Гаокао

1. Между первым и десятым членами девять прибавлений.

   $$a_{10}=3+9\cdot2=21$$

2. Сложите первый и последний члены. Их полусумма равна среднему всех десяти членов.

   $$\frac{a_1+a_{10}}{2}=\frac{3+21}{2}=12$$

3. Умножьте это среднее на число членов.

   $$S_{10}=10\cdot12=120$$

Частая ошибка: Не делайте десять прибавлений при поиске десятого члена. Первый член уже учтен.

1. Скалярное произведение ненулевых перпендикулярных векторов равно нулю.

   $$\mathbf a\cdot\mathbf b=0$$

2. Перемножьте соответствующие координаты и сложите результаты.

   $$2x+3(-2)=0$$

3. Решите полученное линейное уравнение.

   $$2x=6\quad\Rightarrow\quad x=3$$

Частая ошибка: Скалярное произведение является одним числом. Не перемножайте координаты по диагонали.

1. Примените правило умножения с данной условной вероятностью.

   $$P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)$$

2. Подставьте две дроби.

   $$P(A\cap B)=\frac34\cdot\frac23$$

3. Сократите результат. Предполагать независимость событий не нужно.

   $$P(A\cap B)=\frac{6}{12}=\frac12$$

Частая ошибка: Не заменяйте P(B при условии A) на P(B). Эти вероятности не обязаны быть равны.

1. Сравните уравнение со стандартным видом и найдите параметр p.

   $$y^2=2px\quad\Rightarrow\quad p=4$$

2. Абсцисса фокуса равна p/2, а директриса задается вертикальной прямой x = -p/2.

   $$F=(2,0),\qquad x=-2$$

3. Вычтите одну горизонтальную координату из другой, чтобы получить расстояние.

   $$d=\lvert 2-(-2)\rvert=4$$

Частая ошибка: Расстояние от вершины до фокуса равно 2. Требуется полное расстояние от фокуса до директрисы.

1. Найдите производную и разложите ее на множители.

   $$\begin{aligned}f'(x)&=3x^2-3\\&=3(x-1)(x+1)\end{aligned}$$

2. Производная положительна, когда оба множителя имеют одинаковый знак.

   $$x<-1\quad\lor\quad x>1$$

3. Запишите два интервала отдельно. Между критическими точками производная отрицательна.

   $$(-\infty,-1),\quad(1,\infty)$$

Частая ошибка: Положительная производная означает возрастание функции, а не положительное значение самой функции.

1. Найдите производную по правилу произведения.

   $$f'(x)=e^{-x}(1-x)$$

2. Экспоненциальный множитель всегда положителен. При x = 1 производная меняет знак с плюса на минус.

   $$f'(x)\begin{cases}>0&x<1\\=0&x=1\\<0&x>1\end{cases}$$

3. До 1 функция возрастает, после 1 убывает. Подставьте 1 и найдите максимум.

   $$\max_{x\in\mathbb R} f(x)=f(1)=\frac1e$$

Частая ошибка: Максимум достигается при x = 1, но максимальное значение функции равно 1/e.