Парадокс Монти Холла: почему смена двери удваивает шансы
В 1990 году читатель задал в колонке Мэрилин вос Савант короткий вопрос о телеигре. Её ответ, что дверь нужно менять, вызвал около десяти тысяч писем протеста, почти тысяча из них была подписана обладателями докторских степеней, и многие настаивали, что колумнистке не пристало ошибаться в базовой теории вероятностей. Она не ошибалась. Ошибались они.
Именно этим парадокс Монти Холла и заслуживает вашего времени. Это не вопрос с подвохом, и он не держится на мелком шрифте. Это совершенно честная головоломка с условием в три строки, и она стабильно побеждает интуицию умных людей, включая профессиональных математиков, пока они не увидят одну асимметрию, которую упустили. Стоит её увидеть, и ответ перестаёт казаться парадоксальным и начинает казаться неизбежным.
Правила игры
Головоломка построена по мотивам телешоу Let's Make a Deal, чей первый ведущий, Монти Холл, дал ей имя. Условия такие.
Есть три закрытые двери. За одной автомобиль. За двумя другими козы. Автомобиль размещён случайно, так что до начала игры у каждой двери шанс 1/3.
Вы выбираете дверь, скажем дверь 1. Она остаётся закрытой.
Ведущий, который точно знает, где автомобиль, открывает одну из двух дверей, которые вы не выбрали, и он всегда открывает дверь с козой. Скажем, он открывает дверь 3, и оттуда на вас смотрит коза.
Теперь закрытыми остаются две двери: ваша дверь 1 и нетронутая дверь 2. Ведущий предлагает выбор. Остаться с дверью 1 или перейти к двери 2.
Почти у всех интуиция говорит одно и то же: две двери, один автомобиль, 50/50, значит без разницы. Интуиция ошибается. Сохранение выбора выигрывает в 1/3 случаев. Смена выигрывает в 2/3 случаев. Смена буквально удваивает ваши шансы, и вся головоломка состоит в том, чтобы понять, откуда берётся эта дополнительная вероятность.
Доказательство сводится к подсчёту
Самый чистый путь к ответу: заметить, что вся игра решается одним событием, был ли ваш первый выбор верным.
Ваш первый выбор верен в 1/3 случаев и ошибочен в 2/3 случаев
Когда вы выбирали дверь 1, автомобиль с равной вероятностью мог быть где угодно. Значит, с вероятностью 1/3 автомобиль за вашей дверью, а с вероятностью 2/3 за одной из двух других. В этом нет ничего спорного, и это единственная случайность во всей игре.
Сохранение выбора выигрывает ровно тогда, когда первый выбор был верным
Если вы остаётесь с дверью 1, вы выигрываете автомобиль тогда и только тогда, когда автомобиль с самого начала стоял за дверью 1. Это происходит с вероятностью 1/3. Открытая ведущим дверь не передвигает автомобиль и не улучшает задним числом догадку, сделанную до того, как он что-либо сделал.
Смена выигрывает ровно тогда, когда первый выбор был ошибочным
Предположим, ваш первый выбор был ошибочным, что случается в 2/3 случаев. Тогда автомобиль стоит за одной из двух невыбранных дверей, и у ведущего, который обязан открыть дверь с козой и не может открыть вашу, нет никакой свободы: он вынужден открыть единственную оставшуюся дверь без автомобиля, а за дверью, которую он оставляет закрытой, стоит автомобиль. Меняйте, и вы выиграли. Значит, смена выигрывает в каждом случае, где ваша первая догадка была ошибочной: вероятность 2/3.
Это всё доказательство. Оставаясь, вы ставите на то, что ваша слепая первая догадка была верной, событие с вероятностью 1/3. Меняя, вы ставите на то, что она была ошибочной, событие с вероятностью 2/3. Других вариантов нет, и разрыв между ними велик.
Если вы предпочитаете увидеть все случаи целиком, зафиксируйте свой выбор на двери 1 и пусть автомобиль меняет положение. Автомобиль за дверью 1: ведущий открывает дверь 2 или 3, сохранение выигрывает, смена проигрывает. Автомобиль за дверью 2: ведущий вынужден открыть дверь 3, сохранение проигрывает, смена выигрывает. Автомобиль за дверью 3: ведущий вынужден открыть дверь 2, сохранение проигрывает, смена выигрывает. Три равновероятных мира, и смена выигрывает в двух из них. Подсчёт и есть доказательство.
Откуда берётся дополнительная вероятность
Инстинкт 50/50 идёт от эвристики, которая обычно служит хорошо: два неизвестных, нет причин предпочесть одно, значит делим вероятность поровну. Правило хорошее. Ошибка в том, чтобы считать две закрытые двери симметричными. Они не симметричны, потому что у них очень разные истории.
Вашу дверь выбрали вы, вслепую, до того как что-либо открылось. Ничто из происходившего дальше вашей двери не касалось: ведущему не разрешалось её трогать, прячет она автомобиль или нет. Значит, никакой информации о вашей двери так и не появилось, и её вероятность остаётся там, где начала, на 1/3.
Другая закрытая дверь кое-что пережила. Ведущий посмотрел на две двери, которые вы не выбрали, хотя бы за одной из которых была коза, и сознательно убрал из этой пары козу. Дверь, которую он оставил закрытой, это либо случайный остаток (в мире с вероятностью 1/3, где ваш выбор был верным), либо сам автомобиль (в мире с вероятностью 2/3, где выбор был ошибочным). Его ход был ограничен правдой, а ограничение выдаёт информацию. Вся вероятность 2/3, с которой стартовала пара, стягивается на её единственную уцелевшую дверь.
Версия со 100 дверями для неубеждённых
Если аргумент с тремя дверями всё ещё кажется скользким, увеличьте масштаб. Те же правила, 100 дверей, один автомобиль, 99 коз. Вы выбираете дверь 1. Ведущий, который знает, где автомобиль, открывает 98 оставшихся дверей, за каждой коза, и оставляет закрытой ровно одну другую дверь. Остаться или поменять?
Ваш первый выбор был верным 1 раз из 100. В остальных 99 случаях автомобиль где-то среди невыбранных дверей, и 98 открытий ведущего были вынуждены обходить его: он открыл всё, кроме автомобиля. Единственная дверь, которую он оставил закрытой, не случайный уцелевший. Это место, где автомобиль обязан находиться, в 99 случаях из 100.
В игре со 100 дверями не остаётся никто. Но игра с тремя дверями это та же игра. Открытия ведущего точно так же были вынуждены обходить автомобиль, просто наблюдать пришлось меньше. Если при 100 дверях смена очевидно верна, бремя доказательства лежит на том, кто утверждает, что три двери устроены иначе, а подсчёт случаев выше показывает: ничего иного там нет.
Мелкий шрифт, который делает ответ честным
Вот часть, которую популярные пересказы обычно опускают, и именно она отличает знание ответа от его понимания. Результат 2/3 зависит от поведения ведущего, а не только от того, что вы увидели.
Стандартные правила предполагают, что ведущий всегда открывает дверь, всегда показывает козу и всегда предлагает смену. Измените эти правила, и ответ изменится. Классический вариант иногда называют Monty Fall: ведущий спотыкается, открывает одну из двух невыбранных дверей совершенно случайно, и за ней просто оказывается коза. Те же двери, та же коза, та же картинка на экране. Но теперь смена выигрывает лишь в 1/2 случаев.
Откуда разница? В стандартной игре ведущий показывает козу в каждом мире, поэтому само открытие ничего не говорит о том, был ли ваш выбор верным, и ваша дверь остаётся на 1/3. В Monty Fall случайный ведущий иногда по неосторожности открывает автомобиль. Увиденная коза теперь сама по себе свидетельство, причём свидетельство в пользу вашего исходного выбора, потому что миры, где ваш выбор был верным, никогда не могли показать открытый автомобиль. Просчитайте варианты, и две закрытые двери действительно оказываются на 1/2 каждая.
Попробуйте сами, каждому стоит хотя бы раз
У парадокса Монти Холла есть одно большое достоинство: его дёшево проверить. Возьмите три стаканчика и монету и позовите друга на роль ведущего, или напишите симуляцию в несколько строк кода, или разыграйте на бумаге, размещая автомобиль броском кубика. Сыграйте тридцать раундов, всегда оставаясь, затем тридцать раундов, всегда меняя.
Результат убеждает странным образом, каким не убеждают аргументы. Остающиеся сходятся к выигрышу примерно в трети случаев, меняющие примерно в двух третях, и после достаточного числа раундов картина перестаёт ощущаться парадоксом и начинает ощущаться очевидным следствием шага 1 выше: ваш первый слепой выбор обычно ошибочен, а смена обналичивает именно это. Средние по многим испытаниям это к тому же то место, где вероятностные утверждения вообще обретают смысл, и об этом подробнее в статье понимание статистики интуитивно.
Исторически спор так и был решён. После бури вокруг вос Савант классы по всей стране провели эксперимент, а симуляции подтвердили 2/3 с любой точностью, какую только хотели проверить. Многие из математиков, писавших гневные письма, написали вторые, куда более смущённые.
Дзен этого
Парадокс Монти Холла живёт так долго, потому что это идеальная миниатюра того, как на самом деле работает вероятность и как на самом деле ошибается человеческая интуиция. Инстинкт, который он побеждает, симметричное незнание о двух закрытых дверях, хороший инстинкт. Он просто не выдерживает столкновения с асимметричной историей, а головоломка прячет асимметрию на самом виду: одну дверь защитил ваш выбор, другую отобрал тот, кто знал ответ.
Обратите внимание, что развеяло путаницу. Не формула и не авторитет. Подсчёт. Три равновероятных мира, честный учёт того, что происходит в каждом, и готовность доверять подсчёту больше, чем ощущению. Этот ход, перечислить возможности и посчитать их, и есть почти вся теория вероятностей, и ему можно научиться.
В следующий раз, когда два варианта покажутся очевидными 50/50, стоит задать вопрос Монти Холла: пришли ли эти две возможности сюда одинаковым путём? Иногда да, и подбрасывание монеты честное. А иногда одну из них оставил стоять процесс, который что-то знал, и тогда шансы тихо, но решительно перекошены.
Двери не помнят. Процедура помнит.
Частые вопросы
- Что такое парадокс Монти Холла?
- Это вероятностная головоломка по мотивам телешоу Let's Make a Deal. За одной из трёх дверей спрятан автомобиль, за двумя другими козы. Вы выбираете дверь, ведущий, который знает, где автомобиль, открывает другую дверь и показывает козу, а затем предлагает поменять выбор на оставшуюся закрытую дверь. Вопрос в том, помогает ли смена. Помогает: смена приносит автомобиль в 2/3 случаев, сохранение выбора лишь в 1/3.
- Почему менять дверь лучше, если осталось всего две двери?
- Потому что две оставшиеся двери получили свои вероятности по-разному. Ваша первоначальная дверь была выбрана до появления какой-либо информации, поэтому она сохраняет исходный шанс 1/3. Ведущий, открывая дверь, сознательно избегал автомобиля, и это переносит остальные 2/3 вероятности на ту закрытую дверь, которую он решил не открывать. Две оставшиеся двери не означают две равновероятные двери.
- Важно ли, что ведущий знает, где стоит автомобиль?
- Это решает всё. Ответ 2/3 держится на том, что ведущий всегда открывает дверь, за которой, как он знает, стоит коза. Если ведущий открывает случайную невыбранную дверь и за ней просто случайно оказывается коза, расчёт меняется, и смена выигрывает лишь в 1/2 случаев. Именно знание ведущего накачивает дополнительную вероятность в пользу смены, поэтому любая версия головоломки без этого правила имеет другой ответ.
- Что такое версия парадокса Монти Холла со 100 дверями?
- Представьте 100 дверей и один автомобиль. Вы выбираете дверь, а ведущий, зная, где автомобиль, открывает 98 остальных дверей, за всеми козы, и оставляет закрытыми вашу дверь и ещё одну. Ваш первый выбор был верным 1 раз из 100, значит автомобиль стоит за другой закрытой дверью в 99 случаях из 100. В таком масштабе смена очевидно правильна, а игра с тремя дверями это та же ситуация с меньшими числами.
- Проверяли ли ответ парадокса Монти Холла на практике?
- Много раз. Когда Мэрилин вос Савант опубликовала ответ 2/3 в журнале Parade в 1990 году, тысячи читателей, включая математиков со степенями PhD, писали ей и настаивали, что ответ 1/2. Компьютерные симуляции, эксперименты в классах с картами и стаканчиками и прямой подсчёт случаев подтверждают один и тот же результат: на длинной серии игр те, кто меняет дверь, выигрывают примерно вдвое чаще тех, кто остаётся.
Понравилось разбираться?
Math Zen превращает такую интуицию в ежедневную практику: адаптивные задачи по 24 темам математики.
