Varians och standardavvikelse: en stegvis genomräknad guide

Två grupper löser ett pussel på i genomsnitt fyra minuter. I den första gruppen blir alla klara på fyra minuter. I den andra blir hälften klara på två minuter och hälften på sex. Medelvärdena är lika, men tiderna i den andra gruppen är mer utspridda. Varians och standardavvikelse sätter tal på den skillnaden.

De mäter samma grundläggande egenskap, spridningen kring medelvärdet, men uttrycker den på olika skalor. Variansen använder kvadrerade enheter. Standardavvikelsen är kvadratroten ur variansen och återgår till den ursprungliga enheten. Om värdena är minuter mäts variansen i kvadratminuter och standardavvikelsen i minuter. Uträkningen beror också på om dina data utgör hela populationen eller bara ett stickprov.

Här räknar vi igenom en datamängd från början till slut. Om du först vill se helheten kring medelvärde, median och fördelningar kan du läsa vår introduktion till statistik.

Börja med avvikelserna från medelvärdet

Anta att åtta försök att lösa pusslet tog så här många minuter:

$$2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9$$

Summan är $40$ minuter, så medelvärdet är $40/8=5$ minuter. Dra sedan av fem från varje tid. Avvikelserna är:

$$-3,\ -1,\ -1,\ -1,\ 0,\ 0,\ 2,\ 4$$

Ett negativt värde betyder snabbare än medelvärdet och ett positivt betyder långsammare. Avvikelser från ett aritmetiskt medelvärde summerar alltid till noll. Om du bara tog medelvärdet av dem skulle du därför få noll i spridning även för en datamängd med mycket olika värden. Det hjälper inte. När varje avvikelse kvadreras blir den icke-negativ, och större avvikelser får större inverkan, vilket NIST:s genomgång av spridningsmått förklarar.

Här är de åtta kvadrerade avvikelserna:

Tid, minuter	Avvikelse från 5, minuter	Kvadrerad avvikelse, minuter²
2	-3	9
4	-1	1
4	-1	1
4	-1	1
5	0	0
5	0	0
7	2	4
9	4	16

Den sista kolumnen summerar till $32$ kvadratminuter. Den summan ligger bakom båda måtten. De observerade tiderna förändras inte härifrån. Nämnaren beror på vad de åtta tiderna representerar.

Om värdena är hela populationen

Föreställ dig att de åtta försöken är alla försök i den lilla tävling du vill beskriva. Du beskriver alltså hela gruppen, inte en större grupp som du inte har mätt. Dela summan av de kvadrerade avvikelserna med antalet värden, $N=8$:

$$\sigma^2=\frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}{N}=\frac{32}{8}=4\ \text{minuter}^2$$

Det är populationsvariansen. Den betecknas $\sigma^2$. Ta sedan kvadratroten:

$$\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{4}=2\ \text{minuter}$$

Det är populationens standardavvikelse. Kvadratroten gör inte om beräkningen till ett genomsnitt av absoluta avstånd. Den återställer enheten och skalan efter att avvikelserna redan har kvadrerats och slagits ihop. OpenStax avsnitt om spridning använder samma populationssymboler och nämnare.

Vad betyder två minuter här? Det är ett mått på hur tiderna varierar kring medelvärdet fem minuter, uttryckt i minuter. Det betyder inte att varje försök ligger högst två minuter från fem: listan innehåller både två och nio. Det betyder inte heller att en bestämd andel måste ligga inom det intervallet. Sådana procentregler kräver antaganden om fördelningen, inte bara en uträknad standardavvikelse.

Om värdena är ett stickprov

Anta nu att samma åtta tider har valts ur en mycket större samling försök och att du vill uppskatta variationen i hela den större populationen. Det observerade medelvärdet fem är självt beräknat från stickprovet. Den vanliga stickprovsvariansen använder $n-1$ i nämnaren:

$$s^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}=\frac{32}{7}\approx4.5714\ \text{minuter}^2$$

Stickprovets standardavvikelse blir:

$$s=\sqrt{s^2}=\sqrt{\frac{32}{7}}\approx2.1381\ \text{minuter}$$

Resultatet är något större än för populationen eftersom samma summa, $32$, delas med sju i stället för åtta. Det handlar inte om att välja en generös eller sträng formel. Formlerna svarar på två olika frågor: beskriva de åtta värdena som hela gruppen, eller använda åtta observerade värden för att uppskatta spridningen i en större grupp. OpenStax bok om datavetenskap visar båda formlerna och skillnaden i enhet.

Varför sju? Stickprovets medelvärde anpassas till just de här observationerna. Därför tenderar deras avvikelser att se mindre ut än avvikelser från det okända populationsmedelvärdet. Att använda $n-1$ korrigerar denna tendens att underskatta variansen under de vanliga antagandena för stickprov. Ett minnesknep är att sju avvikelser kan variera fritt när stickprovsmedelvärdet är fast: den åttonde måste få deras summa att bli noll. Den djupare statistiska förklaringen handlar om hur stickprovsvariansen beter sig över upprepade stickprov. Här räcker den praktiska regeln: avgör om du har en population eller ett stickprov innan du delar.

Vilket tal ska du redovisa?

Använd varians när en beräkning efterfrågar kvadrerad spridning eller när du ska fortsätta med en statistisk formel som använder varians. Använd standardavvikelse när läsaren ska jämföra spridningen med de ursprungliga mätningarna. ”En standardavvikelse på omkring 2,14 minuter” är lätt att jämföra med ett medelvärde på fem minuter; ”en varians på omkring 4,57 kvadratminuter” är matematiskt korrekt men svårare att föreställa sig.

Ange alltid vilken formel du använde. ”SD = 2” och ”SD = 2,14” kommer båda från samma åtta tider. Utan märkningen population eller stickprov kan läsaren inte förstå varför de skiljer sig. Om din räknare erbjuder $\sigma$ och $s$ är knapparna inte utbytbara. Välj $\sigma$ för att beskriva hela populationen och $s$ för stickprovsberäkningen.

Enheten spelar också roll. Om värdena mäts i centimeter anges variansen i $\mathrm{cm}^2$ och standardavvikelsen i centimeter. Om värdena är enhetslösa poäng är båda resultaten enhetslösa. Att kalla båda talen ”poäng” eller båda ”kvadratpoäng” döljer vad kvadratroten gjorde.

Varför inte bara använda variationsbredden?

Variationsbredden för tiderna är $9-2=7$ minuter. Den visar avståndet mellan yttervärdena men inget om de sex värdena däremellan. Ändra ett mittvärde utan att röra två och nio, så är variationsbredden fortfarande sju trots att mönstret har ändrats. Varians och standardavvikelse använder varje observation och påverkas därför av ändringen i mitten.

Den styrkan har också en begränsning: kvadreringen ger avlägsna värden stor påverkan. I vårt exempel står försöket på nio minuter ensamt för $16$ av totalt $32$ kvadratminuter. Det är en fördel när stora avvikelser spelar roll, men det betyder också att du bör titta på värdena innan du tolkar ett enda spridningsmått. NIST beskriver hur stora avvikelser väger tyngre i jämförelsen mellan olika spridningsmått. En standardavvikelse ersätter inte uppmärksamhet på ett ovanligt värde eller en skev fördelning.

Jämför för att få intuition två datamängder med fyra värden och medelvärdet fyra: $[4,4,4,4]$ och $[2,2,6,6]$. Den första har inga avvikelser och därmed standardavvikelsen noll. I den andra ligger varje värde två enheter från fyra, så varje kvadrerad avvikelse är fyra. Om varje mängd är en hel population är den andras varians fyra och standardavvikelsen två. Det gemensamma medelvärdet missade hela skillnaden.

Vanliga räknefel

Att dela innan du bestämt vad data representerar. Skriv ”population” eller ”stickprov” ovanför uträkningen. Använd $N$ för en population och $n-1$ för stickprovsvarians som ska uppskatta en populations varians. Att blanda dem är den vanligaste orsaken till två svar som båda ser rimliga ut men skiljer sig åt.

Att glömma kvadratroten. Summan delad med nämnaren är variansen. Standardavvikelsen är kvadratroten ur det talet. Redovisa båda om uppgiften frågar efter båda.

Att tappa bort enheterna. Summan av kvadrerade avvikelser och variansen har kvadrerade enheter; standardavvikelsen har den ursprungliga enheten. Det är ett snabbt sätt att kontrollera din uträkning.

Att kalla den genomsnittligt absolut avstånd. Det är ett annat mått, medelabsolutavvikelse. För standardavvikelse kvadrerar man först, delar med rätt nämnare för population eller stickprov och tar sedan kvadratroten. Beräkningarna ger i allmänhet olika tal.

Att avrunda varje rad. Behåll exakta kvadrerade avvikelser och den exakta kvoten så länge som möjligt. För de här värdena ger $32/7$ en mer korrekt stickprovsstandardavvikelse än kvadratroten ur en avrundad varians.

Öva utan att kopiera tabellen

Prova $[1,3,3,5]$ och behandla de fyra värdena som hela populationen. Medelvärdet är $3$. Avvikelserna är $[-2,0,0,2]$, så summan av deras kvadrater är $8$. Populationsvariansen är $8/4=2$ kvadrerade enheter och standardavvikelsen är $\sqrt{2}\approx1.4142$ enheter. Om de fyra värdena i stället är ett stickprov delar du med tre: stickprovsvariansen är $8/3\approx2.6667$ och stickprovsstandardavvikelsen är $\sqrt{8/3}\approx1.6330$.

Ändra bara det sista värdet från fem till nio. Förutsäg innan du räknar om spridningen ökar. Det gör den, men räkna ändå om allt: även medelvärdet har ändrats, så du kan inte uppdatera bara en rad i den gamla tabellen över avvikelser. Övningen visar varför medelvärde och spridning måste beräknas tillsammans.

Math Zens statistikövningar är användbara när du kan fylla i en tabell för hand. Öva på att hitta medelvärdet, välja rätt nämnare och kontrollera att svarets enhet är rimlig. Om skillnaden mellan stickprov och population fortfarande känns abstrakt visar vår sannolikhetsguide varför ett stickprov kan användas för att resonera om en större mängd möjliga utfall.

Vanliga frågor

Är variansen alltid större än standardavvikelsen?

Nej. De har olika enheter, så en direkt jämförelse av vilket tal som är större är oftast meningslös. Rent numeriskt är kvadratroten större än variansen om variansen i en vald enhet är mindre än ett, och mindre om variansen är större än ett. Byter du enhet kan den numeriska jämförelsen ändras utan att själva data ändras.

Kan standardavvikelsen vara negativ?

Nej. Kvadrerade avvikelser är icke-negativa, deras summa är icke-negativ och kvadratroten som används för standardavvikelsen är icke-negativ. Den är noll bara om alla observerade värden är lika.

När använder jag n minus 1?

Använd $n-1$ för den vanliga stickprovsvariansen och stickprovsstandardavvikelsen när stickprovets medelvärde räknas från samma data. Använd $N$ när värdena är hela populationen du vill beskriva. Läs uppgiftens formulering innan du använder räknaren.

Vad är enklaste sättet att minnas skillnaden?

Varians beskriver spridning genom kvadrerade avvikelser. Standardavvikelsen är kvadratroten ur variansen och har datans ursprungliga enhet. I exemplet ovan går vi från totalt $32$ kvadratminuter till $4$ kvadratminuter i populationsvarians och vidare till $2$ minuter i populationens standardavvikelse.