vet inte om du vandrade den vänster till höger eller höger till vänster. Parametriseringen x = t, y = $t^{2}$ vandrar den vänster till höger när t växer. Parametriseringen x = −t, y = $t^{2}$ vandrar samma parabel åt andra hållet. Samma fotografi, två filmer.

t är en klocka

Det ärliga vardagsexemplet är rörelse. En fluga på ett fönster beskrivs inte av en höjd för varje horisontell position, för att den kan sväva, slinga och besöka samma ställe två gånger. Den beskrivs av var den är i varje ögonblick. Det är x(t) och y(t).

Du behöver inte tolka t som klocktid. Det kan vara en vinkel, en båglängd eller ett skjutreglage i en animation. Jobbet för t är att vara den enda ingången båda koordinaterna lyssnar på. Att kalla den en klocka är en bild, inte en lag.

En liten numerisk kontroll håller bilden ärlig. Ta x = cos t, y = sin t:

$t = 0$ landar i (1, 0), östpunkten på enhetscirkeln
$t = \pi/2$ landar i (0, 1), rakt norr
$t = \pi$ landar i (−1, 0), väster
$t = 2\pi$ är tillbaka i (1, 0)

Det här är enhetscirkeln från trigonometri, nu skriven som en resa runt kanten. Samma mängd punkter som $x^{2} + y^{2} = 1$ , plus en startpunkt och en moturs kurs. Polära koordinater skriver den cirkeln ännu kortare som r = 1, vilket är ett påstående om avstånd från origo. Parametriska ekvationer skriver den som en promenad. Olika frågor, samma kurva.

Hastighet sitter också i klockan. x = cos 2t, y = sin 2t ritar samma cirkel dubbelt så snabbt: när t går från 0 till 2π går du runt två gånger. Eliminera t och de två filmerna kollapsar till ett fotografi. Behåll t och skillnaden är uppenbar.

Att eliminera parametern är att glömma klockan

Om du löser en ekvation för t och substituerar in i den andra försvinner t och du får en relation mellan x och y. För x = t, y = $t^{2}$ får du y = $x^{2}$ genast. För x = cos t, y = sin t kvadrerar du och adderar, med identiteten $\cos^{2}$ t + $\sin^{2}$ t = 1, och återfår $x^{2} + y^{2} = 1$ .

Den relationen är mängden punkter. Den är inte filmen. Cirkelns ekvation säger inte att du startade i (1, 0), säger inte att du gick moturs, och säger inte att du gick runt en gång i stället för två. Det är fakta om t, och t är det eliminering raderar.

Ibland är radering rätt drag. En fråga som bara bryr sig om formen vill ha den kartesiska relationen. Ibland är det fel drag. En fråga om hastighet, om en partikel i vila, om vilken kvadrant du upptar vid t = 3, eller om sträckan vandrad längs banan, är en fråga om klockan.

Du kan inte heller alltid eliminera rent. x = t − sin t, y = 1 − cos t är en cykloid, banan för en punkt på kanten av en rullande cirkel. Det finns inget vänligt y = f(x). Den parametriska formen är modersmålet, inte en kostym slängd över en kartesisk ekvation.

Om en uppgift ber dig att "eliminera parametern" vill den ha fotografiet. Om den frågar var partikeln är, vilket håll den vetter, hur snabbt den går, eller hur långt den har vandrat, behåll klockan.

Cirklar, linjer och kastade föremål

Tre familjer dyker upp ständigt, och var och en är en resa.

En linje genom (x₀, y₀) i riktning mot en vektor (a, b) är x = x₀ + a t, y = y₀ + b t. Börja vid punkten, vandra sedan vektorn t gånger. Det är resebilden med en klocka fäst, vilket är varför parametriska linjer dyker upp i samma ögonblick som geometrin måste beskriva rörelse längs en linje, inklusive rymdgeometrifrågorna på franska Bac som skriver linjer i tre dimensioner på samma sätt.

En cirkel med radie r centrerad i origo är x = r cos t, y = r sin t. Centrum (h, k): addera de konstanterna till varje koordinat. Parametern t är kursen, vilket är varför den här formen och polära koordinater fortsätter att dela sinus och cosinus. Polär är en adress: hur långt, vilket håll. Parametrisk är ett schema: vid det här t, var här.

En projektil, i fot-och-sekunder-enheterna som många läroböcker fortfarande använder, är x = (v cos θ) t, y = (v sin θ) t − 16 $t^{2}$ . Horisontell rörelse är jämn; lodrät rörelse känner gravitation. Eliminera t och banan är en parabel. De intressanta frågorna (när landar den, vad är hastigheten i toppen) är frågor om t, vilket är varför den parametriska formen är den du faktiskt räknar med.

Varför examenskonstruktörer älskar parametriska ekvationer

AP Calculus BC behandlar parametriska kurvor som ett fast poängämne, bredvid polär och serier, vilket är varför AP Calculus-guiden grupperar dem i lagret som bara BC har. Frågorna är nästan alltid samma få drag, och varje drag är kortare om klockbilden sitter.

Lutning: $\frac{dy}{dx}$ = ( $\frac{dy}{dt}$ ) / ( $\frac{dx}{dt}$ ), förutsatt att $\frac{dx}{dt}$ inte är noll. Det här är inte en ny derivata. Båda koordinaterna ändras med t, så $\frac{dy}{dt}$ och $\frac{dx}{dt}$ är vanliga takter mot klockan. Lutningen för banan är hur snabbt y ändras per enhet x, vilket är deras kvot. Det är kedjeregeln med klockan struken.

Horisontell tangent: $\frac{dy}{dt}$ = 0 medan $\frac{dx}{dt}$ ≠ 0. Höjden har slutat ändras och partikeln rör sig fortfarande i sidled. Lodrät tangent: $\frac{dx}{dt}$ = 0 medan $\frac{dy}{dt}$ ≠ 0. Båda noll på en gång är inte en tangent. Det är en partikel som har stannat, och du måste titta på närliggande t för att se om banan har en spets eller bara en paus.

Andraderivatan följer samma mönster: $d^{2}$ y/ $dx^{2}$ = ( $\frac{d}{dt}$ av $\frac{dy}{dx}$ ) / ( $\frac{dx}{dt}$ ). Elever som behandlar det som en tredje formel att memorera får nämnaren fel. Det är kvotideén tillämpad på lutningsfunktionen, som själv är en funktion av t.

Båglängd från t = a till t = b är integralen av sqrt(( $\frac{dx}{dt}$ )² + ( $\frac{dy}{dt}$ )²) dt. Den roten är Pythagoras på det lilla steget (dx, dy). Hastighet är integranden; båglängd är ackumulerad hastighet, vilket är varför det är en integral. Du behöver ingen ny geometrisk idé. Du behöver avståndsformeln tillämpad på en rörlig punkt.

Inget av det här ersätter flyt med vanliga derivator. Parametrisk analys förlåter inte en vacklande kedjeregel. Den avslöjar den, eftersom varje lutning, varje vilopunkt och varje båglängdsintegrand går genom $\frac{dx}{dt}$ och $\frac{dy}{dt}$ .

Var misstagen kommer ifrån

Parametriska fel klustrar på tre ställen, och vart och ett är ett bildfel.

Det första är att behandla t som om det vore x. Att skissa x = $t^{2}$ , y = t på axlar märkta t och y, eller stoppa in t = 2 i bara en koordinat. Paret är en punkt i planet. Rita båda, i ordningen (x(t), y(t)), och markera några t-värden så att färdriktningen syns. Utan de pilarna ser fotografiet och filmen likadana ut, och nästa fråga kommer att handla om filmen.

Det andra är att skriva $\frac{dy}{dx}$ = ( $\frac{dy}{dt}$ )/( $\frac{dx}{dt}$ ) vid ett t där både täljare och nämnare försvinner, och sedan utropa en horisontell eller lodrät tangent från den 0 som blev över. I det ögonblicket är hastigheten nollvektorn. Tangenten, om den finns, måste läsas från banan, inte från ett 0/0. Standardexemplet är x = $t^{2}$ , y = $t^{3}$ vid t = 0: båda derivatorna är noll, den kartesiska relationen är $y^{2} = x$ ³, och banan har en spets.

Det tredje är att släppa intervallet för t. x = cos t, y = sin t med t från 0 till π är en halvcirkel, inte en cirkel. x = cos t, y = sin t med t från 0 till 4π är cirkeln vandrad två gånger. Den kartesiska ekvationen är identisk i alla tre fallen. Examensfrågan är det vanligtvis inte.

Var Math Zen passar in

Parametriska kurvor sitter ovanpå funktioner, trigonometri och kedjeregeln, och de delar ett golv med vektorer och polära koordinater. Om t fortfarande är "en bokstav till" i stället för en klocka kommer lutning och hastighet att kännas som orelaterade formler. Math Zens parametriska buckets antar att de golven redan bär: tidigt arbete är att läsa (x(t), y(t)) och färdriktningen, sedan $\frac{dy}{dx}$ via de två takterna, sedan båglängd, precis paret som AP Calculus BC faktiskt frågar efter.

Kort blandad övning slår en enda pluggning av "det parametriska kapitlet". Klockbilden, 0/0-vilopunkterna och båglängdsintegranden blir automatiska först när de dyker upp bredvid vanliga y = f(x)-derivator, i stilen hos spridd repetition för matte. På BC-provet är belöningen inte ett nytt ämne. Det är att känna igen att partikelfrågorna är derivatan du redan kan, ställd på två funktioner på en gång.

Poängen

Parametriska ekvationer är kartesiska ekvationer med en klocka. En graf av y mot x är ett fotografi av en mängd punkter. Paret x(t), y(t) är en film av en punkt som färdas längs den mängden: den känner startpunkten, kursen och hastigheten. Att eliminera parametern kastar klockan och behåller fotografiet, vilket är användbart för form och oanvändbart för rörelse. Lutning är kvoten av två vanliga takter mot t. Båglängd är Pythagoras ackumulerad längs resan.

Graferna du växte upp med är fortfarande där. Parametriska ekvationer ersätter dem inte. De ger dig ett sätt att tala om kurvor som en enda funktion y = f(x) inte kan vara, och du sträcker dig efter dem när den naturliga frågan är var punkten är vid tiden t, inte bara vilka punkter den någonsin upptar.