Vergelijkingen met absolute waarde: los ze op als afstanden

De twee strepen in $|x|$ lijken vaak op alweer een instructie die je uit je hoofd moet leren. Lees ze liever als een vraag: hoe ver ligt dit getal van nul?

Vijf ligt vijf stappen van nul. Min vijf ligt ook vijf stappen van nul, alleen in de andere richting. Daarom geldt $|5| = 5$ en $|-5| = 5$. De absolute waarde bewaart de afstand en laat de richting weg.

Zodra dat beeld helder is, wordt een vergelijking met absolute waarde oplossen een zoektocht naar posities op een bepaalde afstand. De bekende twee gevallen volgen uit de getallenlijn en zijn geen truc die aan de algebra is toegevoegd.

Afstand kan nul zijn, maar niet negatief

Een absolute waarde geeft een niet-negatief resultaat. “Niet-negatief” is belangrijk: nul mag, dus zeggen dat absolute waarde een getal altijd positief maakt is net niet juist.

Voor een reëel getal $x$ luidt de definitie:

$$|x| = \begin{cases}x & x \geq 0 \\ -x & x < 0\end{cases}$$

De tweede regel zegt niet dat het antwoord negatief is. Als $x = -7$, dan is $-x = -(-7) = 7$. Het minteken keert de richting van een al negatief getal om. Onze gids over negatieve getallen legt die omkering uitgebreider uit.

Bereken eerst de uitdrukking binnen de strepen en neem daarna de absolute waarde:

$$|3 - 8| = |-5| = 5$$

Je kunt de strepen in het algemeen niet over een aftrekking verdelen. Hier is $|3| - |8| = -5$, en dat is iets anders. De strepen omvatten één volledige uitdrukking, en de waarde daarvan wordt een afstand.

Waarom er twee antwoorden verschijnen

Bekijk:

$$|x| = 6$$

Welke punten liggen zes eenheden van nul? Er zijn er twee: $x = 6$ en $x = -6$. Beide voldoen aan de vergelijking en geen van beide is juister dan de andere.

Verschuif nu het referentiepunt:

$$|x - 4| = 6$$

De uitdrukking $x - 4$ meet het verschil met teken tussen $x$ en 4. De absolute waarde ervan geeft de afstand tussen die twee punten. Begin bij 4 en ga zes eenheden naar rechts of zes eenheden naar links:

$$x = 4 + 6 = 10 \quad \text{of} \quad x = 4 - 6 = -2$$

Controleer beide rechtstreeks: $|10 - 4| = 6$ en $|-2 - 4| = 6$.

Het referentiepunt hoeft niet positief te zijn. Herschrijf in $|x + 3| = 2$ de binnenkant in gedachten als $x - (-3)$. Het midden is -3, dus de oplossingen zijn -1 en -5.

Isoleer de strepen voordat je splitst

De basisregel voor een positieve constante $c$ is:

$$|A| = c \quad \Longleftrightarrow \quad A = c \;\text{of}\; A = -c$$

Hier staat $A$ voor de volledige uitdrukking binnen de strepen. Isoleer die absolute waarde voordat je de regel gebruikt, met dezelfde bewerkingen die het evenwicht bewaren als in gewone algebra.

Los dit voorbeeld op:

$$3|2x - 1| + 4 = 25$$

Trek 4 af:

$$3|2x - 1| = 21$$

Deel door 3:

$$|2x - 1| = 7$$

Splits nu in twee vergelijkingen:

$$2x - 1 = 7 \quad \text{of} \quad 2x - 1 = -7$$

De eerste geeft $2x = 8$, dus $x = 4$. De tweede geeft $2x = -6$, dus $x = -3$.

Controle in de oorspronkelijke vergelijking geeft $3|8 - 1| + 4 = 25$ en $3|-6 - 1| + 4 = 25$. Beide kloppen.

Splits de oorspronkelijke vergelijking niet door simpelweg 25 in -25 te veranderen. De regel voor absolute waarde verandert het teken van de geïsoleerde afstand, niet het teken van elke term in de opgave. Paul's Online Math Notes benadrukt bij deze vergelijkingen eveneens dat je eerst isoleert en daarna controleert.

Controleer op geen oplossing voordat je verder rekent

Stel dat de vergelijking is:

$$2|x + 1| + 5 = 1$$

Trek 5 af en deel door 2:

$$|x + 1| = -2$$

Stop. Geen enkel reëel getal ligt op een afstand van min twee. Splitsen in $x + 1 = -2$ en $x + 1 = 2$ zou antwoorden maken bij een andere vraag.

Nul is een apart geval:

$$|3x - 9| = 0$$

De binnenkant moet nul zijn, dus $3x - 9 = 0$ en $x = 3$. Positieve nul en negatieve nul opschrijven geeft tweemaal hetzelfde antwoord.

Bij een geïsoleerde absolute waarde van een niet-constante lineaire uitdrukking geeft een positieve constante twee oplossingen, nul één oplossing en een negatieve constante geen oplossing. Pas die korte regel niet toe op elke mogelijke vergelijking met absolute waarde: de binnenkant kan kwadratisch zijn of de rechterkant kan een variabele bevatten.

Een variabele rechts vraagt om een tekencontrole

Los nu op:

$$|x - 2| = 2x + 1$$

De linkerkant kan niet negatief zijn, dus een oplossing moet voldoen aan $2x + 1 \geq 0$, oftewel $x \geq -\frac{1}{2}$.

Gebruik de twee kandidaatvergelijkingen:

$$x - 2 = 2x + 1 \quad \text{of} \quad x - 2 = -(2x + 1)$$

De eerste geeft $x = -3$. Die voldoet niet aan de tekenvoorwaarde. Controle in de oorspronkelijke vergelijking maakt het probleem zichtbaar: links staat 5 en rechts staat -5.

De tweede geeft $3x = 1$, dus $x = \frac{1}{3}$. Invullen geeft aan beide kanten $\frac{5}{3}$. Dit is de enige oplossing.

Controleren is vooral nuttig wanneer een bewerking kandidaten kan introduceren die niet aan de oorspronkelijke vergelijking voldoen. Beide kanten kwadrateren kan dat ook doen: daarmee verdwijnt het onderscheid tussen een positieve en een negatieve rechterkant.

Twee absolute waarden vergelijken twee afstanden

Een vergelijking met strepen aan beide kanten kan nog steeds eenvoudig zijn:

$$|x - 1| = |x + 5|$$

Dit vraagt om het punt dat even ver van 1 als van -5 ligt. Op de getallenlijn is dat hun midden, $x = -2$.

Met algebra krijg je hetzelfde antwoord. Gelijke absolute waarden betekenen dat de binnenkanten gelijk of tegengesteld zijn:

$$x - 1 = x + 5 \quad \text{of} \quad x - 1 = -(x + 5)$$

De eerste vergelijking wordt $-1 = 5$ en heeft dus geen oplossing. De tweede wordt $2x = -4$, wat $x = -2$ geeft. De afstand tot elk referentiepunt is 3.

Dit verschilt van een vergelijking met een som zoals $|x - 1| + |x + 5| = 10$. Je kunt niet alle strepen met één splitsing in twee gevallen verwijderen. Zulke opgaven vereisen meestal intervallen op basis van de punten waar elke binnenste uitdrukking van teken verandert.

De grafiek maakt het aantal oplossingen zichtbaar

De grafiek van $y = |x|$ heeft de vorm van een V. Rechts van nul volgt hij $y = x$. Links volgt hij $y = -x$. De punt van de V is de top.

Voor $y = |x - 4|$ verschuift de top naar $(4, 0)$. $|x - 4| = 6$ oplossen betekent zoeken waar die V de horizontale lijn $y = 6$ raakt. Er zijn twee snijpunten, bij $x = -2$ en $x = 10$.

Een horizontale lijn op nul raakt de top één keer. Een horizontale lijn onder nul mist de grafiek volledig. Zo ziet het patroon met twee, één of nul oplossingen eruit op papier.

Vervang je het gelijkteken door een ongelijkheid, dan zoek je een gebied in plaats van alleen snijpunten. Zo betekent $|x - 4| < 6$ dat de afstand tot 4 kleiner is dan 6, dus $-2 < x < 10$. Onze gids over ongelijkheden werkt die volgende stap uit.

Een korte oplossingsroutine

Bereken eerst alles wat numeriek is binnen de strepen. Isoleer daarna één absolute waarde, bekijk het teken van de andere kant en splits alleen als dat teken het toestaat. Los elk geval op en vul elke kandidaat in de oorspronkelijke vergelijking in.

Oefen dit proces in Math Zens onderwerp Algebra, waarin Absolute waarde is opgenomen. Begin met het afstandsbeeld voordat je naar de regel met twee gevallen grijpt. Als je kunt uitleggen waar het referentiepunt ligt en welke afstand de vergelijking vraagt, heeft de algebra een duidelijke taak.