Taxas relacionadas: escada, cone e sombra resolvidos

Uma escada de dez pés desliza pela parede enquanto sua base se afasta. Você sabe o comprimento e a velocidade da base; quer a velocidade da ponta superior. O desenho e Pitágoras fornecem uma equação, mas a taxa exige derivá-la em relação ao tempo. As duas distâncias mudam, mesmo que o comprimento da escada seja fixo.

Seguiremos as mesmas cinco anotações em três geometrias: variáveis, relação permanente, taxa conhecida e instante, taxa pedida e conferência de sinal e unidades. Isso evita inserir números cedo demais ou confundir duas velocidades num mesmo desenho. O método está em OpenStax Calculus, volume 1, §4.1; os números aqui são originais. Para retomar o significado da derivada, leia nosso guia de derivadas.

Defina as quantidades que mudam

Escolha o tempo $t$ e represente cada comprimento variável por uma função, como $x(t)$ e $y(t)$. Marque os sentidos positivos. Se $x$ é a distância à parede e a base se afasta a $2\text{ ft/s}$, então $dx/dt=+2\text{ ft/s}$. Uma altura que diminui tem $dy/dt<0$. Se a pergunta pede a rapidez da descida, use o módulo positivo $|dy/dt|$.

Escreva uma relação geométrica ou física válida durante o movimento. Derive-a em relação a $t$ enquanto os comprimentos ainda são variáveis. Entra a regra da cadeia: $d[x(t)^2]/dt=2x\,dx/dt$. Só depois coloque as medidas do instante e as taxas conhecidas. Confira sinal e dimensão: derivada de comprimento usa comprimento por tempo; derivada de volume usa volume por tempo.

Anotação	Pergunta
Variáveis	O que muda e qual sentido é positivo?
Relação	Qual equação vale em todo instante relevante?
Dados instantâneos	Quais medidas e taxas com sinal são conhecidas agora?
Taxa pedida	Qual derivada deve ser isolada?
Conferência	Sinal e unidades fazem sentido?

Uma lista de problemas da Cornell usa a mesma ideia geral em outras geometrias. Nossa tabela mantém a interpretação à vista, não apenas a equação derivada.

Exemplo 1: a escada que desliza

Variáveis. $x(t)$ é a distância da base à parede e $y(t)$ a altura da ponta, em pés. Distância e altura crescentes são positivas. A escada rígida mede $10\text{ ft}$. No instante pedido, $x=6\text{ ft}$ e $dx/dt=+2\text{ ft/s}$. Queremos $dy/dt$.

Relação. Pelo triângulo retângulo, $x^2+y^2=100$. Quando $x=6$, a altura positiva é $y=\sqrt{100-36}=8\text{ ft}$. Mas não coloque $x=6$ na equação antes de derivar: $x$ varia antes e depois daquele instante.

Derive e substitua. Como o lado direito é constante,

$$2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=0, \qquad \frac{dy}{dt}=-\frac{x}{y}\frac{dx}{dt}.$$

Agora $dy/dt=-(6/8)(2)=-1.5\text{ ft/s}$. Resposta e conferência. A velocidade vertical com sinal é negativa porque a ponta desce. A rapidez de descida é $1.5\text{ ft/s}$. A razão $x/y$ não tem dimensão, mantendo a unidade de $dx/dt$. Se $dy/dt$ saísse positivo com esses sentidos, haveria erro de sinal.

Quando a escada chega perto do chão, $y$ fica pequeno e o módulo da fórmula idealizada aumenta. Trata-se de uma propriedade do modelo de escada rígida com velocidade horizontal imposta, não de uma afirmação sobre o movimento real até o fim. A resposta diz respeito apenas ao instante solicitado.

Exemplo 2: água enchendo um cone

Um tanque cônico tem a ponta para baixo. A altura total é $12\text{ cm}$ e o raio superior $4\text{ cm}$. A água entra a $dV/dt=+6\pi\text{ cm}^3/\text{s}$. Qual a taxa de elevação da água quando a profundidade é $h=6\text{ cm}$?

Variáveis. $h(t)$ é a profundidade e $r(t)$ o raio da superfície. Ambos variam, assim como $V(t)$. Relações. Por triângulos semelhantes, $r/h=4/12=1/3$, logo $r=h/3$. O volume do cone de água é $V=(\pi/3)r^2h$. Substitua a relação entre variáveis agora: $V=(\pi/27)h^3$. Isso não congela $h$ no valor de um instante.

Derive e substitua. Pela regra da cadeia,

$$\frac{dV}{dt}=\frac{\pi}{9}h^2\frac{dh}{dt}.$$

Em $h=6\text{ cm}$, $6\pi=(\pi/9)(36)\,dh/dt=4\pi\,dh/dt$. Portanto $dh/dt=1.5\text{ cm/s}$. Conferência. O sinal positivo combina com a superfície subindo. $(\pi/9)h^2$ tem unidade de área; dividir centímetros cúbicos por segundo por esse fator deixa centímetros por segundo. No instante, $r=2\text{ cm}$. Confundir o raio fixo do tanque $4$ com o raio atual da água $2$ daria uma taxa errada.

Outra forma é derivar $V=(\pi/3)r^2h$ incluindo $dr/dt$ e $dh/dt$, depois usar $dr/dt=(1/3)dh/dt$. O resultado coincide. Substituir $r=h/3$ antes da derivação simplifica por deixar apenas uma medida variável.

Exemplo 3: uma pessoa e sua sombra

Uma lâmpada está $6\text{ m}$ acima do chão plano. Uma pessoa de $2\text{ m}$ anda diretamente para longe da lâmpada a $dx/dt=+1.5\text{ m/s}$. $x(t)$ é a distância da pessoa e $s(t)$ o comprimento de sua sombra. Encontre a taxa de crescimento da sombra e a velocidade da ponta.

Variáveis. O sentido positivo se afasta da lâmpada. A ponta fica a $x+s$ da lâmpada. Assim $ds/dt$ e $d(x+s)/dt$ são taxas distintas. Relação. Triângulos semelhantes comparam altura da lâmpada e distância até a ponta, além de altura da pessoa e comprimento da sombra:

$$\frac{6}{x+s}=\frac{2}{s}.$$

Multiplicando, $6s=2x+2s$, então $s=x/2$. Isso vale na geometria retilínea idealizada. Derivação: $ds/dt=(1/2)dx/dt=0.75\text{ m/s}$. Essa é a taxa do comprimento da sombra.

Ponta e conferência. Sua posição é $p=x+s=3x/2$; logo $dp/dt=dx/dt+ds/dt=1.5+0.75=2.25\text{ m/s}$. A ponta anda mais rápido que a pessoa; sua velocidade não é somente a taxa de crescimento da sombra. As duas taxas são positivas e usam metros por segundo. Se a pessoa parar, $dx/dt=0$ e ambas as derivadas serão zero, uma checagem simples do caso limite.

Use o esquema e confira a pergunta

Nos três problemas, uma relação vale durante a mudança, e os números de um instante entram somente após derivar. A interpretação varia: a altura da escada diminui, a profundidade do cone cresce a partir de uma taxa volumétrica e a sombra tem duas taxas positivas. As cinco anotações deixam as diferenças claras sem decorar três truques isolados.

Para praticar, mude uma taxa sem mudar a geometria. Se a base da escada se afastar a $1\text{ ft/s}$ na mesma posição $x=6\text{ ft}$, a taxa da ponta passa a $-0.75\text{ ft/s}$. Se a entrada de água dobrar na mesma profundidade, $dh/dt$ também dobra. Essas conferências proporcionais identificam erros de conta, mas não substituem a relação geométrica. Math Zen pode ajudar a praticar as regras de derivação isoladamente; a preparação para AP Calculus situa esse tema entre outras aplicações.

Antes da resposta final, releia qual objeto foi pedido: base, ponta superior, nível de água, comprimento da sombra ou ponta da sombra. Escreva o nome ao lado da derivada. Uma taxa correta para a quantidade errada ainda não responde ao problema. Compare o sinal com o sentido positivo e reduza as unidades. Essas duas checagens rápidas revelam muitos erros aparentemente convincentes.