Implicit derivering: genomräknade exempel och tangentkontroll

Ekvationen $x^2+y^2=25$ beskriver en cirkel. Den ger inte $y$ som en enda formel i $x$: på den övre och nedre halvan hör det för de flesta $x$-värden två olika $y$-värden. Ändå kan du bestämma lutningen i en punkt på vardera halvan. Vid implicit derivering deriverar du själva sambandet och behandlar $y$ lokalt som en funktion av $x$. Här räknar vi igenom metoden, kontrollerar varje punkt i ursprungsekvationen och visar precis var den vanliga lutningsformeln slutar gälla.

Vill du först repetera vad en lutning betyder, läs vår guide till derivator. Exemplen på kedjeregeln förklarar varför en extra faktor uppstår när ett uttryck med $y$ deriveras. Här använder vi reglerna på ekvationer med båda variablerna.

Vad ändras när y inte är frilöst?

För en explicit funktion som $y=x^2+1$ ger derivering $dy/dx=2x$. I ett samband som $x^2+y^2=25$ ändras båda koordinaterna när punkten rör sig längs kurvan. Där kurvan lokalt kan skrivas som $y(x)$ betyder termen $y^2$ alltså $(y(x))^2$. Kedjeregeln ger därför

$$\frac{d}{dx}(y^2)=2y\frac{dy}{dx}.$$

Faktorn $dy/dx$ är lätt att glömma. Den är ingen godtycklig symbol: kvadraten förändras när dess indata $y$ förändras, och $y$ förändras med $x$. På samma sätt gäller $d(y^3)/dx=3y^2(dy/dx)$ och $d(\sin y)/dx=\cos y(dy/dx)$. För en blandad term $xy$ behövs dessutom produktregeln: $d(xy)/dx=y+x(dy/dx)$. Paul Garretts genomgång hos Math Insight kombinerar dessa två regler.

Följ samma ordning varje gång:

1. Kontrollera att den efterfrågade punkten uppfyller ursprungsekvationen. En lutning för kurvan i en punkt utanför kurvan saknar mening.
2. Derivera varje term med avseende på $x$. Lägg till $dy/dx$ när den deriverade termen beror på $y$.
3. Samla termerna med $dy/dx$, bryt ut faktorn och dividera bara om den återstående faktorn inte är noll.
4. Sätt in punkten och stäm av lutningen mot kurvans lokala form, en explicit gren eller tangentens ekvation.

Sätt inte in punktens koordinater före deriveringen. Då blir rörliga koordinater konstanter och just den förändring du vill mäta försvinner. Spara också ekvationen före divisionen: den kan avslöja en lodrät tangent där bråkformeln har nämnaren noll.

Exempel 1: cirkel med vanlig tangent

Bestäm lutningen för $x^2+y^2=25$ i $(3,4)$. Börja med punktkontrollen: $3^2+4^2=9+16=25$. Punkten ligger på cirkeln. Derivera båda leden medan $y$ betraktas som $y(x)$:

$$2x+2y\frac{dy}{dx}=0.$$

Flytta $2x$ och dividera med $2y$, förutsatt att $y\ne0$:

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y},\qquad y\ne0.$$

I $(3,4)$ är lutningen $-3/4$. Tangentlinjen genom punkten är $y-4=-(3/4)(x-3)$. Rör du dig lite åt höger på övre halvan minskar höjden, så minustecknet är rimligt. Du kan kontrollera utan att lita på den implicita uträkningen: den övre grenen är $y=\sqrt{25-x^2}$ för $-5<x<5$ och har derivatan $-x/\sqrt{25-x^2}$. Vid $x=3$ blir det åter $-3/4$. Den nedre grenen har ett annat $y$ och därför en annan lutning vid samma $x$.

Grenkontrollen är viktig eftersom cirkelsambandet inte är en enda global funktion $y(x)$. Implicit derivering ger lutningen för den lokala gren som går genom den angivna punkten. Du kan inte utelämna $y$-koordinaten när flera punkter har samma $x$.

En kurva, två slags tangenter

Stanna på samma cirkel men byt till $(5,0)$. Punkten ligger på kurvan, eftersom $5^2+0^2=25$. Att sätta in den i $-x/y$ vore att dividera med noll. Det vore fel både att ange en numerisk lutning och att säga att kurvan saknar tangent. Gå tillbaka till ekvationen före divisionen:

$$2x+2y\frac{dy}{dx}=0.$$

I $(5,0)$ skulle en ändlig derivata behöva uppfylla $10+0(dy/dx)=0$. Det kan inget ändligt tal göra. Geometriskt når cirkeln sin punkt längst till höger och vänder tillbaka. Tangenten där är den lodräta linjen $x=5$, och $dy/dx$ är odefinierad. Kurvan är fortfarande jämn; den kan bara inte lokalt beskrivas som en deriverbar funktion av $x$ i just den punkten.

Ett annat sätt är att betrakta $x$ som en lokal funktion av $y$. Då är $2x(dx/dy)+2y=0$, alltså $dx/dy=-y/x$ när $x\ne0$. I $(5,0)$ gäller $dx/dy=0$. När $y$ ändras lite ändras $x$ först i högre ordning, vilket motsvarar en lodrät tangent. I $(0,5)$ är rollerna omvända: $dy/dx=0$ och tangenten är vågrät. Dessa påståenden handlar om geometrin; de tillåter inte division med noll i någon formel.

Exempel 2: en produkt och tre termer

Beräkna $dy/dx$ för $x^2+xy+y^2=7$ i $(1,2)$. Punktkontrollen ger $1+2+4=7$. Derivera term för term. $x^2$ ger $2x$; produkten $xy$ ger $y+x(dy/dx)$; och $y^2$ ger $2y(dy/dx)$:

$$2x+y+x\frac{dy}{dx}+2y\frac{dy}{dx}=0.$$

Samla derivatatermerna och bryt ut faktorn:

$$(x+2y)\frac{dy}{dx}=-(2x+y),\qquad \frac{dy}{dx}=-\frac{2x+y}{x+2y}\quad\text{när }x+2y\ne0.$$

I $(1,2)$ är täljaren $4$ och nämnaren $5$, så lutningen är $-4/5$. Tangenten är $y-2=-(4/5)(x-1)$. Sätt in svaret direkt i den deriverade ekvationen innan den dividerades: $2(1)+2+1(-4/5)+2(2)(-4/5)=4-4=0$. Den kontrollen prövar både bidraget från produktregeln och det slutliga bråket. Om du hade deriverat $xy$ bara som $x(dy/dx)$ hade den fristående termen $y$ saknats, och lutningen blivit fel.

Villkoret $x+2y\ne0$ hör till svaret även om det gäller i den efterfrågade punkten. Om nämnaren blir noll någon annanstans på kurvan måste ekvationen före divisionen undersökas där, som för cirkeln. Ett enda symboliskt bråk besvarar inte alla tangentfrågor.

Exempel 3: ett kubiskt samband

Betrakta $y^3+xy=2$ i $(1,1)$. Kontroll: $1^3+1\cdot1=2$. Derivera med kedjeregeln på kuben och produktregeln på $xy$:

$$3y^2\frac{dy}{dx}+y+x\frac{dy}{dx}=0.$$

Efter utbrytning får vi

$$(3y^2+x)\frac{dy}{dx}=-y,\qquad \frac{dy}{dx}=-\frac{y}{3y^2+x}\quad\text{om }3y^2+x\ne0.$$

I $(1,1)$ blir resultatet $-1/4$ och tangenten $y-1=-(1/4)(x-1)$. Sätt tillbaka svaret i den deriverade ekvationen: $3(-1/4)+1+(-1/4)=0$. Den korta restkontrollen fångar en missad faktor tre eller ett teckenfel. Den bevisar inte hela härledningen på egen hand, men är ett användbart slutsteg.

Felanalys: en bortglömd kedjeregelfaktor

Anta att någon deriverar $x^2+y^2=25$ till $2x+2y=0$. Det är ingen ekvation för tangentens lutning. Man behandlar $y$ som om $dy/dx=1$, trots att cirkelsambandet bestämmer hur $y$ svarar på förändringar i $x$. I $(3,4)$ skulle det ge $6+8=0$, en omedelbar motsägelse. Den rätta derivatan $2x+2y(dy/dx)=0$ ger i stället $6+8(-3/4)=0$.

En annan fälla är att dividera först och glömma villkoret. Formeln $-x/y$ gäller där $y\ne0$; den tar inte bort ändpunkterna $(\pm5,0)$. Behåll ursprungssambandet, punktkontrollen och den odelade deriverade ekvationen tillsammans. De tre uppgifterna visar vad som händer där bråket inte är definierat.

Om storheter förändras med tiden i stället för med $x$ blir samma idé en uppgift om relaterade förändringshastigheter: använd rätt tidsderivator och kontrollera enheterna. Du kan öva de underliggande reglerna i Math Zens område om derivator. Som självtest kan du göra om exempel 2 i en annan giltig punkt, men kontrollera först att punkten ligger på kurvan.

Vanliga frågor

Varför behöver varje derivering av $y$ faktorn $dy/dx$? Eftersom $y$ förändras med $x$ längs den lokala grenen. Kedjeregeln multiplicerar derivatan med avseende på $y$ med $dy/dx$. Exempelvis gäller $d(y^3)/dx=3y^2(dy/dx)$.

Kan jag först lösa ut $y$? Ja, om det är praktiskt och du väljer rätt gren och definitionsmängd. Cirkelns övre gren ger samma lutning i $(3,4)$. Att lösa ut $y$ kan dock vara svårt eller ge flera grenar; därför är det värdefullt att kunna derivera sambandet direkt.

Betyder en odefinierad $dy/dx$ alltid en lodrät tangent? Nej. Ett odefinierat bråk uppmanar dig att undersöka ursprungskurvan och ekvationen före divisionen. I $(5,0)$ på den här cirkeln bekräftar geometrin och $dx/dy=0$ en lodrät tangent. Singulära punkter på andra kurvor kan bete sig annorlunda.

Vilken kontroll går snabbast efter beräkningen? Kontrollera att punkten ligger på ursprungskurvan, sätt in lutningen i den odelade deriverade ekvationen och granska varje nämnare som användes när $dy/dx$ löstes ut. De tre kontrollerna hittar olika typer av fel.