Derivação implícita: exemplos resolvidos e teste das tangentes

A equação $x^2+y^2=25$ descreve uma circunferência. Ela não apresenta $y$ como uma única fórmula em função de $x$: nas metades superior e inferior, o mesmo valor de $x$ geralmente corresponde a dois valores diferentes de $y$. Mesmo assim, podemos calcular a inclinação em um ponto de qualquer uma das metades. Na derivação implícita, derivamos a relação inteira e tratamos $y$, perto do ponto escolhido, como uma função de $x$. Vamos mostrar cada passo, conferir os pontos na equação original e identificar exatamente onde a fórmula usual da inclinação deixa de funcionar.

Se você quiser revisar primeiro o significado da inclinação, leia nosso guia de derivadas. Os exemplos da regra da cadeia explicam por que aparece um fator extra ao derivar uma expressão que contém $y$. Aqui usamos essas regras em equações com as duas variáveis.

O que muda quando y não está isolado?

Para uma função explícita como $y=x^2+1$, a derivada é $dy/dx=2x$. Em uma relação como $x^2+y^2=25$, as duas coordenadas mudam enquanto um ponto percorre a curva. Onde a curva pode ser escrita localmente como $y(x)$, o termo $y^2$ significa $(y(x))^2$. Pela regra da cadeia,

$$\frac{d}{dx}(y^2)=2y\frac{dy}{dx}.$$

É fácil esquecer o fator $dy/dx$. Ele não é apenas uma convenção de escrita: o quadrado muda porque sua entrada $y$ muda, e $y$ muda com $x$. Pelo mesmo motivo, $d(y^3)/dx=3y^2(dy/dx)$ e $d(\sin y)/dx=\cos y(dy/dx)$. Um termo misto como $xy$ exige também a regra do produto: $d(xy)/dx=y+x(dy/dx)$. A explicação de Paul Garrett no Math Insight mostra essas duas regras trabalhando juntas.

O método é o mesmo em todos os exemplos:

1. Confira se o ponto pedido satisfaz a equação original. Não há inclinação daquela curva em um ponto que está fora dela.
2. Derive cada termo em relação a $x$. Acrescente $dy/dx$ sempre que o termo derivado depender de $y$.
3. Reúna os termos com $dy/dx$, coloque esse fator em evidência e divida apenas quando o outro fator for diferente de zero.
4. Substitua as coordenadas e confira a inclinação com o formato local da curva, outro ramo ou a equação da tangente.

Não substitua o ponto antes de derivar. Isso transforma coordenadas variáveis em constantes e apaga a mudança que você quer medir. Guarde também a equação antes da divisão: ela pode revelar uma tangente vertical quando a fórmula em forma de fração fica com denominador zero.

Exemplo 1: circunferência, tangente não vertical

Encontre a inclinação de $x^2+y^2=25$ em $(3,4)$. Primeiro, confira o ponto: $3^2+4^2=9+16=25$. Ele pertence à circunferência. Derive os dois lados, tratando $y$ como $y(x)$:

$$2x+2y\frac{dy}{dx}=0.$$

Passe $2x$ para o outro lado e divida por $2y$, desde que $y\ne0$:

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y},\qquad y\ne0.$$

Em $(3,4)$, a inclinação é $-3/4$. A reta tangente que passa pelo ponto é $y-4=-(3/4)(x-3)$. Ao avançar um pouco para a direita na metade superior, a altura cai, então o sinal negativo faz sentido. Podemos conferir sem depender dos passos da derivação implícita: o ramo superior é $y=\sqrt{25-x^2}$ para $-5<x<5$, cuja derivada é $-x/\sqrt{25-x^2}$. Em $x=3$, ela também dá $-3/4$. O ramo inferior tem outro $y$ e, portanto, outra inclinação para o mesmo $x$.

Essa verificação de ramos importa porque a circunferência não define uma única função global $y(x)$. A derivação implícita fornece a inclinação do ramo local que passa pelo ponto especificado. Não podemos descartar a coordenada $y$ quando vários pontos compartilham o mesmo $x$.

Uma curva, dois tipos de tangente

Agora mantenha a mesma circunferência, mas passe para $(5,0)$. Esse ponto também está na curva, pois $5^2+0^2=25$. Substituí-lo em $-x/y$ seria dividir por zero. Seria um erro anunciar uma inclinação numérica ou dizer que a curva não tem tangente. Volte à equação antes de dividir:

$$2x+2y\frac{dy}{dx}=0.$$

Em $(5,0)$, uma derivada finita teria de satisfazer $10+0(dy/dx)=0$. Nenhum valor finito satisfaz isso. Geometricamente, a circunferência chega ao ponto mais à direita e volta. Sua tangente ali é a reta vertical $x=5$, com $dy/dx$ indefinida. A curva continua lisa; ela apenas não pode ser representada localmente como uma função derivável de $x$ nesse ponto.

Há outra forma de conferir. Trate $x$ como uma função local de $y$: $2x(dx/dy)+2y=0$, então $dx/dy=-y/x$ quando $x\ne0$. Em $(5,0)$, $dx/dy=0$. Quando $y$ muda um pouco, $x$ muda apenas em ordem superior, exatamente a imagem de uma tangente vertical. Em $(0,5)$ os papéis se invertem: $dy/dx=0$ e a tangente é horizontal. Essas observações descrevem a geometria, não autorizam divisão por zero em nenhuma fórmula.

Exemplo 2: um produto e três termos

Calcule $dy/dx$ para $x^2+xy+y^2=7$ em $(1,2)$. A conferência inicial dá $1+2+4=7$. Derive termo a termo. $x^2$ produz $2x$; o produto $xy$ produz $y+x(dy/dx)$; e $y^2$ produz $2y(dy/dx)$:

$$2x+y+x\frac{dy}{dx}+2y\frac{dy}{dx}=0.$$

Reúna os termos com a derivada e coloque o fator comum em evidência:

$$(x+2y)\frac{dy}{dx}=-(2x+y),\qquad \frac{dy}{dx}=-\frac{2x+y}{x+2y}\quad\text{se }x+2y\ne0.$$

Em $(1,2)$, o numerador é $4$ e o denominador é $5$; portanto, a inclinação vale $-4/5$. A tangente é $y-2=-(4/5)(x-1)$. Substitua o resultado diretamente na equação derivada, ainda sem dividir: $2(1)+2+1(-4/5)+2(2)(-4/5)=4-4=0$. Essa conferência testa tanto a parcela da regra do produto quanto a fração final. Se você derivasse $xy$ apenas como $x(dy/dx)$, perderia o termo isolado $y$ e obteria a inclinação errada.

A condição $x+2y\ne0$ faz parte da resposta, mesmo que seja satisfeita no ponto pedido. Se o denominador desaparecer em outro ponto da curva, será preciso estudar a equação não dividida separadamente, como fizemos com a circunferência. Uma única fração simbólica não responde a todas as perguntas sobre tangentes.

Exemplo 3: uma relação cúbica

Considere $y^3+xy=2$ em $(1,1)$. Confira: $1^3+1\cdot1=2$. Derive usando a regra da cadeia no cubo e a regra do produto em $xy$:

$$3y^2\frac{dy}{dx}+y+x\frac{dy}{dx}=0.$$

Colocando em evidência,

$$(3y^2+x)\frac{dy}{dx}=-y,\qquad \frac{dy}{dx}=-\frac{y}{3y^2+x}\quad\text{se }3y^2+x\ne0.$$

Em $(1,1)$ o valor é $-1/4$, então a tangente é $y-1=-(1/4)(x-1)$. Substitua a resposta na equação derivada: $3(-1/4)+1+(-1/4)=0$. Esse teste rápido detecta um fator três esquecido ou um erro de sinal. Ele não demonstra sozinho a derivação inteira, mas é uma boa conferência final.

Diagnóstico de erro: faltou o fator da regra da cadeia

Imagine que alguém derive $x^2+y^2=25$ como $2x+2y=0$. Essa não é uma equação para a inclinação da tangente. Ela trata $y$ como se $dy/dx=1$, embora a circunferência determine como $y$ responde à mudança de $x$. Em $(3,4)$, isso levaria a $6+8=0$, uma contradição imediata. A derivada correta, $2x+2y(dy/dx)=0$, dá $6+8(-3/4)=0$.

Outra armadilha é dividir primeiro e esquecer a condição. A fórmula $-x/y$ vale onde $y\ne0$; ela não faz os extremos $(\pm5,0)$ desaparecerem. Mantenha juntas a relação original, a conferência do ponto e a equação derivada antes da divisão. Esse conjunto mostra o que acontece onde a fração não está definida.

Se as quantidades mudam com o tempo, em vez de $x$, a mesma ideia aparece nas taxas relacionadas: use as derivadas temporais adequadas e acompanhe as unidades. Você pode praticar as regras necessárias no tópico de derivadas do Math Zen. Como autoteste, refaça o exemplo 2 com outro ponto válido, mas confira primeiro que ele satisfaz a equação.

Perguntas frequentes

Por que toda derivada de $y$ precisa de $dy/dx$? Porque $y$ muda com $x$ ao longo do ramo local. A regra da cadeia multiplica a derivada em relação a $y$ por $dy/dx$. Por exemplo, $d(y^3)/dx=3y^2(dy/dx)$.

Posso isolar $y$ primeiro? Sim, se isso for conveniente e se você escolher o ramo e o domínio corretos. A metade superior da circunferência dá a mesma inclinação em $(3,4)$. Isolar $y$ pode ser difícil ou produzir vários ramos; por isso é útil derivar diretamente a relação.

Uma $dy/dx$ indefinida sempre indica tangente vertical? Não. Uma fração indefinida pede que você examine a curva original e a equação derivada não dividida. Em $(5,0)$ nessa circunferência, a geometria e $dx/dy=0$ confirmam a tangente vertical. Pontos singulares de outras curvas podem se comportar de modo diferente.

Qual é a conferência mais rápida depois de resolver? Verifique se o ponto pertence à curva original, substitua a inclinação na equação derivada sem dividir e confira cada denominador usado para isolar $dy/dx$. Essas três verificações encontram erros diferentes.