Неявное дифференцирование: примеры и проверка касательных

Уравнение $x^2+y^2=25$ задаёт окружность. Оно не выражает $y$ одной формулой через $x$: на верхней и нижней полуокружностях одному значению $x$ обычно соответствуют два разных значения $y$. Тем не менее наклон можно найти в заданной точке любой из них. При неявном дифференцировании мы дифференцируем само уравнение, считая $y$ локальной функцией от $x$. Ниже мы подробно разберём вычисления, проверим принадлежность каждой точки исходной кривой и увидим, где перестаёт работать привычная формула наклона.

Если сначала нужно вспомнить, что означает наклон, прочитайте объяснение производной. Примеры применения цепного правила показывают, почему при дифференцировании выражения с $y$ появляется дополнительный множитель. Здесь мы применим эти правила к уравнениям с обеими переменными.

Что меняется, если y не выражен явно?

Для явно заданной функции $y=x^2+1$ производная равна $dy/dx=2x$. В уравнении $x^2+y^2=25$ при движении точки по кривой меняются обе координаты. Там, где кривую локально можно записать как $y(x)$, выражение $y^2$ означает $(y(x))^2$. По цепному правилу,

$$\frac{d}{dx}(y^2)=2y\frac{dy}{dx}.$$

Множитель $dy/dx$ легко забыть. Но это не условность обозначения: квадрат меняется вслед за своим аргументом $y$, а $y$ меняется вслед за $x$. Точно так же $d(y^3)/dx=3y^2(dy/dx)$ и $d(\sin y)/dx=\cos y(dy/dx)$. Для смешанного члена $xy$ нужно ещё и правило произведения: $d(xy)/dx=y+x(dy/dx)$. Пол Гарретт в Math Insight показывает сочетание этих правил на другом уравнении.

Во всех примерах порядок действий один:

1. Проверьте, удовлетворяет ли заданная точка исходному уравнению. В точке вне кривой говорить о её касательной бессмысленно.
2. Продифференцируйте каждый член по $x$. Если дифференцируемый член зависит от $y$, добавьте множитель $dy/dx$.
3. Соберите члены с $dy/dx$, вынесите этот множитель и делите только тогда, когда оставшийся коэффициент не равен нулю.
4. Подставьте координаты точки и сопоставьте наклон с локальной формой кривой, явной ветвью или уравнением касательной.

Не подставляйте координаты до дифференцирования. Так переменные превратятся в константы и исчезнет именно то изменение, которое требуется найти. Сохраняйте и уравнение до деления: оно помогает обнаружить вертикальную касательную там, где знаменатель итоговой дроби обращается в нуль.

Пример 1: окружность и невертикальная касательная

Найдём наклон окружности $x^2+y^2=25$ в точке $(3,4)$. Сначала проверка точки: $3^2+4^2=9+16=25$. Она действительно лежит на окружности. Дифференцируем обе части, считая $y$ функцией $y(x)$:

$$2x+2y\frac{dy}{dx}=0.$$

Переносим $2x$ вправо и делим на $2y$, если $y\ne0$:

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y},\qquad y\ne0.$$

В точке $(3,4)$ наклон равен $-3/4$. Уравнение проходящей через неё касательной: $y-4=-(3/4)(x-3)$. Если немного сдвинуться вправо по верхней полуокружности, высота убывает, поэтому отрицательный знак ожидаем. Есть и независимая проверка: верхняя ветвь имеет вид $y=\sqrt{25-x^2}$ при $-5<x<5$, а её производная равна $-x/\sqrt{25-x^2}$. При $x=3$ она тоже даёт $-3/4$. На нижней ветви при том же $x$ другое значение $y$ и другой наклон.

Проверка ветви важна: уравнение окружности не задаёт единую глобальную функцию $y(x)$. Неявное дифференцирование даёт наклон локальной ветви, проходящей через указанную точку. Координату $y$ нельзя выбрасывать, когда одному $x$ соответствуют несколько точек кривой.

Одна кривая, два вида касательных

Теперь возьмём на той же окружности точку $(5,0)$. Она лежит на кривой, поскольку $5^2+0^2=25$. Подстановка в $-x/y$ потребовала бы деления на нуль. Неверно ни сообщать численный наклон, ни утверждать, что касательной вообще нет. Вернёмся к уравнению до деления:

$$2x+2y\frac{dy}{dx}=0.$$

В точке $(5,0)$ конечная производная должна была бы удовлетворять равенству $10+0(dy/dx)=0$. Такого конечного числа нет. Геометрически окружность достигает крайней правой точки и поворачивает обратно. Её касательная здесь есть вертикальная прямая $x=5$, а $dy/dx$ не определена. Сама кривая остаётся гладкой; просто возле этой точки её нельзя представить как дифференцируемую функцию $x$.

Можно проверить и с другой стороны. Считайте $x$ локальной функцией от $y$: $2x(dx/dy)+2y=0$, поэтому $dx/dy=-y/x$ при $x\ne0$. В точке $(5,0)$ имеем $dx/dy=0$. При небольшом изменении $y$ координата $x$ меняется только в более высоком порядке. Так выглядит вертикальная касательная. В точке $(0,5)$ роли меняются: $dy/dx=0$, и касательная горизонтальна. Эти выводы описывают геометрию, но не разрешают делить на нуль ни в одной формуле.

Пример 2: произведение и три слагаемых

Найдём $dy/dx$ для $x^2+xy+y^2=7$ в точке $(1,2)$. Проверка даёт $1+2+4=7$. Дифференцируем по членам. Из $x^2$ получается $2x$, из произведения $xy$ получается $y+x(dy/dx)$, из $y^2$ получается $2y(dy/dx)$:

$$2x+y+x\frac{dy}{dx}+2y\frac{dy}{dx}=0.$$

Соберём члены с производной и вынесем её:

$$(x+2y)\frac{dy}{dx}=-(2x+y),\qquad \frac{dy}{dx}=-\frac{2x+y}{x+2y}\quad\text{при }x+2y\ne0.$$

В точке $(1,2)$ числитель равен $4$, знаменатель $5$, значит, наклон $-4/5$. Касательная имеет вид $y-2=-(4/5)(x-1)$. Подставим ответ непосредственно в продифференцированное уравнение до деления: $2(1)+2+1(-4/5)+2(2)(-4/5)=4-4=0$. Такая проверка испытывает и вклад правила произведения, и итоговую дробь. Если бы $xy$ ошибочно продифференцировали только как $x(dy/dx)$, исчез бы отдельный член $y$ и наклон получился бы неверным.

Условие $x+2y\ne0$ входит в ответ, даже если в заданной точке оно выполнено. Если знаменатель обращается в нуль в другой точке кривой, там нужно отдельно изучить уравнение до деления, как мы сделали для окружности. Одна символическая дробь не отвечает на все вопросы о касательных.

Пример 3: кубическое уравнение

Рассмотрим $y^3+xy=2$ в точке $(1,1)$. Проверка: $1^3+1\cdot1=2$. При дифференцировании применяем цепное правило к кубу, а правило произведения к $xy$:

$$3y^2\frac{dy}{dx}+y+x\frac{dy}{dx}=0.$$

После вынесения множителя получаем

$$(3y^2+x)\frac{dy}{dx}=-y,\qquad \frac{dy}{dx}=-\frac{y}{3y^2+x}\quad\text{если }3y^2+x\ne0.$$

В точке $(1,1)$ это $-1/4$, поэтому касательная: $y-1=-(1/4)(x-1)$. Подставьте ответ обратно в продифференцированное уравнение: $3(-1/4)+1+(-1/4)=0$. Такая короткая проверка остатка обнаруживает пропущенную тройку или ошибку знака. Сама по себе она не доказывает всю выкладку, но служит полезным заключительным фильтром.

Разбор ошибки: забытый множитель цепного правила

Предположим, кто-то продифференцировал $x^2+y^2=25$ и записал $2x+2y=0$. Это не уравнение для наклона касательной. Оно обращается с $y$ так, словно $dy/dx=1$, хотя именно окружность определяет, как $y$ реагирует на $x$. При $(3,4)$ вышло бы $6+8=0$, явное противоречие. Правильная производная $2x+2y(dy/dx)=0$ вместо этого даёт $6+8(-3/4)=0$.

Вторая ловушка: поделить и забыть ограничение. Формула $-x/y$ справедлива при $y\ne0$; она не стирает крайние точки $(\pm5,0)$. Держите рядом исходное уравнение, проверку точки и уравнение для производной до деления. По этим трём записям можно понять, что происходит там, где дробь не определена.

Если величины меняются со временем, а не с $x$, та же идея используется в задачах на связанные скорости: берите соответствующие производные по времени и следите за единицами измерения. Необходимые правила можно потренировать в теме производных Math Zen. Для самопроверки решите пример 2 в другой подходящей точке. Сначала обязательно проверьте, лежит ли она на кривой.

Частые вопросы

Почему при дифференцировании $y$ нужен множитель $dy/dx$? Потому что на локальной ветви $y$ меняется вместе с $x$. По цепному правилу производная по $y$ умножается на $dy/dx$. Например, $d(y^3)/dx=3y^2(dy/dx)$.

Можно ли сначала выразить $y$? Да, если это удобно и правильно выбраны ветвь и область определения. Для верхней полуокружности получится тот же наклон при $(3,4)$. Но явное выражение может быть сложным или дать несколько ветвей; поэтому полезно уметь дифференцировать само уравнение.

Всегда ли неопределённая $dy/dx$ означает вертикальную касательную? Нет. Если дробь не определена, изучите исходную кривую и уравнение до деления. Для $(5,0)$ на этой окружности геометрия и $dx/dy=0$ подтверждают вертикальную касательную. Особые точки других кривых могут вести себя иначе.

Какая проверка после решения самая быстрая? Убедитесь, что точка лежит на исходной кривой, подставьте наклон в уравнение до деления и проверьте каждый знаменатель, на который делили при выделении $dy/dx$. Три проверки ловят разные ошибки.