Het getal e van Euler: wat het is en waarom het 2,718 is

Tik "e tot de macht 1" in op een rekenmachine en hij antwoordt 2,718281828. Dat getal is het getal van Euler, geschreven als e, en het is een van de weinige constanten waar elk deelgebied van de wiskunde vroeg of laat tegenaan loopt: samengestelde rente, bevolkingsgroei, radioactief verval, kansrekening en de hele analyse.

Deze gids geeft eerst het korte antwoord en laat dan zien waar de waarde vandaan komt, twee manieren om hem uit te rekenen en waarom de analyse e als het natuurlijke grondtal voor machten beschouwt. Als machten zelf nog wankel voelen, begin dan met exponenten intuïtief begrijpen en kom daarna terug.

Het korte antwoord: wat e is en de belangrijkste waarden

De waarde van e is ongeveer 2,71828. Preciezer is het 2,718281828459045..., en de decimalen eindigen nooit en herhalen zich niet, omdat e irrationaal is (MathWorld). Het is het grondtal van de natuurlijke logaritme en van de natuurlijke exponentiële functie $e^{x}$. Je ziet het ook wel de constante van Napier genoemd, naar John Napier (Wikipedia).

De meeste zoekopdrachten over e vragen eigenlijk om een van een handvol waarden. Hier zijn ze, berekend op zes of meer significante cijfers:

Uitdrukking	Waarde	Waarom
$e^{1}$	2,718282	Elk getal tot de macht 1 blijft ongewijzigd
$e^{0}$	1	Elk getal ongelijk aan 0 tot de macht 0 is 1
$e^{-1}$	0,367879	Hetzelfde als $1/e$
$e^{2}$	7,389056	$e \times e$
$e^{1/2}$	1,648721	Hetzelfde als $\sqrt{e}$
$\ln e$	1	De natuurlijke logaritme maakt $e^{x}$ ongedaan

Dus e tot de macht 1 is gewoon e, ongeveer 2,71828. Bij de eerste macht gebeurt niets bijzonders; het bijzondere is het grondtal zelf.

Waar e vandaan komt: samengestelde rente

Jacob Bernoulli kwam dit getal in 1683 tegen toen hij continu samengestelde rente bestudeerde, en liet zien dat het tussen 2 en 3 moest liggen (MacTutor). Zijn vraag is makkelijk te stellen.

Zet 1 euro op een rekening die 100% rente per jaar uitkeert. Wordt de rente één keer aan het eind van het jaar uitgekeerd, dan heb je 2 euro. Splits nu dezelfde 100% in n kleinere uitkeringen, die elk $1/n$ van het saldo bijschrijven, en laat elke uitkering ook weer rente opbrengen over de vorige. Na één jaar heb je

$$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}$$

euro. Vaker rente bijschrijven levert meer op, maar niet onbeperkt veel:

Rentebijschrijving	n	Saldo na één jaar
Jaarlijks	1	2,000000
Halfjaarlijks	2	2,250000
Per kwartaal	4	2,441406
Maandelijks	12	2,613035
Dagelijks	365	2,714567
Elk uur	8.760	2,718127
Continu	n groeit zonder grens	2,718282 = e

Van maandelijks naar dagelijks levert ongeveer tien cent extra op. Van dagelijks naar elk uur levert minder dan een halve cent op. Het saldo kruipt naar een plafond dat het nooit overschrijdt, en dat plafond is e. Zo definieert de calculustekst van OpenStax het getal ook: als m groeit, nadert $\left(1 + 1/m\right)^{m}$ een getal, en dat getal heet e (OpenStax Calculus Volume 1, section 1.5). Voor een rentevoet r over t jaar geeft hetzelfde idee de formule voor continue groei $A = Pe^{rt}$.

Twee definities die overeenkomen, en hoe snel elk het doel bereikt

Er is een tweede weg naar hetzelfde getal. Tel 1 gedeeld door elke faculteit op:

$$e = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}$$

MathWorld noemt beide vormen als definities van e, en Euler zette ze naast elkaar in zijn Introductio in analysin infinitorum uit 1748, waarin hij e ook op 18 decimalen gaf (MacTutor). Ze leveren hetzelfde getal op, maar met heel verschillende snelheid. Hier de convergentiewedstrijd, rechtstreeks uitgerekend; het doel is 2,71828, de eerste vijf decimalen van e:

Convergentiewedstrijd: limiet tegen reeks

Limiet $\left(1 + 1/n\right)^{n}$	Waarde	Reeks, gebruikte termen	Partiële som
n = 1	2,000000	2 termen (tot 1/1!)	2,000000
n = 10	2,593742	4 termen (tot 1/3!)	2,666667
n = 100	2,704814	6 termen (tot 1/5!)	2,716667
n = 1.000	2,716924	8 termen (tot 1/7!)	2,718254
n = 100.000	2,718268	9 termen (tot 1/8!)	2,718279
n = 1.000.000	2,718280	10 termen (tot 1/9!)	2,718282

De reeks heeft 2,71828 bereikt na 10 termen. De limiet heeft een n van ongeveer 743.000 nodig voordat hij voor het eerst 2,71828 laat zien, en zelfs bij een miljoen stappen klopt de zesde decimaal nog niet. De reden zit in de grootte van de fouten. Elke nieuwe term met een faculteit is veel kleiner dan de vorige, dus de fout van de reeks wordt sneller kleiner dan elke macht. De fout van de limiet neemt ongeveer af als $e/(2n)$, dus tien keer zoveel stappen levert maar ongeveer één extra juist cijfer op.

De praktische les: de limiet verklaart waarom e bestaat (het is het plafond van samengestelde groei), en de reeks is hoe je e echt uitrekent.

Waarom de analyse e verkiest

Elke exponentiële functie $b^{x}$ met $b > 0$ is een kromme die steeds sneller stijgt (of daalt). De helling in elk punt is evenredig met de hoogte. Bij de meeste grondtallen is de evenredigheidsconstante een lastig getal: bij $2^{x}$ is de helling ongeveer 0,693 keer de hoogte, bij $3^{x}$ ongeveer 1,099 keer de hoogte.

Er is precies één grondtal waarbij die constante 1 is, zodat de helling in elk punt gelijk is aan de hoogte. Dat grondtal is e. OpenStax definieert e zo in het hoofdstuk over afgeleiden: het unieke grondtal waarvan de exponentiële functie bij $x = 0$ helling 1 heeft, waaruit

$$\frac{d}{dx}\, e^{x} = e^{x}$$

volgt (OpenStax Calculus Volume 1, section 3.9). Een functie die gelijk is aan haar eigen afgeleide maakt rekenen met groei bijna gratis: differentieer $e^{x}$ en er verandert niets, integreer het en er verandert niets. Als het idee van een afgeleide als helling nieuw is, bouwt afgeleiden vanaf nul het stap voor stap op.

De natuurlijke logaritme, geschreven als ln, is de inverse van $e^{x}$: $\ln(e^{x}) = x$ en $e^{\ln x} = x$ voor $x > 0$. De afgeleide is net zo netjes, $\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$. Daarom noemen wetenschappers grondtal e "natuurlijk": het is het grondtal dat de formules het kortst maakt. Onze gids logaritmen intuïtief begrijpen behandelt ln naast grondtal 10 en 2.

De reeks uit de vorige paragraaf is ook geen toeval. De reeks van Maclaurin van $e^{x}$ is $\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}/n!$ (OpenStax Calculus Volume 2, section 6.3); vul $x = 1$ in en je krijgt de somformule met faculteiten voor e.

Getal van Euler, constante van Euler en identiteit van Euler

De naam van Euler hangt aan zo veel resultaten dat bij het zoeken drie verschillende dingen door elkaar raken:

Naam	Symbool en waarde	Wat het is
Getal van Euler	e ≈ 2,71828	Grondtal van de natuurlijke logaritme; de limiet en de reeks hierboven
Constante van Euler (Euler-Mascheroni)	γ ≈ 0,57722	De limiet van $1 + \tfrac{1}{2} + \cdots + \tfrac{1}{n} - \ln n$ als n groeit
Identiteit van Euler	$e^{i\pi} + 1 = 0$	Een vergelijking die e, i, π, 1 en 0 verbindt

Ook wat we ervan weten verschilt. Van e is bewezen dat het irrationaal is en, door Charles Hermite in 1873, transcendent (MathWorld). Van γ is nog niet eens bekend of ze irrationaal is (MathWorld, Euler-Mascheroni constant). En de identiteit van Euler is helemaal geen getal, maar een uitspraak over e tot een imaginaire macht; onze uitleg van de identiteit van Euler laat zien waarom $e^{i\pi}$ op -1 uitkomt.

Veelgemaakte fouten met e

e als variabele behandelen. In $e^{x}$ varieert x, maar e niet. Het oplossen van $e^{x} = 5$ betekent aan beide kanten ln nemen: $x = \ln 5 \approx 1.609$.

Te vroeg afronden. Als je in $e^{3}$ 2,7 gebruikt in plaats van e, krijg je 19,683 in plaats van 20,0855. Houd de e van je rekenmachine vast tot de laatste stap.

$e^{-1}$ verwarren met $-e$. Een negatieve exponent betekent het omgekeerde: $e^{-1} = 1/e \approx 0.3679$, en dat is positief. $-e \approx -2.718$ is een ander getal.

ln en log door elkaar halen. Op de meeste rekenmachines betekent "log" grondtal 10 en "ln" grondtal e. $\ln e = 1$, maar $\log e \approx 0.4343$.

Oefenen met e

Probeer deze opgaven voordat je de antwoorden bekijkt:

1. Wat zijn zonder rekenmachine $e^{0}$, $e^{1}$ en $\ln 1$?
2. Herleid $e^{2} \cdot e^{3}$ en $\ln\left(e^{7}\right)$.
3. Los $e^{x} = 1$ op.

Antwoorden: 1, e en 0; $e^{5}$ en 7; $x = 0$.

De logaritme-oefeningen van Math Zen trainen ln en het veranderen van grondtal, en de functie-oefeningen bevatten exponentiële functies, zodat je deze regels opgave voor opgave tot gewoonte maakt.

Veelgestelde vragen

Is e een rationaal getal?

Nee. e is irrationaal en de decimalen eindigen nooit en herhalen zich niet. Hermite bewees in 1873 dat het ook transcendent is: het is geen nulpunt van een veelterm met rationale coëfficiënten, behalve de nulveelterm.

Waarom heet het e?

Leonhard Euler gebruikte de letter in 1731 in een brief aan Christian Goldbach en in 1736 in druk. Niemand weet zeker waarom hij e koos; het verhaal dat hij zijn eigen beginletter nam, wordt door historici niet onderbouwd.

Wat is e^2?

Ongeveer 7,389. Het is e met zichzelf vermenigvuldigd, $2.71828 \times 2.71828$.

Wat is e tot de macht 0?

Precies 1, zoals elk getal ongelijk aan 0 tot de macht 0.