O que é uma equação paramétrica em termos simples?

Uma equação paramétrica descreve uma curva dizendo onde um ponto está em cada valor de uma terceira variável, em geral escrita t. Em vez de uma regra só y = f(x), você ganha um par: x = f(t) e y = g(t). Alimente as duas funções com o mesmo t e você obtém um ponto no plano. Varra t e o ponto traça um caminho. A variável extra é um relógio, ou um ângulo, ou um controle deslizante: qualquer coisa a que as duas coordenadas possam escutar ao mesmo tempo. Um círculo, um laço e uma bola lançada são todos mais fáceis nessa língua, porque são caminhos, não gráficos de uma única altura para cada x.

Qual é a diferença entre equações paramétricas e cartesianas?

Uma equação cartesiana relaciona x e y diretamente, como em y = x² ou x² + y² = 1. É uma fotografia de um conjunto de pontos. Equações paramétricas são um filme de um ponto percorrendo esse conjunto: elas dizem a posição em cada t, para que lado o caminho é percorrido e com que rapidez. O mesmo círculo x² + y² = 1 pode ser traçado devagar ou duas vezes mais rápido, no sentido horário ou anti-horário, começando em (1, 0) ou em (0, 1). Esses filmes todos eliminam para a mesma equação cartesiana, então a fotografia não consegue distingui-los.

Como se elimina o parâmetro em equações paramétricas?

Resolva uma do par para t, ou combine as duas de modo que t se cancele, e substitua para obter uma relação entre x e y. Para x = t e y = t² você obtém y = x² na hora. Para x = cos t e y = sin t você eleva ao quadrado e soma, usando cos² t + sin² t = 1, e recupera o círculo x² + y² = 1. Eliminar o parâmetro é o gesto certo quando você só precisa da forma. É o gesto errado quando a questão é sobre velocidade, direção, uma partícula em repouso, ou que ponto você ocupa num t dado, porque esses são fatos sobre o relógio, e o relógio é o que você acabou de jogar fora.

Como se encontra dy/dx para equações paramétricas?

Derive cada coordenada em relação a t, depois divida: dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt), desde que dx/dt não seja zero. As duas taxas são quão rápido aquela coordenada muda contra o relógio; o quociente delas é quão rápido y muda por unidade de x, que é a inclinação. Isso é a regra da cadeia, não uma derivada nova, a mesma ideia que em [o post de derivadas](/blog/understanding-derivatives-intuitively). Uma tangente horizontal acontece quando dy/dt = 0 enquanto dx/dt não é; uma tangente vertical acontece quando dx/dt = 0 enquanto dy/dt não é. Se as duas se anulam, a partícula parou, e 0/0 não é uma tangente.

Para que servem as equações paramétricas?

Porque muitas curvas são percursos, não gráficos. Um círculo falha o teste da reta vertical, um projétil visita o mesmo x duas vezes, e uma animação precisa saber onde um ponto está no instante t, não só quais pontos ele ocupa em algum momento. A física escreve trajetórias assim; a computação gráfica escreve curvas de Bézier assim; o AP Calculus BC testa a inclinação como (dy/dt)/(dx/dt) e o comprimento de arco como a integral da velocidade. Coordenadas polares, em [o artigo polar](/blog/understanding-polar-coordinates-intuitively), são um sistema de endereços diferente para o mesmo plano. Equações paramétricas são uma descrição diferente do movimento através dele.

Entendendo Equações Paramétricas de Forma Intuitiva (Uma Curva com um Relógio)

Os gráficos cartesianos respondem a uma pergunta: dado x, qual é y? Boa parte da matemática escolar é essa pergunta, a ponto de parecer que uma curva é um gráfico de y contra x. Depois um curso mais adiante escreve x = cos t, y = sin t, chama o par de paramétrico e pede que você esboce o caminho. Estudantes fluentes em y = f(x) de repente não conseguem dizer onde a partícula está em t = π/2, e a fórmula da inclinação $\frac{dy}{dx}$ = ( $\frac{dy}{dt}$ )/( $\frac{dx}{dt}$ ) chega como mais uma coisa para decorar.

As duas descrições não são rivais. Um gráfico de y contra x é uma fotografia de uma curva. As equações paramétricas são um filme de um ponto percorrendo essa curva, e a variável extra t é o relógio. Quando essa é a imagem, eliminar o parâmetro é esquecer o relógio, e as fórmulas de cálculo são a regra da cadeia lendo duas taxas contra o mesmo relógio.

Um Caminho Não É um Gráfico de y Contra x

O teste da reta vertical é uma regra sobre gráficos de funções, não sobre curvas. Um círculo falha porque um mesmo x pode encontrar o círculo em duas alturas. Isso não torna o círculo ilegal. Torna o círculo algo que uma única função y = f(x) não pode ser.

Equações paramétricas são o jeito de falar desses objetos: laços, oitos, um segmento de reta percorrido de ida e volta, um projétil que sobe e desce pelo mesmo x duas vezes. Uma função é uma máquina com uma entrada e uma saída. As equações paramétricas usam duas máquinas que compartilham uma entrada. Alimente as duas com o mesmo t e você obtém um ponto (x(t), y(t)). Varra t e o ponto traça um caminho.

Esse caminho tem uma direção, porque t cresce. O gráfico de y = $x^{2}$ não sabe se você o percorreu da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda. A parametrização x = t, y = $t^{2}$ o percorre da esquerda para a direita conforme t cresce. A parametrização x = −t, y = $t^{2}$ percorre a mesma parábola no outro sentido. Mesma fotografia, dois filmes.

t É um Relógio

O exemplo cotidiano mais honesto é o movimento. Uma mosca numa janela não se descreve por uma altura para cada posição horizontal, porque ela pode pairar, dar voltas e visitar o mesmo lugar duas vezes. Descreve-se por onde ela está a cada instante. Isso é x(t) e y(t).

Você não precisa interpretar t como tempo de relógio. Pode ser um ângulo, um comprimento de arco ou um controle deslizante numa animação. O trabalho de t é ser a única entrada a que as duas coordenadas escutam. Chamá-lo de relógio é uma imagem, não uma lei.

Uma checagem numérica pequena mantém a imagem honesta. Tome x = cos t, y = sin t:

$t = 0$ cai em (1, 0), o ponto leste do círculo unitário
$t = \pi/2$ cai em (0, 1), exatamente ao norte
$t = \pi$ cai em (−1, 0), oeste
$t = 2\pi$ está de volta em (1, 0)

Este é o círculo unitário da trigonometria, agora escrito como um trajeto ao redor da borda. O mesmo conjunto de pontos que $x^{2} + y^{2} = 1$ , mais um ponto de partida e um rumo anti-horário. Coordenadas polares escrevem esse círculo ainda mais curto como r = 1, que é uma afirmação sobre a distância à origem. As equações paramétricas o escrevem como uma caminhada. Perguntas diferentes, mesma curva.

A velocidade também está no relógio. x = cos 2t, y = sin 2t percorre o mesmo círculo duas vezes mais rápido: conforme t vai de 0 a 2π você dá duas voltas. Elimine t e os dois filmes colapsam numa só fotografia. Mantenha t e a diferença é óbvia.

Eliminar o Parâmetro É Esquecer o Relógio

Se você resolve uma equação para t e substitui na outra, t desaparece e você obtém uma relação entre x e y. Para x = t, y = $t^{2}$ você obtém y = $x^{2}$ na hora. Para x = cos t, y = sin t você eleva ao quadrado e soma, usando a identidade $\cos^{2}$ t + $\sin^{2}$ t = 1, e recupera $x^{2} + y^{2} = 1$ .

Essa relação é o conjunto de pontos. Não é o filme. A equação do círculo não diz que você começou em (1, 0), não diz que foi no sentido anti-horário e não diz que deu uma volta em vez de duas. Esses são fatos sobre t, e t é o que a eliminação apaga.

Às vezes apagar é o gesto certo. Uma questão que só se importa com a forma quer a relação cartesiana. Às vezes é o gesto errado. Uma questão sobre velocidade, sobre uma partícula em repouso, sobre qual quadrante você ocupa em t = 3, ou sobre a distância percorrida ao longo do caminho, é uma questão sobre o relógio.

Você também nem sempre consegue eliminar de forma limpa. x = t − sin t, y = 1 − cos t é uma cicloide, o caminho de um ponto na borda de um círculo que rola. Não há um y = f(x) amigável. A forma paramétrica é a língua nativa, não um figurino vestido por cima de uma equação cartesiana.

Se um problema pede para "eliminar o parâmetro", quer a fotografia. Se pergunta onde a partícula está, para que lado ela aponta, quão rápido vai, ou até onde caminhou, mantenha o relógio.

Círculos, Retas e Objetos Lançados

Três famílias aparecem o tempo todo, e cada uma é um trajeto.

Uma reta por (x₀, y₀) na direção de um vetor (a, b) é x = x₀ + a t, y = y₀ + b t. Comece no ponto, depois caminhe o vetor t vezes. Essa é a imagem do trajeto com um relógio preso, e é por isso que retas paramétricas aparecem no instante em que a geometria precisa descrever movimento ao longo de uma reta, inclusive as questões de geometria espacial do Bac francês, que escrevem retas em três dimensões do mesmo jeito.

Um círculo de raio r centrado na origem é x = r cos t, y = r sin t. Centro (h, k): some essas constantes a cada coordenada. O parâmetro t é o rumo, e é por isso que essa forma e as coordenadas polares continuam compartilhando seno e cosseno. Polar é um endereço: a que distância, para que lado. Paramétrico é um horário: neste t, esteja aqui.

Um projétil, nas unidades de pés e segundos que muitos livros ainda usam, é x = (v cos θ) t, y = (v sin θ) t − 16 $t^{2}$ . O movimento horizontal é constante; o vertical sente a gravidade. Elimine t e o caminho é uma parábola. As perguntas interessantes (quando ele pousa, qual é a velocidade no topo) são perguntas sobre t, e é por isso que a forma paramétrica é a que você de fato usa para calcular.

Por Que os Elaboradores de Prova Adoram Equações Paramétricas

O AP Calculus BC trata curvas paramétricas como tópico padrão de pontuação, ao lado de polar e séries, e é por isso que o guia de AP Calculus as agrupa na camada exclusiva do BC. As questões são quase sempre os mesmos poucos gestos, e cada um fica mais curto se a imagem do relógio está no lugar.

Inclinação: $\frac{dy}{dx}$ = ( $\frac{dy}{dt}$ ) / ( $\frac{dx}{dt}$ ), desde que $\frac{dx}{dt}$ não seja zero. Isso não é uma derivada nova. As duas coordenadas mudam com t, então $\frac{dy}{dt}$ e $\frac{dx}{dt}$ são taxas comuns contra o relógio. A inclinação do caminho é quão rápido y muda por unidade de x, que é o quociente delas. É a regra da cadeia com o relógio cancelado.

Tangente horizontal: $\frac{dy}{dt}$ = 0 enquanto $\frac{dx}{dt}$ ≠ 0. A altura parou de mudar e a partícula ainda se move para o lado. Tangente vertical: $\frac{dx}{dt}$ = 0 enquanto $\frac{dy}{dt}$ ≠ 0. Os dois zero ao mesmo tempo não é uma tangente. É uma partícula que parou, e você precisa olhar t próximos para ver se o caminho tem uma cúspide ou só uma pausa.

A segunda derivada segue o mesmo padrão: $d^{2}$ y/ $dx^{2}$ = ( $\frac{d}{dt}$ de $\frac{dy}{dx}$ ) / ( $\frac{dx}{dt}$ ). Estudantes que tratam isso como uma terceira fórmula para decorar erram o denominador. É a ideia do quociente aplicada à função inclinação, que ela mesma é uma função de t.

O comprimento de arco de t = a até t = b é a integral de sqrt(( $\frac{dx}{dt}$ )² + ( $\frac{dy}{dt}$ )²) dt. Esse radical é Pitágoras no passinho (dx, dy). A velocidade é o integrando; o comprimento de arco é velocidade acumulada, e é por isso que é uma integral. Você não precisa de uma ideia geométrica nova. Precisa da fórmula da distância aplicada a um ponto em movimento.

Nada disso substitui fluência com derivadas comuns. O cálculo paramétrico não perdoa uma regra da cadeia instável. Ele a expõe, porque cada inclinação, cada ponto de repouso e cada integrando de comprimento de arco passa por $\frac{dx}{dt}$ e $\frac{dy}{dt}$ .

De Onde Vêm os Erros

Os erros paramétricos se agrupam em três lugares, e cada um é um erro de imagem.

O primeiro é tratar t como se fosse x. Esboçar x = $t^{2}$ , y = t em eixos rotulados t e y, ou substituir t = 2 em só uma coordenada. O par é um ponto no plano. Marque os dois, na ordem (x(t), y(t)), e anote alguns valores de t para a direção do percurso ficar visível. Sem essas setas a fotografia e o filme parecem iguais, e a próxima questão vai perguntar sobre o filme.

O segundo é escrever $\frac{dy}{dx}$ = ( $\frac{dy}{dt}$ )/( $\frac{dx}{dt}$ ) num t em que numerador e denominador se anulam, e então anunciar uma tangente horizontal ou vertical a partir do 0 que sobrou. Naquele instante a velocidade é o vetor zero. A tangente, se existir, tem de ser lida no caminho, não num 0/0. O exemplo padrão é x = $t^{2}$ , y = $t^{3}$ em t = 0: as duas derivadas são zero, a relação cartesiana é $y^{2} = x$ ³, e o caminho tem uma cúspide.

O terceiro é largar o intervalo de t. x = cos t, y = sin t com t de 0 a π é um semicírculo, não um círculo. x = cos t, y = sin t com t de 0 a 4π é o círculo percorrido duas vezes. A equação cartesiana é idêntica nos três casos. A questão da prova em geral não é.

Onde o Math Zen Entra

As curvas paramétricas se apoiam sobre funções, trigonometria e a regra da cadeia, e compartilham andar com vetores e coordenadas polares. Se t ainda é "mais uma letra" em vez de um relógio, inclinação e velocidade vão parecer fórmulas sem relação. Os baldes paramétricos do Math Zen assumem que esses andares já aguentam carga: o trabalho inicial é ler (x(t), y(t)) e a direção do percurso, depois $\frac{dy}{dx}$ pelas duas taxas, depois comprimento de arco, que é o par que o AP Calculus BC de fato pede.

Prática mista curta ganha de um único maratona no "capítulo paramétrico". A imagem do relógio, os pontos de repouso 0/0 e o integrando de comprimento de arco só ficam automáticos quando aparecem ao lado de derivadas y = f(x) comuns, no estilo da repetição espaçada para matemática. Na prova do BC a recompensa não é um assunto novo. É reconhecer que as questões de partícula são a derivada que você já conhece, pedida de duas funções ao mesmo tempo.

A Conclusão

Equações paramétricas são equações cartesianas com um relógio. Um gráfico de y contra x é uma fotografia de um conjunto de pontos. O par x(t), y(t) é um filme de um ponto percorrendo esse conjunto: conhece o ponto de partida, o rumo e a velocidade. Eliminar o parâmetro joga o relógio fora e guarda a fotografia, o que é útil para a forma e inútil para o movimento. A inclinação é o quociente de duas taxas comuns contra t. O comprimento de arco é Pitágoras acumulado ao longo do trajeto.

Os gráficos com os quais você cresceu continuam lá. As equações paramétricas não os substituem. Elas te dão um jeito de falar de curvas que uma única função y = f(x) não pode ser, e você recorre a elas quando a pergunta natural é onde o ponto está no instante t, não só quais pontos ele ocupa em algum momento.