Partiell integration med exempel: välj u och kontrollera svaren

Betrakta $\int x e^{2x}\,dx$. Potensregeln kan inte integrera hela produkten, och om du bara integrerar $e^{2x}$ blir $x$ kvar. Partiell integration ger produkten en användbar riktning: derivera den del som blir enklare, integrera den del som fortfarande är hanterbar och ta sedan itu med den mindre integral som återstår.

I den här lektionen går vi igenom exempel på partiell integration, från en enda produkt till upprepad användning och bestämda integraler. Vill du förstå vad en integral betyder innan du lär dig metoden kan du börja med vår integralguide. Guiden till derivator hjälper också, eftersom derivering av svaret är den bästa kontrollen här.

Varifrån kommer formeln?

Produktregeln säger att $\frac{d}{dx}(uv)=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$. Integrera båda leden och flytta över en term. Då får du formeln för partiell integration som beskrivs i OpenStax Calculus, Volume 2:

$$\int u\,dv=uv-\int v\,du.$$

Här är $u$ uttrycket du väljer att derivera, medan $dv$ är det du väljer att integrera. När du har hittat $du$ och $v$ bör den nya integralen $\int v\,du$ vara enklare än den ursprungliga. Om den blir svårare behöver du ompröva uppdelningen. Formeln är en algebraisk följd av produktregeln, inte ett recept som garanterar att varje uppdelning hjälper.

För en obestämd integral ska du komma ihåg konstanten $C$ i slutet. Du kan lägga till en konstant när du väljer en primitiv funktion för $v$, men det är enklare att välja ett praktiskt $v$ och lägga till $C$ i slutsvaret.

Välj u och dv med ett syfte

En användbar fråga är: ”Vilken faktor blir enklare när den deriveras?” Ett polynom som $x^2$ blir $2x$, sedan $2$ och till sist noll. En logaritm blir $1/x$, vilket ofta passar bra ihop med resten. Samtidigt förblir exponentialfunktioner samt sinus och cosinus lätta att integrera flera gånger.

Den välkända minnesregeln LIATE ordnar logaritmiska, inversa trigonometriska, algebraiska, trigonometriska och exponentiella faktorer som möjliga val för $u$. OpenStax presenterar den som en tumregel, inte som en sats. Kontrollera den resulterande $\int v\,du$ i stället för att lita på den första bokstav som passar. En annan uppdelning kan vara kortare, och vissa produkter löses bättre med substitution.

Till exempel innehåller $\int 2x\cos(x^2)\,dx$ en inre funktion $x^2$ och dess derivata $2x$. Sätt $t=x^2$. Då är $dt=2x\,dx$, och integralen blir $\sin(x^2)+C$. Partiell integration skulle göra en enkel sammansättning onödigt krånglig. I $x e^{2x}$ finns däremot ingen lika direkt matchning mellan en inre funktion och dess derivata, medan derivering av $x$ tar bort den faktorn.

Skriv en liten tabell med två kolumner innan du räknar: $u$ och $du$ på ena sidan, $dv$ och $v$ på den andra. Fråga sedan om produkten av $v$ och $du$ ger en enklare integral. Den kontrollen förebygger ett vanligt misstag: att välja en faktor som är lätt att integrera som $u$ bara för att den ser bekant ut.

Exempel 1: en linjär faktor gånger en exponentialfunktion

Beräkna $\int x e^{2x}\,dx$. Välj $u=x$, så att $du=dx$. Välj $dv=e^{2x}\,dx$, vilket ger $v=\frac12e^{2x}$. Faktorn $\frac12$ är viktig: derivering av $e^{2x}$ ger en extra tvåa.

$$\begin{aligned} \int x e^{2x}\,dx &=x\left(\frac12e^{2x}\right)-\int\frac12e^{2x}\,dx\\ &=\frac{x e^{2x}}2-\frac{e^{2x}}4+C\\ &=\frac{e^{2x}}4(2x-1)+C. \end{aligned}$$

Derivera svaret i faktoriserad form. Produktregeln ger $\frac14[2e^{2x}(2x-1)+2e^{2x}]$, vilket förenklas till $x e^{2x}$. Då får vi tillbaka exakt samma integrand. Om kontrollen i stället hade gett $2x e^{2x}$ vore det troliga felet att $\frac12$ saknades när $e^{2x}$ integrerades.

Valet har också en synlig slutpunkt: derivering av $x$ ger en konstant, så den återstående integralen innehåller bara exponentialfunktionen. Det är vad ”enklare” betyder i det här exemplet.

Exempel 2: integrera en logaritm

Beräkna $\int\ln x\,dx$ för $x>0$. Ingen produkt är utskriven, men du kan lägga till faktorn ett: $\ln x=1\cdot\ln x$. Välj $u=\ln x$ och $dv=dx$. Då är $du=\frac1x\,dx$ och $v=x$.

$$\begin{aligned} \int\ln x\,dx &=x\ln x-\int x\frac1x\,dx\\ &=x\ln x-x+C. \end{aligned}$$

Kontrollen är kort: $\frac{d}{dx}(x\ln x-x)=\ln x+1-1=\ln x$. Definitionsmängden $x>0$ gör att vi kan skriva $\ln x$ och $1/x$ utan att passera noll. Den mer allmänna primitiva funktionen $x\ln|x|-x+C$ fungerar på intervall som inte innehåller noll, men den givna uppgiften håller sig till den positiva sidan.

Om du valde $u=1$ och $dv=\ln x\,dx$ skulle du behöva känna till den ursprungliga integralen bara för att hitta $v$. Den cirkulära uppdelningen förklarar varför logaritmen ska vara $u$ här.

Exempel 3: upprepa metoden tills polynomet försvinner

Beräkna $I=\int x^2\sin x\,dx$. När du deriverar $x^2$ minskar gradtalet, medan sinus är enkel att integrera. Välj först $u=x^2$ och $dv=\sin x\,dx$, så att $du=2x\,dx$ och $v=-\cos x$:

$$I=-x^2\cos x+2\int x\cos x\,dx.$$

Den återstående integralen innehåller fortfarande en produkt. Låt $J=\int x\cos x\,dx$ och använd partiell integration igen: $u=x$, $du=dx$, $dv=\cos x\,dx$ och $v=\sin x$. Då blir

$$J=x\sin x-\int\sin x\,dx=x\sin x+\cos x.$$

Sätt in det resultatet i $I$:

$$\int x^2\sin x\,dx=-x^2\cos x+2x\sin x+2\cos x+C.$$

Derivera nu term för term. Derivatan av $-x^2\cos x$ är $-2x\cos x+x^2\sin x$. Derivatan av $2x\sin x$ är $2\sin x+2x\cos x$, och derivatan av $2\cos x$ är $-2\sin x$. Alla extra termer tar ut varandra, så bara $x^2\sin x$ återstår. Att termerna tar ut varandra kontrollerar både tecknet från integrering av sinus och faktorn två från derivering av $x^2$.

Upprepad partiell integration är användbar när varje steg gör en faktor mindre. Om den nya integralen i stället liknar den ursprungliga kan den ändå ibland lösas genom att samla den ursprungliga integralen på ena sidan. Men fortsätt inte att använda formeln utan en tydlig slutpunkt.

Exempel 4: behåll gränserna i en bestämd integral

Beräkna $\int_0^1 x\ln(1+x)\,dx$. Faktorn $x$ är lätt att integrera, medan derivering av $\ln(1+x)$ ger $1/(1+x)$. Välj $u=\ln(1+x)$ och $dv=x\,dx$. Då är $du=\frac{1}{1+x}\,dx$ och $v=x^2/2$. Den bestämda formen av partiell integration är $\int_a^b u\,dv=[uv]_a^b-\int_a^b v\,du$.

$$\begin{aligned} \int_0^1 x\ln(1+x)\,dx &=\left[\frac{x^2}{2}\ln(1+x)\right]_0^1 -\frac12\int_0^1\frac{x^2}{1+x}\,dx\\ &=\frac12\ln2-\frac12\int_0^1\left(x-1+\frac1{x+1}\right)dx. \end{aligned}$$

Polynomdivision ger $x^2/(x+1)=x-1+1/(x+1)$. Dess integral från noll till ett är $1/2-1+\ln2=\ln2-1/2$. Alltså

$$\int_0^1 x\ln(1+x)\,dx =\frac12\ln2-\frac12\left(\ln2-\frac12\right)=\frac14.$$

Det positiva resultatet är rimligt eftersom $x\ln(1+x)$ är icke-negativ på $[0,1]$. Som en oberoende algebraisk kontroll kan du använda den primitiva funktionen $\frac{x^2-1}{2}\ln(1+x)-\frac{x^2}{4}+\frac{x}{2}$; insättning av ett och noll ger också $1/4$. För bestämda integraler ska du behålla samma gränser i den nya integralen. Slutresultatet är ett tal och får inget $+C$.

Tre övningsuppgifter med lösningar

1. Ett polynom och en exponentialfunktion. Beräkna $\int 3x e^x\,dx$.

Välj $u=3x$ och $dv=e^x\,dx$. Då är $du=3\,dx$ och $v=e^x$, alltså

$$\int 3x e^x\,dx=3x e^x-3\int e^x\,dx=3e^x(x-1)+C.$$

Derivera $3e^x(x-1)$: resultatet är $3e^x(x-1)+3e^x=3xe^x$. Det överensstämmer med den ursprungliga integranden.

2. En logaritm med en koefficient. Beräkna $\int x\ln x\,dx$ för $x>0$.

Välj $u=\ln x$ och $dv=x\,dx$. Då är $du=dx/x$ och $v=x^2/2$:

$$\int x\ln x\,dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac12\int x\,dx =\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C.$$

Derivering ger $x\ln x+x/2-x/2=x\ln x$. Om båda $x/2$-termerna syns blir kontrollen lättare att följa.

3. En bestämd integral. Beräkna $\int_0^{\pi/2}x\cos x\,dx$.

Välj $u=x$ och $dv=\cos x\,dx$, vilket ger $du=dx$ och $v=\sin x$. Sätt in gränserna efter steget med partiell integration:

$$\begin{aligned} \int_0^{\pi/2}x\cos x\,dx &=[x\sin x]_0^{\pi/2}-\int_0^{\pi/2}\sin x\,dx\\ &=\frac\pi2-[-\cos x]_0^{\pi/2}\\ &=\frac\pi2-1. \end{aligned}$$

Både $x$ och $\cos x$ är icke-negativa på intervallet, och $\pi/2-1$ är positivt. Derivering av $x\sin x+\cos x$ ger $x\cos x$, vilket kontrollerar den primitiva funktion som användes för att sätta in gränserna.

För att öva på valet av primitiva funktioner kan du använda Math Zens tema om integraler. Ett senare användningsområde för upprepade integrationsmetoder hittar du i guiden till Laplacetransformer.