Complexe getallen in poolvorm: omrekenen, vermenigvuldigen en delen

Het getal $3+3i$ geeft een adres: drie eenheden naar rechts en drie eenheden omhoog. Het geeft ook een richting en een afstand: noordoost, op een afstand van $3\sqrt{2}$ van nul. De cartesiaanse vorm en de poolvorm beschrijven precies hetzelfde getal. Ze maken verschillende berekeningen makkelijk.

De cartesiaanse vorm is handig voor optellen. In poolvorm lijkt vermenigvuldigen op twee gewone handelingen: rekken en draaien. Daarom kan een ingewikkeld ogende macht een korte berekening worden zodra je de beschrijving verandert.

Als de imaginaire eenheid nog onbekend is, begin dan met onze uitleg over imaginaire getallen. Hier gaat het om de praktische volgende stap: omrekenen, rekenen en je antwoord controleren.

Modulus en argument beschrijven één pijl

Teken een pijl van de oorsprong naar $z=a+bi$. De horizontale component is $a$ en de verticale component is $b$. De lengte van de pijl, de modulus, volgt uit de rechthoekige driehoek:

$$r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$$

Het argument is een hoek $\theta$ die tegen de klok in vanaf de positieve reële as wordt gemeten. Positieve draaien gaan tegen de klok in; negatieve draaien gaan met de klok mee. Een volle draai brengt je terug bij dezelfde pijl, dus een argument is niet uniek.

De horizontale en verticale componenten van een pijl met lengte $r$ zijn $r\cos\theta$ en $r\sin\theta$. Als je die componenten invult, krijg je de poolvorm:

$$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$$

Sommige boeken schrijven dit als $r\operatorname{cis}\theta$. De afkorting betekent precies de uitdrukking tussen haakjes. Het is een kortere schrijfwijze, geen nieuwe bewerking.

Dit gebruikt de meetkunde van poolcoördinaten, maar hier is het doel rekenen met complexe getallen in plaats van poolkrommen tekenen.

Een getal omrekenen zonder het kwadrant te verliezen

Neem $z=-3+3i$. Begin met de modulus:

$$r=\sqrt{(-3)^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$$

Het reële deel is negatief en het imaginaire deel positief, dus de pijl wijst naar kwadrant II. De referentiehoek is $\pi/4$ omdat de horizontale en verticale afstanden even groot zijn. Het vereiste argument is daarom $3\pi/4$, of 135 graden:

$$-3+3i=3\sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right)$$

Waarom voer je niet gewoon $\arctan(b/a)$ in? Hier is de verhouding -1, en een gewone berekening met de inverse tangens geeft $-\pi/4$. Die hoek wijst naar kwadrant IV, de tegenovergestelde richting. Een verhouding alleen verliest de tekens die het kwadrant bepalen.

Gebruik altijd deze volgorde:

1. Bepaal de modulus.
2. Markeer de tekens van het reële en imaginaire deel in een schets.
3. Bepaal een referentiehoek en plaats die in dat kwadrant.
4. Vul terug in om beide componenten te controleren.

Een rekenmachine- of programmeerfunctie met de naam $\operatorname{atan2}(b,a)$ houdt rekening met het kwadrant en de gevallen op de assen. Controleer de volgorde van de argumenten en of de uitvoer in radialen staat. Als je in plaats daarvan een boogtangens met één invoer gebruikt, blijft de schets nodig.

Terugrekenen als controle

Van poolvorm naar cartesiaanse vorm gaan betekent dat je de twee componenten afzonderlijk berekent. Voor het voorbeeld hierboven:

$$a=3\sqrt{2}\cos\frac{3\pi}{4}=3\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-3$$ $$b=3\sqrt{2}\sin\frac{3\pi}{4}=3\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=3$$

Het resultaat is zoals vereist $-3+3i$. Zo zie je een fout in het kwadrant meteen: de verkeerde hoek zou de verkeerde tekens opleveren, zelfs als de modulus klopte.

Laat bij hoeken zonder eenvoudige exacte waarden het argument ongerond tot de laatste stap. Vroeg afronden veroorzaakt een onnodige fout wanneer je het getal weer omzet in componenten.

Vermenigvuldigen rekt en draait

Stel dat één getal modulus $r_1$ en argument $\theta_1$ heeft, en een ander modulus $r_2$ en argument $\theta_2$. Bij vermenigvuldigen vermenigvuldig je de lengtes en tel je de draaien op:

$$z_1z_2=r_1r_2\left(\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\right)$$

Neem twee getallen met modulus 2 en argumenten $\pi/6$ en $\pi/3$. Het product heeft modulus 4 en argument $\pi/2$:

$$z_1z_2=4\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)=4i$$

Je kunt dit onafhankelijk controleren in cartesiaanse vorm. De twee begingetallen zijn $\sqrt{3}+i$ en $1+\sqrt{3}i$:

$$(\sqrt{3}+i)(1+\sqrt{3}i)=\sqrt{3}+3i+i+\sqrt{3}i^2=4i$$

De reële delen vallen tegen elkaar weg omdat $i^2=-1$. Beide beschrijvingen leiden tot hetzelfde antwoord, maar de berekening in poolvorm maakt de draai over een rechte hoek zichtbaar voordat je iets uitwerkt.

Delen draait het rekken en draaien om

Om door een complex getal ongelijk aan nul te delen, deel je de moduli en trek je de argumenten van elkaar af:

$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\left(\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)\right)$$

Deel bijvoorbeeld een getal met modulus 6 en argument $5\pi/6$ door een getal met modulus 2 en argument $\pi/3$. Het resultaat heeft modulus 3 en argument $\pi/2$, dus het quotiënt is $3i$.

De noemer moet een modulus ongelijk aan nul hebben. Poolnotatie maakt delen door nul niet geldig. Houd ook de juiste volgorde van de aftrekking aan: als je het tweede getal door het eerste deelt, keer je zowel de schaalfactor als het hoekverschil om.

Machten herhalen dezelfde bewerking

Een complex getal tot een positieve gehele macht verheffen betekent dat je dezelfde vermenigvuldiging herhaalt. De modulus wordt tot die macht verheven en het argument wordt ermee vermenigvuldigd:

$$z^n=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)$$

Dit is de formule van De Moivre. Voor $z=\sqrt{3}+i$ is de modulus 2 en is een argument $\pi/6$. Tot de derde macht verheffen geeft:

$$(\sqrt{3}+i)^3=2^3\left(\cos\frac{3\pi}{6}+i\sin\frac{3\pi}{6}\right)=8i$$

Drie draaien van 30 graden vormen een draai van 90 graden. Drie schaalfactoren van 2 vermenigvuldigen tot 8. Je kunt de derde macht nog steeds uitwerken, maar de poolvorm laat zien waarom het resultaat op de imaginaire as ligt.

Het hoofdstuk van OpenStax over poolvorm behandelt ook de bijbehorende wortelberekeningen. Het belangrijke onderscheid is dat een complex getal ongelijk aan nul voor n ≥ 2 meerdere verschillende n-de machtswortels heeft. Alleen één gekozen hoek door n delen geeft ze niet allemaal.

Houd deze bijzondere gevallen uit elkaar

Een volle draai verandert de hoek, niet het getal. De hoeken $\theta$ en $\theta+2\pi k$ beschrijven voor elk geheel getal $k$ dezelfde richting. Als een vraag om het hoofdargument vraagt, gebruik dan het vermelde interval, meestal $(-\pi,\pi]$. Andere cursussen gebruiken een ander interval, dus vermeld je conventie.

Nul heeft geen gedefinieerde richting. De modulus is nul. Elke hoek geeft dezelfde nulcomponenten, dus het heeft geen betekenis om nul één uniek argument toe te kennen.

Radialen en graden mogen niet worden gemengd. Beide werken met de goniometrische vorm als je ze consequent gebruikt. De exponentiële vorm $re^{i\theta}$ gebruikt radialen. Onze gids over de identiteit van Euler legt dat verband uit.

Voor optellen geldt de vermenigvuldigingsregel niet. Als je moduli en hoeken optelt, tel je geen complexe getallen op. Reken om naar cartesiaanse vorm, tel de componenten op en reken indien nodig weer terug.

Oefen één beslissing tegelijk

De oefeningen met complexe getallen van Math Zen bevatten poolvorm en de formule van De Moivre. Houd de vaardigheden tijdens het leren apart: bepaal eerst het kwadrant, vind dan de modulus, reken vervolgens om en probeer pas daarna producten of machten.

Stel jezelf drie vragen voordat je een antwoord inlevert. Klopt de afstand tot nul? Past de richting bij de bewerking? Leveren de cartesiaanse componenten weer je beginwaarde op? Door die controles verandert poolvorm van nog een formule om te stampen in een manier om de berekening te zien.