행렬을 직관적으로 이해하기 (여행을 바꾸는 기계)

행렬은 잘하던 학생을 갑자기 바보처럼 느끼게 만드는 주제입니다. 여기까지는 모든 연산에 그림이 있었습니다. 덧셈은 합치는 일입니다. 곱셈은 늘이는 일입니다. 지난주 글의 벡터 연산조차 직접 걸어 볼 수 있는 여행이었습니다. 그런데 누군가 숫자 격자 두 개를 적어 놓고 "행 곱하기 열"로 곱한다고 선언하는 순간, 그림이 사라집니다. 규칙은 작동합니다. 아무도 그것이 무엇을 하는지 말하지 못합니다.

그 결과는 두 번째 이중상, 벡터 글에 나온 그 이중상의 형제입니다. 대수 시간에서 행렬은 숫자 상자입니다. 나중 과목에서는 "선형변환"이 되는데, 대답처럼 들리면서 아무것도 설명하지 않는 말입니다. 이 글이 바로 그 다리입니다. 행렬은 여행을 받아 여행을 돌려주는 기계이고, 격자의 각 열은 축 하나가 도착한 자리의 기록이며, 곱셈 규칙은 기계 두 대를 차례로 돌리는 장부 정리일 뿐입니다.

여행을 바꾸는 기계

이 시리즈는 한 가지 생각으로 계속 되돌아옵니다. 수는 방향을 가리킨다는 것입니다. 음수는 뒤쪽을 가리키는 평범한 수입니다. 허수는 옆을 가리키는 수, 직선을 벗어나 평면으로 들어간 수입니다. 벡터는 이 생각이 자유로워진 형태, 어떤 방향이든 지니고 다니는 양입니다. 여행이 생기면 다음 질문은 거의 필연입니다. 여행에 작용하는 것은 무엇인가? "동쪽 3, 북쪽 4"를 받아 다른 여행으로 바꾸는 것은 무엇인가?

그 행위자가 행렬입니다.

무엇을 넣든 늘리고, 찌그러뜨리고, 돌리고, 뒤집을 수 있는 기계가 있다고 생각해 보세요. 여행을 넣으면 여행이 나옵니다. 2×2 행렬은 평면에서 일하는 그런 기계 하나의 완전한 지시입니다. 3×3 행렬은 공간에서 같은 생각입니다. 숫자 격자는 대상이 아닙니다. 격자는 명세서입니다.

그래서 행렬은 더 큰 벡터가 아닙니다. 벡터는 여행입니다. 행렬은 여행을 바꾸는 규칙입니다. 둘을 혼동하는 것은 여정과 진로를 빗나가게 하는 날씨를 혼동하는 것과 같습니다.

열은 축이 도착한 자리

이 사실 하나가 주제 전체를 읽을 수 있게 만듭니다. 행렬이 가능한 모든 여행에 무엇을 하는지는 알 필요가 없습니다. 알아야 할 것은 두 여행뿐입니다. 동쪽으로 한 걸음, 북쪽으로 한 걸음입니다. 다른 모든 여행은 그 둘의 결합이므로, 기계가 어떤 여행에 미치는 효과는 축에 미치는 효과를 같은 비율로 결합한 것입니다.

그 두 결과를 열로 적으면 행렬이 됩니다.

기계가 동쪽 한 걸음을 (2, 1)로, 북쪽 한 걸음을 (0, 3)으로 보낸다고 합시다. 행렬은 첫째 열이 2, 1이고 둘째 열이 0, 3인 2×2 격자입니다. 여기에 여행 (3, 4), 즉 "동쪽 3 다음에 북쪽 4"를 넣으면 출력은 첫째 열을 3배 한 것 더하기 둘째 열을 4배 한 것입니다. 3배의 (2, 1) 더하기 4배의 (0, 3), 곧 (6, 3) 더하기 (0, 12), 곧 (6, 15)입니다. 이것이 행렬과 벡터의 곱입니다. 교과서의 행 곱하기 열 의식은 바로 이 합을, 화살표를 그리지 않고도 컴퓨터가 돌릴 수 있게 적어 둔 것입니다.

벡터 글을 읽고 온 독자라면 이 합이 낯설지 않을 것입니다. 늘인 여행을 더하고 있는 것입니다. 행렬은 새로운 산수를 발명하지 않습니다. 여행의 산수를 열마다 한 번씩 다시 쓸 뿐입니다.

단위행렬은 아무것도 하지 않는 기계입니다. 동쪽 한 걸음은 동쪽 한 걸음으로 남고, 북쪽 한 걸음은 북쪽 한 걸음으로 남으니, 열은 정확히 두 축 여행입니다. 무엇을 넣든 같은 것이 돌아옵니다. 배율 100퍼센트, 회전 없음으로 맞춰 둔 복사기이며, 이 주제에 수 1의 짝이 존재하는 이유입니다.

곱셈은 이것을 적용한 뒤 저것을 적용하는 일

발명된 것처럼 느껴지는 규칙, 곧 행렬 두 개를 곱하는 일은 격자를 입은 함수의 합성입니다. A와 B를 곱하는 것은 B를 먼저 하고 A를 나중에 하는 단 하나의 기계를 만드는 일입니다. 여행을 B에 넣고, 나온 것을 다시 A에 넣습니다. 곱 AB는 그 결합된 기계의 명세서입니다.

그래서 순서가 중요하고, 거꾸로처럼 느껴집니다. AB는 BA가 아닙니다. 양말을 신은 뒤 신발을 신는 것이 신발을 신은 뒤 양말을 신는 것과 다른 것과 같은 이유입니다. 오른쪽 기계가 먼저 작용하는 것은 우리가 이미 함수를 쓰는 방식과 같습니다. f(g(x))는 g를 먼저 적용합니다. 행렬의 곱은 그 관례를 물려받았습니다.

행 곱하기 열 조리법이 존재하는 이유도 이것입니다. AB의 열은 결합된 기계가 축에 하는 일이며, 곧 B의 열에 A를 적용한 것입니다. 그 각각이 행렬과 벡터의 곱이고, 행렬과 벡터의 곱은 내적의 더미입니다. 교과서의 의식은 같은 아이디어의 세 겹을 하나의 암기 문구로 압축한 것입니다.

유용한 결과가 하나 있습니다. 행렬 두 개가 언제 곱해질 수 있는지 외우기를 그만둘 수 있습니다. 앞 기계에서 나온 여행이 뒷 기계에 들어갈 크기가 맞을 때 곱해집니다. 2×3 행렬은 3차원 여행을 먹고 2차원 여행을 돌려줍니다. 2차원 여행을 먹는 2×2 행렬의 오른쪽에 앉을 수 있고, 3차원 여행을 돌려주는 3×4 행렬의 왼쪽에 앉을 수 있습니다. 안쪽 크기가 맞아야 하는 이유는 그 크기가 같은 복도이기 때문입니다.

행렬식은 살아남은 넓이

두 축 여행을 변으로 하는 단위정사각형을 기계에 넣으세요. 나온 것은 두 열을 변으로 하는 평행사변형입니다. 행렬식은 그 평행사변형의 부호 있는 넓이입니다.

행렬식이 2이면 기계는 넓이를 두 배로 합니다. 1/2이면 반으로 줄입니다. 0이면 평행사변형이 선분이나 한 점으로 무너진 것입니다. 기계가 평면을 납작하게 눌렀고, 서로 다른 두 여행이 같은 곳에 도착할 수 있으며, 정보가 버려진 것입니다. 음수이면 기계가 향을 뒤집어, 반시계 방향 정사각형을 시계 방향으로 바꾼 것이며, 음수가 수직선에서 하는 바로 그 반전입니다.

계산 조리법인 2×2의 ad 빼기 bc, 나중의 여인수 전개는 그 넓이를 계산하는 방법입니다. 의미가 아닙니다. 평행사변형을 보고 나면 "행렬식이 0이다"는 신비한 실패이기를 멈추고 그림이 됩니다. 두 열이 같은 직선을 따라 가리키므로 넓이를 만들지 못하고, 기계는 그 직선 위로의 정사영과 구별되지 않습니다.

이것이 또한 행렬식이 0이면 역행렬이 금지되는 이유이며, 다음 절의 요점 전부입니다.

역행렬은 되돌리기

역행렬은 되돌리기 단추입니다. A가 여행 v를 여행 w로 보내면, A의 역행렬은 w를 다시 v로 보냅니다. 기계를 돌린 뒤 그 역행렬을 돌리는 것은 단위행렬입니다. 아무 일도 없었던 것처럼 출발한 곳에 도착합니다.

기계는 정보를 버리지 않았을 때에만 되돌릴 수 있습니다. 다시 행렬식 판정입니다. 서로 다른 두 입력 여행이 같은 출력을 만들 수 있으면, 어떤 출력이 어느 입력에서 왔는지 정직하게 말할 방법이 없고, 역행렬은 존재하지 않습니다. 모든 출력이 정확히 하나의 입력에서 왔다면 되돌리기 기계는 존재하며 유일합니다.

학교에서는 이것이 1을 행렬식으로 나눈 값과 뒤섞인 성분 격자를 포함하는 공식으로 도착합니다. 공식은 진짜이고, 연습할 가치가 있지만, 결과일 뿐입니다. 아이디어는 "필름을 거꾸로 돌리기"이며, 필름이 장면을 납작하게 누르지 않았을 때에만 통합니다.

연립일차방정식은 옷을 갈아입은 바로 이 아이디어입니다. 대수는 미지수 두 개의 방정식 두 개를 소거로 푸는 법을 가르쳤습니다. 그 방정식 두 개는 미지 여행에 작용하는 행렬이 알려진 여행과 같다고 놓은 것입니다. 연립을 푸는 것은 역행렬을 적용하는 일입니다. 해가 없거나 무한히 많을 때 행렬식은 0입니다. 기계가 평면을 납작하게 눌렀고, 우변이 남은 직선을 빗나가거나 그 직선 위에 무한히 많은 방식으로 떨어진 것입니다. "불능"과 "부정"으로 외운 경우는 무너지는 기계가 단 하나의 되돌리기를 갖지 못하는 두 가지 방식입니다.

고유벡터는 돌기를 거부한다

대부분의 여행은 기계에 들어가 새로운 쪽을 가리키며 나옵니다. 몇몇 특별한 여행은 들어갔던 그 방향을 가리키며 나오되, 더 길거나 더 짧을 뿐입니다. 그 여행이 고유벡터이고, 늘임 배수가 고유값입니다.

그림은 풍동입니다. 대부분의 화살표는 옆으로 밀려납니다. 고유벡터는 바람이 늘이거나 줄이기만 하는 화살표입니다. 배수가 2이면 기계는 그 여행을 두 배로 합니다. 배수가 1이면 그 여행을 그대로 둡니다. 배수가 0이면 그 여행을 아무것도 아닌 것으로 짓누르며, 이는 앞 두 절의 납작해짐을 한 방향을 따라 본 것입니다. 배수가 음수이면 늘이는 동시에 여행을 뒤집습니다.

이것이 뒷장에서 고급처럼 보이지만 그렇지 않은 단 하나의 아이디어입니다. 고유벡터를 묻는 것은 이런 질문입니다. 이 기계가 어느 방향을 따라 평범한 수 곱셈처럼 행동하는가? 그 방향을 손에 넣으면 그 좌표계에서 기계는 단순해지고, 그래서 미분방정식에서 웹 페이지 순위까지 행렬을 쓰는 모든 주제가 고유벡터를 사냥하기 시작합니다.

실수는 어디서 오는가

행렬 오류는 세 곳에 몰려 있고, 각각은 한 번도 그려지지 않은 그림입니다.

첫째는 성분끼리 곱하는 일입니다. 학생들은 같은 크기의 격자 두 개를 보고, 행렬을 더할 때처럼 숫자를 짝짓습니다. 덧셈은 정말로 성분끼리입니다. 곱셈은 덧셈이 아닙니다. 기계 하나를 돌린 뒤 다른 기계를 돌리는 일입니다. 2×2 행렬 두 개는 또 다른 2×2를 만들지만, 각 출력 열은 B의 한 열에 A를 적용한 것이지, 짝이 맞는 네 칸을 곱한 것이 아닙니다.

둘째는 순서를 무시하는 일입니다. A와 B가 다른 일을 하면, 거의 언제나 그렇듯이, AB와 BA는 다른 기계입니다. 작용하는 순서가 아니라 만난 순서로 인자를 적는 것은 양말과 신발 오류이며, 이 장 전체에서 가장 흔한 대수적 실수입니다.

셋째는 행렬식 0을 납작해진 평행사변형이 아니라 고장난 계산기로 취급하는 일입니다. 기계는 여전히 무언가를 합니다. 모든 여행을 한 직선 위로나 원점으로 보냅니다. 다만 되돌릴 수 없을 뿐입니다. "역행렬 없음"은 우주가 거절한 것이 아닙니다. 차원을 하나 잃은 기계에 대한 서술입니다.

Math Zen은 어디에 들어맞는가

행렬은 벡터 층 위에 올라앉아 있으며, 그곳의 흔들림은 즉시 표면으로 나옵니다. 열을 더하는 것은 벡터 덧셈입니다. "행 곱하기 열" 단계는 내적입니다. 2×2의 행렬식은 평행사변형의 부호 있는 넓이이며, 벡터 글이 평행사변형 법칙에 쓴 바로 그 기하입니다. 그 연산들이 아직 시각이 아니라 말로만 남아 있으면, 모든 행렬 계산은 의식이 됩니다.

Math Zen의 버킷 진행은 층을 순서대로 유지합니다. 초반 버킷은 부호 있는 산수와 단위원을 훈련합니다. 벡터 버킷은 덧셈, 스칼라 배, 내적을 반사가 되게 합니다. 행렬 버킷은 그것을 주어진 것으로 받아 새 연산을 훈련합니다. 곱하기, 행렬식 계산, 역행렬, 연립 풀이, 고유값 찾기이며, 바로 이 글의 그림 목록을 매일 할 수 있는 짧은 문제로 바꾼 것입니다. 간격 반복 연습이 "열은 축이 도착한 자리"를 한때 설득력 있게 느껴진 문장에서 시험 문항 둘째 줄에 쓰는 반사로 바꿉니다.

핵심 정리

행렬은 여행을 받아 여행을 돌려주는 기계입니다. 숫자 격자는 명세서입니다. 각 열은 축 하나가 도착한 자리이고, 다른 여행에 미치는 효과는 그 열들의 대응하는 결합입니다. 행렬 두 개를 곱하면 오른쪽 기계를 먼저 돌리는 기계가 만들어집니다. 행렬식은 살아남은 넓이이며, 기계가 평면을 납작하게 누르면 0입니다. 역행렬은 되돌리기 단추이며, 아무것도 납작해지지 않았을 때에만 존재합니다. 고유벡터는 기계가 돌리지 않고 늘이기만 하는 드문 여행입니다.

이렇게 한데 붙들어 놓고 보면 이 주제에는 아이디어가 하나뿐이며, 점점 더 큰 기계에 적용될 뿐입니다. 행렬이 진짜 격자인지 진짜 변환인지 묻기를 그만두는 순간 두 교실의 이중상은 풀립니다. 행렬은 진짜로는 기계이며, 격자는 축이 어디로 갔는지를 적은 목록일 뿐입니다.