Gaokao (matemática)

1. Há nove aumentos entre o primeiro e o décimo termo.

   $$a_{10}=3+9\cdot2=21$$

2. Agrupe o primeiro e o último termo. A média deles é a média dos dez termos.

   $$\frac{a_1+a_{10}}{2}=\frac{3+21}{2}=12$$

3. Multiplique essa média pelo número de termos.

   $$S_{10}=10\cdot12=120$$

Erro comum: Não conte dez aumentos para encontrar o décimo termo. O primeiro termo já foi contado.

1. O produto escalar de vetores não nulos perpendiculares é zero.

   $$\mathbf a\cdot\mathbf b=0$$

2. Multiplique as coordenadas correspondentes e some os produtos.

   $$2x+3(-2)=0$$

3. Resolva a equação linear resultante.

   $$2x=6\quad\Rightarrow\quad x=3$$

Erro comum: O produto escalar é um único número. Não multiplique as coordenadas na diagonal.

1. Use a regra do produto com a probabilidade condicional dada.

   $$P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)$$

2. Substitua pelas duas frações.

   $$P(A\cap B)=\frac34\cdot\frac23$$

3. Simplifique o resultado. Não é preciso supor que os eventos sejam independentes.

   $$P(A\cap B)=\frac{6}{12}=\frac12$$

Erro comum: Não substitua P(B dado A) por P(B). Essas probabilidades não precisam ser iguais.

1. Compare a equação com a forma padrão para identificar o parâmetro p.

   $$y^2=2px\quad\Rightarrow\quad p=4$$

2. A coordenada x do foco é p/2, e a diretriz é a reta vertical x = -p/2.

   $$F=(2,0),\qquad x=-2$$

3. Subtraia as duas coordenadas horizontais para obter a distância.

   $$d=\lvert 2-(-2)\rvert=4$$

Erro comum: A distância do vértice ao foco é 2. A questão pede a distância completa do foco até a diretriz.

1. Calcule a derivada e fatore o resultado.

   $$\begin{aligned}f'(x)&=3x^2-3\\&=3(x-1)(x+1)\end{aligned}$$

2. A derivada é positiva quando os dois fatores têm o mesmo sinal.

   $$x<-1\quad\lor\quad x>1$$

3. Escreva os dois intervalos separadamente. A derivada é negativa entre os pontos críticos.

   $$(-\infty,-1),\quad(1,\infty)$$

Erro comum: Uma derivada positiva indica que a função cresce, não que o valor da função seja positivo.

1. Calcule a derivada usando a regra do produto.

   $$f'(x)=e^{-x}(1-x)$$

2. O fator exponencial é sempre positivo. A derivada muda de positiva para negativa em x = 1.

   $$f'(x)\begin{cases}>0&x<1\\=0&x=1\\<0&x>1\end{cases}$$

3. A função cresce antes de 1 e decresce depois de 1. Substitua 1 para obter o valor máximo.

   $$\max_{x\in\mathbb R} f(x)=f(1)=\frac1e$$

Erro comum: O valor de x no máximo é 1, mas o valor máximo da função é 1/e.