연립방정식을 직관적으로 이해하기: 모든 조건을 만족하는 값
방정식 하나는 조건 하나를 줍니다. 카페에서 커피와 차를 서로 다른 가격에 판다면, 하루 총매출은 두 판매량 사이의 관계를 알려 주지만 보통 각각의 판매량까지 알려 주지는 않습니다. 두 번째 독립적인 정보가 있으면 두 값을 확정할 수 있습니다.
이것이 연립방정식의 목적입니다. 한 명제를 무엇이 참으로 만드는지 묻는 대신, 여러 명제를 동시에 무엇이 참으로 만드는지 묻습니다. ‘연립’이라는 말은 기술적으로 들리지만 핵심 생각은 평범합니다. 모든 단서에 맞는 값을 찾는 것입니다.
해는 모든 방정식을 만족해야 한다
다음 연립방정식을 살펴봅시다.
순서쌍 와 은 두 방정식을 모두 참으로 만들기 때문에 해입니다. 첫째 식에서는 이고, 둘째 식에서는 입니다.
반면 와 인 순서쌍은 첫 번째 방정식은 참으로 만들지만 두 번째는 그렇지 않습니다. 따라서 연립방정식의 해가 아닙니다. 연립방정식에는 ‘또는’이 아니라 ‘그리고’가 적용됩니다. 첫 번째와 두 번째 방정식이 모두 성립해야 합니다.
이는 대수 가이드에서 설명한 등식의 의미를 여러 조건에 적용한 것입니다. 줄이 바뀌어도 변수가 나타내는 대상은 바뀌지 않습니다. 어디서나 같은 와 같은 가 성립해야 합니다.
그래프는 대수가 찾는 것을 보여 준다
변수가 두 개인 모든 일차방정식은 직선 하나를 나타냅니다. 방정식 은 한 직선이고, 은 다른 직선입니다. 첫 번째 직선 위의 점은 첫 번째 방정식을 만족합니다. 두 번째 직선 위의 점은 두 번째 방정식을 만족합니다.
연립방정식의 해는 두 직선 위에 모두 있어야 하므로 두 직선의 교점입니다.
이 그림은 변수가 두 개인 두 일차방정식에 가능한 결과가 세 가지인 이유를 보여 줍니다.
- 두 직선이 한 번 만나 해가 하나 생깁니다.
- 서로 다른 평행선은 만나지 않으므로 해가 없습니다.
- 두 방정식이 같은 직선을 나타내므로 해가 무수히 많습니다.
그래프는 어떤 경우인지 파악하고 해를 어림하기에 매우 좋습니다. 그러나 정확한 분수나 눈금 사이의 교점을 구할 때는 신뢰도가 떨어집니다. 대수적 방법은 그림의 정확도에 의존하지 않고 같은 교점을 찾습니다.
이 연결은 반대로도 작동합니다. 대입이나 소거에서 예상 밖의 결과가 나오면 직선을 떠올려 보세요. 모순은 두 직선이 평행하다는 뜻이고, 항등식은 두 직선이 겹친다는 뜻입니다.
대입은 같은 것을 같은 것으로 바꾸는 것이다
한 방정식이 변수의 값이 무엇인지 이미 알려 줄 때 대입법이 가장 알맞습니다. 위의 두 번째 방정식을 다음과 같이 바꿔 씁니다.
이제 첫 번째 방정식에서 가 있는 곳마다 을 넣습니다.
미지수는 하나만 남습니다.
식 로 돌아가면 입니다. 해는 입니다.
신비로운 일은 일어나지 않았습니다. 방정식 은 와 이 같은 양이라는 뜻입니다. 하나를 다른 것으로 바꿔도 첫 번째 방정식은 계속 참입니다. 대입법은 미지수가 두 개인 두 방정식을 미지수가 하나인 방정식 하나로 바꿉니다.
변수가 이미 정리되어 있거나 한 번의 간단한 단계로 정리할 수 있을 때 대입법을 선택하세요. 변수를 정리하자마자 복잡한 분수가 생긴다면 소거법이 더 짧을 수 있습니다.
소거는 단서를 결합한다
원래 연립방정식으로 돌아갑니다.
두 방정식을 더합니다. 와 가 서로 없어집니다.
따라서 이고, 어느 원래 방정식에든 대입하면 을 얻습니다.
소거법이 성립하는 이유는 같은 양에 같은 양을 더하기 때문입니다. 우변도 더하므로 좌변끼리 더할 수 있습니다. 두 원래 방정식을 모두 만족하는 순서쌍은 결합한 방정식도 만족해야 합니다.
계수가 바로 없어지지 않을 때도 있습니다. 다음 연립방정식을 생각해 봅시다.
두 번째 방정식에 를 곱합니다.
첫 번째 방정식과 더하면 를 얻습니다. 그러면 이므로 입니다. 방정식 전체에 0이 아닌 수를 곱해도 해는 바뀌지 않습니다. 같은 직선을 다른 비율로 쓴 것입니다.
방정식이 이미 표준형이고, 한 쌍의 계수가 같거나 부호만 다르거나 작은 공배수를 가질 때는 일반적으로 소거법이 효율적입니다.
두 단서로 만든 하나의 문장제
어떤 학교 동아리가 표 30장을 팔았다고 합시다. 학생표는 4달러, 성인표는 7달러이고 동아리는 156달러를 받았습니다. 학생표 수를 , 성인표 수를 라고 합시다.
표의 총개수에서 다음 식을 얻습니다.
총금액에서 다음 식을 얻습니다.
첫 번째 방정식에 를 곱하고 더합니다.
따라서 이고 입니다. 두 사실을 모두 확인하면 표는 30장이고, 입니다.
가장 어려운 부분은 소거가 아니었습니다. 한 방정식은 개수를 나타내고 다른 방정식은 수입을 나타낸다고 판단하는 일이었습니다. 대부분의 응용 문제에서 각 문장은 서로 다른 제약 조건을 줍니다. 단위와 함께 변수를 정의하고, 각 조건을 따로 식으로 옮긴 다음 연립방정식을 푸세요.
해 없음과 무수히 많은 해도 의미 있는 답이다
다음을 생각해 봅시다.
첫 번째 방정식을 두 배 하면 이지만, 두 번째 방정식은 같은 식이 10이어야 한다고 요구합니다. 소거하면 라는 모순이 나옵니다. 어떤 순서쌍도 두 방정식을 모두 만족할 수 없습니다. 그래프에서 두 직선은 기울기가 같고 절편이 다르므로 평행합니다.
이제 두 번째 방정식을 다음과 같이 바꿉니다.
이 식은 첫 번째 식의 정확히 두 배입니다. 소거하면 이 나오는데, 이는 항상 참이지만 하나의 순서쌍을 정하지는 않습니다. 두 방정식이 같은 직선을 나타내므로 그 직선 위의 모든 점이 해입니다.
이 결과를 계산 실패로 여기지 마세요. 주어진 정보의 성격을 알려 주는 결과입니다. 모순은 조건이 서로 양립할 수 없다는 뜻입니다. 항등식은 한 단서가 다른 단서를 반복하며 새로운 정보를 더하지 않는다는 뜻입니다.
식의 모양에 따라 방법을 고른다
그래프, 대입, 소거는 같은 문제를 풉니다. 어떤 선택이 효율적인지는 방정식이 어떻게 쓰였는지에 달려 있습니다.
그림이나 대략적인 교점이 중요할 때는 그래프를 사용합니다. 한 변수가 정리되어 있거나 계수가 1 또는 -1일 때는 대입법을 사용합니다. 계수가 이미 맞거나 간단한 곱셈으로 맞출 수 있을 때는 소거법을 사용합니다.
계산기로 두 방정식의 그래프를 그리고 교점을 표시할 수 있지만, 그래도 대수는 중요합니다. 그래프 창은 교점을 숨기거나, 거의 평행한 직선을 평행해 보이게 하거나, 정확한 분수가 핵심인 문제에서 소수만 보여 줄 수 있습니다. 그래프를 모형이자 확인 수단으로 사용하되, 무엇이 해인지 이해하는 일을 그래프로 대신하지 마세요.
더 큰 연립방정식에서는 소거법이 행 소거와 행렬 방법으로 발전합니다. 더 넓은 관점은 행렬 가이드에서 설명합니다. 익숙한 두 방정식 풀이에도 이미 핵심 생각이 들어 있습니다. 공통해를 바꾸지 않으면서 조건을 결합하는 것입니다.
원래 연립방정식에서 순서쌍을 확인한다
가장 안전한 마지막 단계는 모든 원래 방정식에 값을 대입하는 것입니다. 자신이 만든 축약된 방정식만 확인하지 마세요. 그 방정식은 전체 연립방정식보다 정보가 적기 때문입니다.
첫 예의 을 확인해 봅시다.
두 명제가 모두 참이므로 이 순서쌍이 확인되었습니다. 답이 상황에 맞는지도 물어보세요. 표의 개수가 음수라면 잘못 옮긴 대수식은 만족할 수 있어도 실제 문제에는 맞지 않습니다.
흔한 오류는 기계적인 실수입니다. 방정식의 한 항에만 곱하거나, 행을 더하면서 부호를 바꾸거나, 잘못된 식에 대입하거나, 변수 하나를 구한 뒤 멈추는 경우입니다. 한 번의 연산을 방정식 전체에 적용하고 각 열을 맞추어 쓰면 대부분을 예방할 수 있습니다.
알맞은 단계를 알아보는 연습
숙련은 같은 방법을 스무 번 연속 반복하는 것이 아니라 방법을 선택하는 데서 옵니다. 대입법에 알맞은 연립방정식과 소거법에 알맞은 연립방정식을 섞어 연습하세요. 해가 없거나 무수히 많은 경우도 포함하면 와 이 놀라움이 아니라 정보가 됩니다.
Math Zen의 대수 주제에는 집중 연습을 위한 ‘연립일차방정식’ 기술이 있습니다. 풀이 절차에 해석을 계속 연결하세요. 각 방정식은 조건이고 해는 그 조건을 모두 만족해야 합니다.
연립방정식은 관계없는 두 과제를 쌓아 놓은 것이 아닙니다. 여러 단서로 제한된 하나의 탐색입니다. 그래프에서는 답을 교점이라고 합니다. 대입법에서는 치환이라고 합니다. 소거법에서는 한 변수가 사라진 뒤 남는 것이라고 합니다. 세 방법은 모두 같은 질문을 보는 서로 다른 관점입니다. 어떤 값이 모든 조건을 동시에 참으로 만들까요?
자주 묻는 질문
- 연립방정식을 쉽게 말하면 무엇인가요?
- 연립방정식은 미지수가 모든 방정식에서 같은 값을 가져야 하는 방정식들의 모음입니다. 각 방정식은 하나의 조건입니다. 해는 모든 조건을 동시에 참으로 만드는 값 또는 순서쌍입니다. x와 y에 대한 두 일차방정식에서는 두 직선이 함께 지나는 점이 해입니다.
- 대입법과 소거법은 언제 사용하나요?
- 한 방정식에 변수가 이미 정리되어 있거나 복잡한 분수 없이 정리할 수 있으면 대입법을 사용합니다. 같거나 부호가 반대인 계수가 이미 보이거나, 방정식에 수를 곱해 간단히 만들 수 있으면 소거법을 사용합니다. 두 방법은 같은 해집합을 보존하므로 계산이 더 깔끔해지는 쪽을 선택하세요.
- 왜 해가 없거나 무수히 많을 수 있나요?
- 서로 다른 두 평행선은 절대 만나지 않으므로 두 방정식을 모두 만족하는 순서쌍이 없습니다. 두 방정식이 같은 직선을 나타낼 수도 있습니다. 이때는 그 직선 위의 모든 점이 두 식을 만족하므로 해가 무수히 많습니다. 대수에서는 각각 0 = 5 같은 모순과 0 = 0 같은 항등식으로 나타납니다.
- 연립방정식의 해를 어떻게 확인하나요?
- 제안된 모든 값을 모든 원래 방정식에 대입합니다. 각 방정식이 참인 명제가 될 때만 그 순서쌍이 해입니다. 마지막 방정식만 확인해서는 충분하지 않습니다. 계산 오류로 한 조건에는 맞지만 전체 연립방정식에는 맞지 않는 값이 나올 수 있기 때문입니다.
- 소거법은 실제로 무엇을 하나요?
- 소거법은 성립하는 두 방정식을 결합하여 한 변수가 사라지게 합니다. 공통해를 잃지 않으면서 미지수 하나를 제거하는 것입니다. 방정식 전체에 0이 아닌 수를 곱해도 나타내는 직선은 바뀌지 않고, 같은 양을 더하면 등식이 유지됩니다. 따라서 축약된 방정식에도 다른 변수를 찾는 데 필요한 정보가 남습니다.
