Задачи на связанные скорости: лестница, конус и тень

Десятифутовая лестница скользит по стене: её нижний конец удаляется от стены, а верхний опускается. Известны длина лестницы и скорость нижнего конца. Чтобы найти скорость верхнего, одного чертежа и теоремы Пифагора недостаточно: нужно продифференцировать геометрическое уравнение по времени. Оба расстояния меняются, хотя сама лестница сохраняет длину.

Это задача на связанные скорости. В трёх геометрических ситуациях ниже используется одна запись из пяти пунктов: переменные, постоянное соотношение, известная скорость и момент, искомая производная, проверка знака и единиц. Такой порядок помогает не подставить числа слишком рано и не спутать две скорости на одной схеме. Метод изложен в OpenStax Calculus, том 1, §4.1; числа и проверки здесь подобраны отдельно. Если само понятие производной ещё не знакомо, начните с введения в производные.

Сначала опишите меняющиеся величины

Выберите переменную времени $t$ и обозначьте каждую меняющуюся длину функцией от времени, например $x(t)$ и $y(t)$. Укажите положительные направления на чертеже. Если нижний конец удаляется от стены со скоростью $2\text{ ft/s}$, а $x$ означает расстояние до стены, то $dx/dt=+2\text{ ft/s}$. Для уменьшающейся высоты $dy/dt$ будет отрицательной. Если в вопросе сказано «с какой скоростью опускается», положительная величина этой скорости равна $|dy/dt|$.

Запишите соотношение, верное во время движения, и дифференцируйте его по $t$, пока меняющиеся величины остаются переменными. Здесь действует правило цепочки: $d[x(t)^2]/dt=2x\,dx/dt$. Только после дифференцирования подставьте размеры для нужного момента и известные скорости. Затем проверьте смысл знака и размерность. Производная длины имеет единицы длины за время; производная объёма: объём за время.

Пункт записи	Что нужно выяснить
Переменные	Что меняется и какое направление положительно?
Соотношение	Какое уравнение связывает величины в каждый подходящий момент?
Данные момента	Какие длины и скорости со знаком известны сейчас?
Искомая скорость	Какую производную нужно выделить?
Проверка	Разумны ли знак и единицы?

Лист задач по математическому анализу Корнелла применяет тот же общий подход к разным геометрическим ситуациям. Таблица выше делает интерпретацию явной, вместо того чтобы сразу показывать лишь уравнение с производными.

Пример 1: скользящая лестница

Переменные. Пусть $x(t)$: расстояние нижнего конца от стены, $y(t)$: высота верхнего конца. Обе длины измеряются в футах; рост каждой считаем положительным. Жёсткая лестница имеет длину $10\text{ ft}$. В нужный момент $x=6\text{ ft}$ и $dx/dt=+2\text{ ft/s}$. Найдите $dy/dt$.

Соотношение. Прямоугольный треугольник даёт $x^2+y^2=100$. При $x=6$ положительная высота равна $y=\sqrt{100-36}=8\text{ ft}$. Но не подставляйте $x=6$ в уравнение до дифференцирования: расстояние менялось и до, и после указанного момента.

Дифференцирование и подстановка. Правая часть постоянна:

$$2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=0, \qquad \frac{dy}{dt}=-\frac{x}{y}\frac{dx}{dt}.$$

Подстановка даёт $dy/dt=-(6/8)(2)=-1.5\text{ ft/s}$. Ответ и проверка. Вертикальная скорость со знаком отрицательна: высота падает. Скорость опускания как положительная величина равна $1.5\text{ ft/s}$. Отношение $x/y$ безразмерно, поэтому произведение с $2\text{ ft/s}$ имеет нужные единицы. Положительный результат для $dy/dt$ при выбранных направлениях означал бы ошибку в знаке.

Когда лестница приближается к полу, $y$ становится малым и модуль скорости по идеализированной формуле растёт. Это свойство математической модели жёсткой лестницы при заданной горизонтальной скорости, а не утверждение о реальном движении до самого конца. Ответ относится только к указанному моменту.

Пример 2: вода заполняет конус

Конический резервуар направлен вершиной вниз. Его полная высота $12\text{ cm}$, верхний радиус $4\text{ cm}$. Вода поступает со скоростью $dV/dt=+6\pi\text{ cm}^3/\text{s}$. Как быстро поднимается уровень при глубине воды $h=6\text{ cm}$?

Переменные. $h(t)$: глубина воды; $r(t)$: радиус её поверхности. Меняются и обе эти длины, и объём $V(t)$. Соотношения. Из подобия треугольников $r/h=4/12=1/3$, то есть $r=h/3$. Объём заполненной части $V=(\pi/3)r^2h$. Подставляем зависимость между переменными: $V=(\pi/27)h^3$. Это не замена переменной $h$ её численным значением в выбранный момент.

Дифференцирование и подстановка. По правилу цепочки:

$$\frac{dV}{dt}=\frac{\pi}{9}h^2\frac{dh}{dt}.$$

При $h=6\text{ cm}$ получаем $6\pi=(\pi/9)(36)\,dh/dt=4\pi\,dh/dt$. Следовательно, $dh/dt=1.5\text{ cm/s}$.

Ответ и проверка. Положительный знак соответствует растущему уровню. Коэффициент $(\pi/9)h^2$ измеряется в квадратных сантиметрах; деление поступления в кубических сантиметрах в секунду оставляет сантиметры в секунду. В этот момент $r=2\text{ cm}$, что согласуется с подобием. Если подставить постоянный радиус резервуара $4$ вместо текущего радиуса воды $2$, получится неверная скорость.

Можно пойти другим путём: дифференцировать $V=(\pi/3)r^2h$ с обеими производными $dr/dt$ и $dh/dt$, затем использовать $dr/dt=(1/3)dh/dt$. Результат будет тем же. Замена $r$ на $h/3$ до дифференцирования короче, потому что уже сводит задачу к одной меняющейся длине.

Пример 3: пешеход и движущаяся тень

Лампа находится на высоте $6\text{ m}$ над ровной землёй. Человек ростом $2\text{ m}$ идёт прямо от основания лампы со скоростью $dx/dt=+1.5\text{ m/s}$. Пусть $x(t)$: расстояние до человека, $s(t)$: длина его тени. Найдите скорость изменения длины тени и скорость её конца.

Переменные. Положительное направление: от лампы. Конец тени находится на расстоянии $x+s$ от лампы. Это две разные длины, поэтому $ds/dt$ и $d(x+s)/dt$: два разных ответа. Соотношение. Подобные треугольники сравнивают высоту лампы с расстоянием до конца тени, а рост человека с длиной тени:

$$\frac{6}{x+s}=\frac{2}{s}.$$

После перемножения $6s=2x+2s$ и $s=x/2$. Соотношение верно, пока действует идеализированная геометрия прямой линии. Дифференцирование: $ds/dt=(1/2)dx/dt=0.75\text{ m/s}$. Так быстро растёт длина тени.

Скорость конца и проверка. Координата конца $p=x+s=3x/2$, поэтому $dp/dt=dx/dt+ds/dt=1.5+0.75=2.25\text{ m/s}$. Конец тени движется быстрее человека; его скорость не равна одной лишь скорости роста длины тени. Обе производные положительны и измеряются в метрах в секунду. Если человек остановится, $dx/dt=0$ и обе производные станут нулевыми: простая проверка предельного случая.

Примените результат и проверьте постановку

Лестница, конус и тень связаны одной идеей: соотношение должно быть верным в течение движения, а числа из условия, относящиеся к моменту, подставляются после дифференцирования. Но смысл ответа различается. Для лестницы высота убывает; для конуса глубина растёт из заданного изменения объёма; у тени есть две разные положительные скорости. Пять пунктов записи помогают увидеть различие, не заучивая три отдельных приёма.

Для самопроверки измените одну заданную скорость, не меняя геометрию. Если при том же положении $x=6\text{ ft}$ нижний конец лестницы удаляется со скоростью $1\text{ ft/s}$, скорость верхнего станет $-0.75\text{ ft/s}$. Если поступление воды в конус при той же глубине удвоится, $dh/dt$ тоже удвоится. Такие пропорциональные проверки обнаруживают арифметические ошибки, но не заменяют вывода геометрического соотношения. В Math Zen можно отдельно отрабатывать необходимые правила дифференцирования; подготовка к AP Calculus показывает их место среди применений производной.

Перед окончательным ответом перечитайте, о какой именно величине спрашивают: нижний конец, верхний конец, уровень воды, длина тени или её конец. Подпишите это слово рядом с производной. Верно вычисленная скорость не той величины остаётся неверным ответом. Затем сопоставьте знак с выбранным положительным направлением и сократите единицы измерения. Часто именно эти две короткие проверки выявляют правдоподобную на вид ошибку.