Le problème de Monty Hall : pourquoi changer de porte double tes chances

En 1990, un lecteur a posé à la chronique de Marilyn vos Savant une courte question à propos d'un jeu télévisé. Sa réponse, qu'il faut changer de porte, a provoqué environ dix mille lettres de protestation, dont près d'un millier signées par des titulaires de doctorat, beaucoup insistant sur le fait qu'une chroniqueuse n'avait pas le droit de se tromper sur des probabilités élémentaires. Elle ne se trompait pas. Eux, si.

C'est ce qui rend le problème de Monty Hall digne de ton temps. Ce n'est pas une question piège, et il ne repose sur aucune clause cachée. C'est une énigme parfaitement loyale dont l'énoncé tient en trois lignes, et elle met en échec de façon fiable l'intuition de gens intelligents, y compris des mathématiciens professionnels, jusqu'à ce qu'ils voient l'asymétrie qui leur a échappé. Une fois qu'on la voit, la réponse cesse de sembler paradoxale et commence à sembler inévitable.

Les règles du jeu

L'énigme est calquée sur le jeu télévisé Let's Make a Deal, dont le présentateur d'origine, Monty Hall, lui a donné son nom. La mise en place :

Il y a trois portes fermées. Derrière l'une se trouve une voiture. Derrière les deux autres, des chèvres. La voiture a été placée au hasard, donc avant que quoi que ce soit ne se passe, chaque porte a une chance de 1/3 de la cacher.

Tu choisis une porte, disons la porte 1. Elle reste fermée.

Le présentateur, qui sait exactement où se trouve la voiture, ouvre l'une des deux portes que tu n'as pas choisies, et il ouvre toujours une porte avec une chèvre. Disons qu'il ouvre la porte 3 et qu'une chèvre te regarde.

Il reste maintenant deux portes fermées : ta porte 1 et la porte 2, restée intacte. Le présentateur t'offre un choix. Rester sur la porte 1, ou changer pour la porte 2.

L'instinct de presque tout le monde dit la même chose : deux portes, une voiture, 50/50, donc peu importe. L'instinct se trompe. Rester gagne 1/3 du temps. Changer gagne 2/3 du temps. Le changement double littéralement tes chances, et toute l'énigme consiste à comprendre d'où vient cette probabilité supplémentaire.

La démonstration n'est qu'un décompte

La façon la plus propre de voir la réponse est de remarquer que toute la partie se décide sur un seul événement : ton premier choix était-il le bon.

C'est toute la démonstration. Rester parie que ta première supposition à l'aveugle était juste, un événement à 1/3. Changer parie qu'elle était fausse, un événement à 2/3. Ce sont les deux seules options, et elles ne sont pas au coude à coude.

Si tu préfères voir tous les cas posés noir sur blanc, fixe ton choix sur la porte 1 et fais varier la voiture. Voiture derrière la porte 1 : le présentateur ouvre la porte 2 ou 3, rester gagne, changer perd. Voiture derrière la porte 2 : le présentateur doit ouvrir la porte 3, rester perd, changer gagne. Voiture derrière la porte 3 : le présentateur doit ouvrir la porte 2, rester perd, changer gagne. Trois mondes également probables, et changer gagne dans deux d'entre eux. Le décompte est la démonstration.

D'où vient la probabilité supplémentaire

L'instinct du 50/50 vient d'une règle empirique qui te sert habituellement bien : deux inconnues, aucune raison d'en préférer une, donc partage la probabilité à égalité. La règle est bonne. L'erreur est de croire que les deux portes fermées sont symétriques. Elles ne le sont pas, parce qu'elles ont eu des histoires très différentes.

Ta porte a été choisie par toi, à l'aveugle, avant toute révélation. Rien de ce qui s'est passé ensuite n'a impliqué ta porte : le présentateur n'avait pas le droit d'y toucher, qu'elle cache la voiture ou non. Donc aucune information sur ta porte n'a jamais été produite, et sa probabilité reste là où elle a commencé, à 1/3.

L'autre porte fermée a survécu à quelque chose. Le présentateur a regardé les deux portes que tu n'avais pas choisies, dont au moins une cachait une chèvre, et a délibérément éliminé une chèvre de cette paire. La porte qu'il a laissée fermée est soit un rebut quelconque (dans le monde à 1/3 où ton choix était juste), soit la voiture elle-même (dans le monde à 2/3 où ton choix était faux). Son choix était contraint par la vérité, et la contrainte laisse fuir de l'information. La totalité des 2/3 de probabilité que la paire possédait au départ se concentre sur son unique survivante.

La version à 100 portes, pour les sceptiques

Si l'argument des trois portes te semble encore glissant, change d'échelle. Mêmes règles, 100 portes, une voiture, 99 chèvres. Tu choisis la porte 1. Le présentateur, qui sait où est la voiture, ouvre 98 des portes restantes, chacune une chèvre, et laisse exactement une autre porte fermée. Rester ou changer ?

Ton premier choix était juste 1 fois sur 100. Dans les 99 autres cas, la voiture est quelque part parmi les portes que tu n'as pas choisies, et les 98 révélations du présentateur ont été forcées de la contourner : il a ouvert tout sauf la voiture. L'unique porte qu'il a laissée fermée n'est pas une survivante quelconque. C'est là où la voiture doit être, 99 fois sur 100.

Personne ne reste dans le jeu à 100 portes. Mais le jeu à trois portes est le même jeu. La révélation du présentateur a été forcée de contourner la voiture exactement de la même façon; il y en avait juste moins à regarder. Si changer est évidemment juste à 100 portes, la charge de la preuve revient à quiconque prétend que trois portes sont différentes, et le décompte des cas ci-dessus montre qu'elles ne le sont pas.

Les petites lignes qui rendent la réponse honnête

Voici la partie que les récits populaires sautent d'habitude, et c'est la différence entre connaître la réponse et la comprendre. Le résultat 2/3 dépend du comportement du présentateur, pas seulement de ce que tu as vu.

Les règles standard supposent que le présentateur ouvre toujours une porte, révèle toujours une chèvre, et propose toujours le changement. Change ces règles et la réponse change. La variante classique est parfois appelée Monty Fall : le présentateur trébuche, ouvre complètement au hasard l'une des deux portes non choisies, et il se trouve qu'elle révèle une chèvre. Mêmes portes, même chèvre, même image sur ton écran. Mais maintenant, changer ne gagne que 1/2 du temps.

Pourquoi la différence ? Dans le jeu standard, le présentateur révèle une chèvre dans tous les mondes, donc la révélation ne te dit rien sur la justesse de ton choix, et ta porte reste à 1/3. Dans Monty Fall, un présentateur aléatoire expose parfois la voiture par accident. Voir une chèvre devient alors une information en soi, et c'est une information en faveur de ton choix initial, parce que les mondes où ton choix était juste ne pouvaient jamais produire une voiture exposée. Fais les calculs et les deux portes fermées finissent véritablement à 1/2 chacune.

Essaie-le, parce que tout le monde devrait le faire une fois

Le problème de Monty Hall a une grande vertu : il est bon marché à tester. Prends trois gobelets et une pièce, et recrute un ami pour jouer le présentateur, ou simule-le toi-même avec quelques lignes de code, ou sur papier avec un dé pour placer la voiture. Joue trente parties en restant toujours, puis trente parties en changeant toujours.

Le résultat est étrangement persuasif d'une manière que les arguments ne sont pas. Ceux qui restent convergent vers environ un tiers de victoires, ceux qui changent vers environ deux tiers, et après assez de parties, le motif cesse de ressembler à un paradoxe et commence à ressembler à la conséquence évidente de l'étape 1 ci-dessus : ton premier choix à l'aveugle est le plus souvent faux, et changer encaisse exactement cela. Les moyennes calculées sur de nombreux essais sont d'ailleurs ce qui donne leur sens aux énoncés de probabilité, un point exploré dans la compréhension intuitive des statistiques.

C'est aussi, historiquement, ainsi que le débat a été tranché. Après la tempête vos Savant, des salles de classe à travers tout le pays ont mené l'expérience, et les simulations ont confirmé 2/3 avec autant de décimales qu'on voulait bien en calculer. Beaucoup des mathématiciens qui avaient écrit des lettres furieuses en ont écrit de secondes, plus penaudes.

Le zen de tout cela

Le problème de Monty Hall perdure parce qu'il est une miniature parfaite de la façon dont les probabilités fonctionnent vraiment et dont l'intuition humaine échoue vraiment. L'instinct qu'il met en échec, l'ignorance symétrique face à deux portes fermées, est un bon instinct. Il ne survit simplement pas au contact d'une histoire asymétrique, et l'énigme cache l'asymétrie en pleine lumière : une porte était protégée par ton choix, l'autre a été sélectionnée par quelqu'un qui connaissait la réponse.

Remarque ce qui a dissipé la confusion. Pas une formule, pas une autorité. Un décompte. Trois mondes également probables, un relevé honnête de ce qui se passe dans chacun, et la volonté de faire confiance au relevé plutôt qu'au ressenti. Ce geste, énumérer les possibilités et les compter, est l'essentiel de ce que sont les probabilités, et il s'apprend.

La prochaine fois que deux options semblent évidemment 50/50, cela vaut la peine de poser la question de Monty Hall : ces deux possibilités sont-elles arrivées là de la même façon ? Parfois oui, et le pile ou face est réel. Et parfois l'une d'elles est restée debout grâce à un processus qui savait quelque chose, et les chances sont silencieusement, résolument déséquilibrées.

Les portes ne se souviennent de rien. La procédure, si.