Hur väljer jag u vid variabelsubstitution?

Leta efter en inre funktion vars derivata också finns i integranden, åtminstone på en konstant faktor när. I 2x(x² + 1)^5 är x² + 1 den inre funktionen och derivatan 2x står utanför, så u = x² + 1 är det naturliga valet.

Vad gör jag om derivatan bara stämmer på en konstant när?

En konstant faktor är inget problem. Om u = x² är du = 2x dx, så x dx = du/2 och 1/2 flyttas framför integralen. Bara konstanter kan flyttas så; en saknad faktor x går inte att laga genom att dividera.

Måste jag byta gränser i en bestämd integral?

Antingen räknar du om gränserna till u-värden och går aldrig tillbaka till x, eller så hittar du först den primitiva funktionen i x och använder de ursprungliga gränserna. Att blanda, ny integrand med gamla gränser, är det vanligaste felet.

Hur kontrollerar jag ett svar från variabelsubstitution?

Derivera resultatet med kedjeregeln. Du ska få tillbaka exakt den ursprungliga integranden. För en bestämd integral fångar en snabb numerisk uppskattning också ett fel tecken eller en bortglömd faktor.

Integration med variabelsubstitution: exempel, välj u och kontrollera

Titta på $\int 2x\cos(x^2)\,dx$ . Ingen grundregel integrerar en sådan produkt direkt, ändå är svaret kort: $\sin(x^2)+C$ . Derivera $\sin(x^2)$ med kedjeregeln så får du $\cos(x^2)\cdot2x$ , alltså integranden. Variabelsubstitution är metoden som hittar sådana svar med avsikt. Den använder kedjeregeln baklänges: hitta en inre funktion, kalla den $u$ och låt dess derivata ta hand om den överblivna faktorn.

Den här guiden går igenom sex exempel på variabelsubstitution, från det enkla fallet via konstanta faktorer, logaritmer och bestämda integraler med nya gränser till en substitution där man måste lösa ut $x$ . Känns kedjeregeln fortfarande osäker, värm upp med våra exempel på kedjeregeln först; varje kontroll nedan bygger på den.

Regeln på en rad

OpenStax Calculus, volym 1, §5.5 formulerar substitution för obestämda integraler så här: om $u=g(x)$ och $F$ är en primitiv funktion till $f$ , så gäller

\int f(g(x))\,g'(x)\,dx=F(g(x))+C.

I praktiken skriver du $u=g(x)$ och $du=g'(x)\,dx$ , skriver om hela integralen i $u$ , integrerar och substituerar tillbaka. Testet på ett bra val är enkelt: efter omskrivningen får inget $x$ finnas kvar. Finns det ett kvar, lös ut det uttryckt i $u$ eller välj ett annat $u$ .

Så väljer du u

Leta efter en funktion som sitter inuti en annan funktion: i en potens, under ett rottecken, i en exponent eller inuti en trigonometrisk eller logaritmisk funktion. Fråga dig sedan om dess derivata, kanske gånger en konstant, multiplicerar resten.

Integrand	Inre funktion	Dess derivata	Finns den?
$2x(x^2+1)^5$	$x^2+1$	$2x$	Ja
$xe^{x^2}$	$x^2$	$2x$	På faktorn 2 när
$\frac{\ln x}{x}$	$\ln x$	$\frac{1}{x}$	Ja
$e^{x^2}$	$x^2$	$2x$	Nej, substitutionen misslyckas

Den sista raden är viktig. $\int e^{x^2}\,dx$ liknar den andra raden, men utan faktorn $x$ har $du$ inget att ta hand om, och den integralen saknar helt elementär primitiv funktion. Substitution är inget trick som alltid fungerar; den fungerar när derivatan finns där.

Exempel 1: derivatan finns redan

Bestäm $\int 2x(x^2+1)^5\,dx$ . Låt $u=x^2+1$ , så att $du=2x\,dx$ . Faktorn $2x\,dx$ är exakt $du$ :

\int 2x(x^2+1)^5\,dx=\int u^5\,du=\frac{u^6}{6}+C=\frac{(x^2+1)^6}{6}+C.

Kontroll: derivatan av $\frac{(x^2+1)^6}{6}$ är $(x^2+1)^5\cdot2x$ . Att utveckla $(x^2+1)^5$ och integrera term för term fungerar också, men det tar mycket längre tid och bjuder in till räknefel.

Exempel 2: en konstant faktor saknas

Bestäm $\int xe^{x^2}\,dx$ . Med $u=x^2$ får vi $du=2x\,dx$ , men integranden har bara $x\,dx$ . Dela med två: $x\,dx=\frac{1}{2}\,du$ .

\int xe^{x^2}\,dx=\frac{1}{2}\int e^{u}\,du=\frac{1}{2}e^{x^2}+C.

Att flytta ut $\frac{1}{2}$ är tillåtet eftersom det är en konstant. Detsamma går inte med en saknad variabel faktor: $\int e^{x^2}\,dx$ räddas inte genom att skriva $dx=\frac{du}{2x}$ , för då blir $x$ kvar i $u$ -integralen.

Exempel 3: en logaritm som inre funktion

Bestäm $\int\frac{\ln x}{x}\,dx$ för $x>0$ . Låt $u=\ln x$ , så att $du=\frac{1}{x}\,dx$ :

\int\frac{\ln x}{x}\,dx=\int u\,du=\frac{u^2}{2}+C=\frac{(\ln x)^2}{2}+C.

Ett närliggande standardresultat kommer från $\int\tan x\,dx=\int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx$ . Låt $u=\cos x$ , så att $du=-\sin x\,dx$ och integralen blir $-\int\frac{du}{u}=-\ln\lvert\cos x\rvert+C$ . Se upp med minustecknet: det kommer från derivatan av cosinus, och att tappa det är det vanliga felet i det här exemplet.

Exempel 4: en bestämd integral med nya gränser

Beräkna $\int_0^1 x(1+x^2)^3\,dx$ . Låt $u=1+x^2$ , så att $du=2x\,dx$ och $x\,dx=\frac{1}{2}\,du$ . Räkna nu om gränserna: när $x=0$ är $u=1$ ; när $x=1$ är $u=2$ .

\int_0^1 x(1+x^2)^3\,dx=\frac{1}{2}\int_1^2 u^3\,du=\frac{1}{2}\left[\frac{u^4}{4}\right]_1^2=\frac{1}{2}\cdot\frac{16-1}{4}=\frac{15}{8}.

När gränserna väl står i $u$ behöver du inte substituera tillbaka. OpenStax anger just den här formen av regeln för bestämda integraler: gränserna blir $g(a)$ och $g(b)$ . Det klassiska felet är att använda den nya integranden med de gamla gränserna 0 och 1, vilket här skulle ge $\frac{1}{8}$ , ett svar som är fel med en faktor 15.

Rimlighetskontroll: integranden växer från 0 vid $x=0$ till 8 vid $x=1$ , så arean bör ligga någonstans mellan 0 och 8, troligen nära den lägre änden eftersom kurvan blir brant först vid högerkanten. $\frac{15}{8}=1.875$ stämmer.

Exempel 5: lös ut det överblivna x

Bestäm $\int x\sqrt{x+1}\,dx$ . Välj $u=x+1$ , så att $du=dx$ . Ett $x$ blir kvar utanför roten. Lös ut det ur substitutionen: $x=u-1$ .

\int x\sqrt{x+1}\,dx=\int(u-1)u^{1/2}\,du=\int\left(u^{3/2}-u^{1/2}\right)du=\frac{2}{5}(x+1)^{5/2}-\frac{2}{3}(x+1)^{3/2}+C.

Att lösa ut så är tillåtet eftersom $u=x+1$ är lätt att invertera. Om ett överblivet $x$ inte går att uttrycka snyggt i $u$ är substitutionen troligen fel vald.

Exempel 6: när substitution är fel verktyg

Prova $\int xe^{x}\,dx$ . Den uppenbara kandidaten $u=x$ ändrar ingenting, och $u=e^x$ lämnar $x=\ln u$ kvar inuti och gör problemet till $\int\ln u\,du$ , som ändå kräver en annan metod. Den här produkten har ingen inre funktion med sin derivata bredvid. Det är ett fall för partiell integration, där en faktor blir enklare när man deriverar den.

En nyttig vana: lägg högst en minut på att testa ett eller två val av $u$ . Om inget får $x$ att försvinna, byt verktyg i stället för att tvinga fram det.

Misstag att undvika

Att glömma du. Den som skriver $u=x^2$ och sedan bara byter ut den inre funktionen lämnar $dx$ kvar i en integral över $u$ . Varje $dx$ måste bli en multipel av $du$ .
Att dividera med en variabel. Bara konstanta faktorer får flyttas ut ur integralen.
Gamla gränser på en ny integral. Räkna om båda gränserna, eller gå tillbaka till $x$ innan du sätter in dem.
Att lämna svaret i u. För en obestämd integral substituerar du tillbaka så att svaret är en funktion av $x$ , och behåller $+C$ .
Att hoppa över kontrollen. Att derivera svaret tar sekunder och fångar nästan varje slarvfel med tecken och konstanter.

Övningsuppgifter med svar

$\int 3x^2(x^3-4)^4\,dx$ . Låt $u=x^3-4$ . Svar: $\frac{(x^3-4)^5}{5}+C$ .
$\int\sin^2x\cos x\,dx$ . Låt $u=\sin x$ . Svar: $\frac{\sin^3x}{3}+C$ .
$\int e^{3x}\,dx$ . Låt $u=3x$ , så att $dx=\frac{1}{3}\,du$ . Svar: $\frac{e^{3x}}{3}+C$ .
$\int_1^{e}\frac{\ln x}{x}\,dx$ . Låt $u=\ln x$ , med gränserna 0 och 1. Svar: $\frac{1}{2}$ .

Substitution är den första tekniken att prova på nästan vilken integral som helst; därför kallar vår guide om integraler den kapitlets arbetshäst. Namnge den inre funktionen, kontrollera att derivatan finns där, räkna om allt inklusive gränserna och derivera resultatet innan du går vidare.