Relaterade förändringshastigheter: stege, kon och skugga

En tio fot lång stege glider nedför en vägg medan foten rör sig bort från väggen. Stegens längd och fotens hastighet är kända; du söker hastigheten hos toppen. Bilden och Pythagoras sats ger en ekvation, men hastigheten kräver att ekvationen deriveras med avseende på tiden. Båda avstånden förändras trots att stegen behåller sin längd.

I tre geometrier använder vi samma fem anteckningar: variabler, bestående samband, given hastighet och ögonblick, sökt hastighet, samt kontroll av tecken och enheter. Det hindrar för tidig insättning och förväxling av två hastigheter på samma bild. Metoden följer OpenStax Calculus, volym 1, §4.1; våra talexempel är egna. Om derivatans betydelse är oklar, börja med guiden till derivator.

Bestäm variablerna före beräkningen

Välj tiden $t$ och skriv varje varierande längd som en funktion, till exempel $x(t)$ och $y(t)$. Ange positiva riktningar. Om $x$ är avståndet från väggen och foten rör sig bort med $2\text{ ft/s}$, är $dx/dt=+2\text{ ft/s}$. En höjd som sjunker har $dy/dt<0$. Om frågan är hur fort toppen sjunker, är den positiva farten $|dy/dt|$.

Skriv ett samband som gäller under rörelsen. Derivera det med avseende på $t$ medan längderna fortfarande är variabler. Här används kedjeregeln: $d[x(t)^2]/dt=2x\,dx/dt$. Sätt sedan in måtten för det efterfrågade ögonblicket och de kända hastigheterna. Kontrollera tecken och dimension: en längdderivata mäts i längd per tid, en volymderivata i volym per tid.

Anteckning	Fråga
Variabler	Vad ändras och vilken riktning är positiv?
Samband	Vilken ekvation gäller vid varje relevant ögonblick?
Givet nu	Vilka längder och hastigheter med tecken är kända?
Sökt	Vilken derivata ska isoleras?
Kontroll	Är riktning och enheter rimliga?

Ett övningsblad från Cornell använder samma allmänna idé för flera geometriska situationer. Tabellen gör storheternas tolkning synlig, inte bara deriveringsekvationen.

Exempel 1: stegen som glider

Variabler. $x(t)$ är fotens avstånd från väggen och $y(t)$ toppens höjd, båda i fot. Ökande avstånd och höjd är positiva. Den stela stegen är $10\text{ ft}$. I ögonblicket gäller $x=6\text{ ft}$ och $dx/dt=+2\text{ ft/s}$. Sök $dy/dt$.

Samband. Den rätvinkliga triangeln ger $x^2+y^2=100$. När $x=6$ är den positiva höjden $y=\sqrt{100-36}=8\text{ ft}$. Sätt dock inte in $x=6$ före deriveringen: $x$ förändras både före och efter detta ögonblick.

Derivera och sätt in. Högerledet är konstant:

$$2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=0, \qquad \frac{dy}{dt}=-\frac{x}{y}\frac{dx}{dt}.$$

Alltså $dy/dt=-(6/8)(2)=-1.5\text{ ft/s}$. Svar och kontroll. Den tecknade vertikala hastigheten är negativ eftersom höjden sjunker. Farten nedåt som positivt belopp är $1.5\text{ ft/s}$. Kvoten $x/y$ saknar enhet, så produkten har samma enhet som $dx/dt$. Ett positivt $dy/dt$ med dessa axlar vore ett teckenfel.

När stegen närmar sig marken blir $y$ liten och beloppet i den idealiserade formeln växer. Det är en egenskap hos modellen med stel stege och föreskriven horisontell hastighet, inte en förutsägelse om verklig rörelse ända till slutet. Svaret avser bara det angivna ögonblicket.

Exempel 2: vatten fyller en kon

En konisk tank pekar nedåt med spetsen. Totalhöjden är $12\text{ cm}$ och toppens radie $4\text{ cm}$. Vatten flödar in med $dV/dt=+6\pi\text{ cm}^3/\text{s}$. Hur fort stiger vattnet när djupet är $h=6\text{ cm}$?

Variabler. $h(t)$ är vattendjupet och $r(t)$ ytradien. Båda ändras liksom $V(t)$. Samband. Likformiga trianglar ger $r/h=4/12=1/3$, alltså $r=h/3$. Vattenkonens volym är $V=(\pi/3)r^2h$. Sätt in sambandet mellan variabler nu: $V=(\pi/27)h^3$. Det fryser inte $h$ vid dess ögonblicksvärde.

Derivera och sätt in. Kedjeregeln ger

$$\frac{dV}{dt}=\frac{\pi}{9}h^2\frac{dh}{dt}.$$

Vid $h=6\text{ cm}$ blir $6\pi=(\pi/9)(36)\,dh/dt=4\pi\,dh/dt$. Alltså $dh/dt=1.5\text{ cm/s}$. Kontroll. Positivt tecken stämmer med stigande yta. $(\pi/9)h^2$ har areaenhet; kubikcentimeter per sekund delat med area ger centimeter per sekund. Vid detta ögonblick är $r=2\text{ cm}$. Om tankens fasta radie $4$ förväxlas med vattnets aktuella radie $2$ blir hastigheten fel.

En annan väg är att derivera $V=(\pi/3)r^2h$ med både $dr/dt$ och $dh/dt$ och sedan använda $dr/dt=(1/3)dh/dt$. Resultatet är detsamma. Att ersätta $r$ med $h/3$ före deriveringen är kortare eftersom endast en varierande längd återstår.

Exempel 3: en person och en skugga

En lampa sitter $6\text{ m}$ över plan mark. En $2\text{ m}$ lång person går rakt bort från lampan med $dx/dt=+1.5\text{ m/s}$. Låt $x(t)$ vara avståndet från lampan och $s(t)$ skuggans längd. Bestäm både hur snabbt skuggan växer och hur snabbt dess spets rör sig.

Variabler. Positiv riktning går bort från lampan. Spetsen ligger på avstånd $x+s$. Därför är $ds/dt$ och $d(x+s)/dt$ olika hastigheter. Samband. Likformiga trianglar jämför lampans höjd med avståndet till spetsen och personens höjd med skugglängden:

$$\frac{6}{x+s}=\frac{2}{s}.$$

Korsmultiplicera: $6s=2x+2s$ och $s=x/2$. Sambandet gäller för den idealiserade raka geometrin. Derivering: $ds/dt=(1/2)dx/dt=0.75\text{ m/s}$. Detta är förändringen av själva skugglängden.

Spets och kontroll. Positionen är $p=x+s=3x/2$, så $dp/dt=dx/dt+ds/dt=1.5+0.75=2.25\text{ m/s}$. Spetsen rör sig snabbare än personen; dess hastighet är inte bara skugglängdens tillväxt. Båda hastigheterna är positiva och mäts i meter per sekund. Om personen stannar blir $dx/dt=0$ och båda derivatorna noll, en enkel gränsfallskontroll.

Använd schemat och läs frågan igen

Alla tre problemen använde ett samband som håller under rörelsen. Tal för ett enskilt ögonblick sattes in först efter deriveringen. Tolkningen skiljer sig: stegens höjd sjunker, konens vattennivå stiger från ett volymflöde och skuggan har två skilda positiva hastigheter. De fem anteckningarna gör skillnaderna tydliga utan tre separata knep.

Öva genom att ändra en given hastighet utan att ändra geometrin. Om stegfoten vid $x=6\text{ ft}$ går utåt med $1\text{ ft/s}$ halveras toppens hastighet till $-0.75\text{ ft/s}$. Om inflödet till konen fördubblas vid samma djup fördubblas $dh/dt$. Proportionalitetskontroller hittar räknefel men ersätter inte det geometriska sambandet. Math Zen kan hjälpa dig öva nödvändiga derivatregler i en fråga åt gången; förberedelser för AP Calculus placerar detta bland andra tillämpningar.

Innan du godtar ett svar, läs substantivet i frågan igen: stegfot, topp, vattennivå, skugglängd eller skuggspets. Skriv det bredvid din sista derivata. En korrekt derivata för fel storhet är ändå fel svar. Jämför sedan tecknet med den positiva riktningen och förenkla enheterna. De två snabba kontrollerna avslöjar ofta ett annars övertygande fel.