Binomialfördelning: exempel med exakt, minst och högst

Anta att du kastar ett mynt fem gånger och vill få exakt tre kronor. Sannolikheten för en viss följd, till exempel krona-krona-klave-krona-klave, är lätt att räkna ut. Men den följden är bara en av flera följder med tre kronor. En binomialberäkning gör båda delarna: den hittar sannolikheten för en följd och räknar alla följder som uppfyller villkoret.

De här exemplen på binomialfördelning visar hur du räknar sannolikheten för ett exakt antal, minst en framgång och högst två framgångar. Kontrollera att situationen passar modellen innan du använder formeln. Vill du först få en mjukare introduktion till sannolikheter kan du läsa vår sannolikhetsguide.

Kontrollera binomialfördelningens fyra villkor

Binomialmodellen räknar framgångar i upprepade försök. OpenStax genomgång av binomialfördelningen beskriver en modell som vi kan pröva i fyra delar:

1. Ett fast antal försök: bestäm $n$ innan du ser resultaten.
2. Två utfall per försök: kalla utfallen framgång eller misslyckande utifrån frågan du vill besvara.
3. Oberoende försök: resultatet från ett försök ändrar inte sannolikheten i ett annat.
4. Konstant sannolikhet för framgång: samma $p$ gäller vid varje försök.

Om alla fyra villkoren håller, låt $X$ vara antalet framgångar. Då kan $X$ vara vilket heltal som helst från noll till $n$. Ordet framgång betyder inte att utfallet är bra. Om du räknar defekta delar kan en defekt del vara den matematiska framgången, eftersom det är den händelse du har valt att räkna.

Tänk dig fem oberoende frågor där varje svar har sannolikheten $p=0.4$ att vara rätt. Vi låser antalet frågor till fem, kallar ett rätt svar en framgång, antar oberoende och låter sannolikheten vara 0,4 varje gång. Situationen passar då binomialmodellen.

Bygg upp sannolikhetsformeln

För exakt $k$ framgångar på $n$ försök börjar du med en enda ordning av utfallen. Om en framgång har sannolikheten $p$, har ett misslyckande sannolikheten $1-p$. Tack vare oberoendet är sannolikheten för en ordning med $k$ framgångar och $n-k$ misslyckanden lika med $p^k(1-p)^{n-k}$.

Räkna sedan antalet möjliga ordningar. Det finns $\binom{n}{k}$ sätt att välja vilka $k$ av de $n$ försöken som blir framgångar. Alla har samma sannolikhet, alltså:

$$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k},\qquad \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$$

Till exempel kan tre framgångar på fem försök ordnas på $\binom{5}{3}=10$ sätt. Du behöver inte skriva ut dem alla. Om räknefaktorn är ny för dig förklarar permutationer och kombinationer varför valet av positioner är en kombination och inte en fråga om i vilken ordning du väljer dem.

Som en snabb kontroll av storleksordningen är det genomsnittliga antalet framgångar $np$ och variansen $np(1-p)$ i den här modellen, enligt OpenStax. De sammanfattar hela fördelningen men ersätter inte sannolikheten för ett särskilt antal. Skillnaden mellan varians och standardavvikelse finns i den här guiden.

Exempel 1: exakt tre framgångar

Återgå till de fem oberoende frågorna där ett rätt svar har sannolikheten $p=0.4$. Räkna ut sannolikheten för exakt tre rätt. Antalet försök är $n=5$ och antalet framgångar vi söker är $k=3$. Sätt in värdena innan du använder räknaren:

$$\begin{aligned} P(X=3)&=\binom{5}{3}(0.4)^3(0.6)^2\\ &=10(0.064)(0.36)\\ &=0.2304. \end{aligned}$$

Sannolikheten är alltså $23.04\%$. Faktorn $10$ räknar på vilka positioner de tre rätta svaren kan hamna. Utan den vore $0.02304$ bara sannolikheten för en bestämd följd, till exempel rätt, rätt, fel, rätt, fel. Den här faktorn är det vanligaste som saknas i en lösning med ett exakt antal framgångar.

Exponenterna ger också en kontroll: tre framgångar plus två misslyckanden är fem försök. Om exponenternas summa inte är $n$, stanna och kontrollera uppställningen före uträkningen. En bra vana är att behålla det exakta decimalvärdet $0.2304$ genom eventuella följande steg och avrunda först när du anger svaret.

Exempel 2: minst en framgång

Anta att fyra oberoende försök vardera har en sannolikhet för framgång på $0.3$. Beräkna sannolikheten för minst en framgång. Det omfattar en, två, tre och fyra framgångar. Du skulle kunna addera fyra binomialtermer, men komplementhändelsen är enklare: noll framgångar.

$$\begin{aligned} P(X\geq1)&=1-P(X=0)\\ &=1-\binom{4}{0}(0.3)^0(0.7)^4\\ &=1-0.2401=0.7599. \end{aligned}$$

Svaret är $75.99\%$. Säg med ord vad komplementet innebär innan du väljer det: ”minst en” uteblir bara när det inte blir någon framgång. Komplementet till ”minst två” omfattar däremot noll och en framgång. Att dra bort enbart $P(X=0)$ då ger fel svar.

Observera att $P(X=0)=(1-p)^n$. Kombinationsfaktorn är ett, eftersom det finns exakt en ordning utan framgångar. Genvägen fungerar därför att försöken har samma sannolikhet och är oberoende.

Exempel 3: högst två framgångar

Tänk dig nu sex oberoende försök, vart och ett med sannolikheten för framgång $p=0.25$. ”Högst två” betyder noll, en eller två framgångar. Addera just dessa tre fall, som inte kan inträffa samtidigt:

$$\begin{aligned} P(X\leq2)&=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\\ &=\binom{6}{0}(0.25)^0(0.75)^6 +\binom{6}{1}(0.25)^1(0.75)^5 +\binom{6}{2}(0.25)^2(0.75)^4\\ &=0.177978515625+0.35595703125+0.296630859375\\ &=0.83056640625\approx0.8306. \end{aligned}$$

Det är ungefär $83.06\%$. Den direkta summan har tre termer här. Komplementet $1-P(X\geq3)$ skulle kräva fyra termer och är mindre praktiskt. Vid en större gräns kan du jämföra hur många termer båda sidorna kräver och räkna den kortare vägen. En räknare med funktion för kumulativ binomialsannolikhet kan hjälpa, men du måste ändå ange rätt olikhet. $P(X\leq2)$ tar med två; $P(X<2)$ gör det inte.

Om du avrundar de mellanliggande decimalerna för tidigt kan summans sista decimaler ändras något. Behåll full precision medan du adderar och avrunda slutsannolikheten först enligt uppgiftens krav. Svaret ska ligga mellan noll och ett.

En situation som inte är binomial

Du drar tre kort ur en vanlig kortlek utan återläggning och räknar ess. Antalet drag är bestämt och varje kort kan kallas ess eller inte ess. Men efter det första draget har kortleken ändrats. Om du drog ett ess är sannolikheten för ett ess nästa gång $3/51$; annars är den $4/51$. Sannolikheten för framgång är alltså inte konstant, och dragen är beroende. Binomialformeln med $n=3$ och $p=4/52$ är därför inte en exakt modell.

Om du lägger tillbaka varje kort och blandar före nästa drag återställs den konstanta sannolikheten och oberoendet i det här förenklade exemplet. Den skillnaden är viktigare än att memorera en formel: avgör först vad som dras och om ett försök ändrar nästa.

Prova tre uppgifter och kontrollera lösningarna

1. Exakt två. Ett spel har fem oberoende omgångar och sannolikheten att vinna varje omgång är $0.2$. Vad är sannolikheten för exakt två vinster?

Lösning: $n=5$, $k=2$ och $p=0.2$. Det finns $\binom{5}{2}=10$ sätt att placera de två vinsterna. Alltså:

$$P(X=2)=10(0.2)^2(0.8)^3=10(0.04)(0.512)=0.2048.$$

Chansen är $20.48\%$. Om du bara räknade en ordning skulle du få $0.02048$, en tiondel av rätt svar.

2. Minst två. Fyra oberoende försök har vardera sannolikheten för framgång $0.5$. Vad är sannolikheten för minst två framgångar?

Lösning: ”Minst två” utesluter noll och en framgång. Med $p=0.5$ blir komplementet enkelt:

$$\begin{aligned} P(X\geq2)&=1-P(X=0)-P(X=1)\\ &=1-\binom{4}{0}(0.5)^4-\binom{4}{1}(0.5)^4\\ &=1-\frac{1}{16}-\frac{4}{16}=\frac{11}{16}=0.6875. \end{aligned}$$

Svaret är $68.75\%$. Om du bara drar bort noll framgångar svarar du i stället på ”minst en”.

3. Högst en. Tre oberoende kontroller ger vardera ett positivt resultat med sannolikheten $0.1$. Vad är sannolikheten för högst ett positivt resultat?

Lösning: Ta med noll och ett positivt resultat och addera:

$$\begin{aligned} P(X\leq1)&=\binom{3}{0}(0.1)^0(0.9)^3 +\binom{3}{1}(0.1)^1(0.9)^2\\ &=0.729+0.243=0.972. \end{aligned}$$

Svaret är $97.2\%$.

För mer övning i grunderna kan du använda Math Zens sannolikhetsövningar. Det mest värdefulla första steget i varje uppgift är fortfarande att kontrollera de fyra villkoren.