Comment choisir u dans un changement de variable ?

Cherchez une fonction intérieure dont la dérivée apparaît aussi dans l'intégrande, au moins à un facteur constant près. Dans 2x(x² + 1)^5, la fonction intérieure est x² + 1 et sa dérivée 2x se trouve à l'extérieur : u = x² + 1 est le choix naturel.

Et si la dérivée n'apparaît qu'à une constante près ?

Un facteur constant ne pose aucun problème. Si u = x², alors du = 2x dx, donc x dx = du/2 et le 1/2 passe devant l'intégrale. Seules les constantes peuvent être déplacées ainsi ; un facteur x manquant ne se corrige pas en divisant.

Faut-il changer les bornes d'une intégrale définie ?

Soit vous convertissez les bornes en valeurs de u sans jamais revenir à x, soit vous trouvez d'abord la primitive en x et utilisez les bornes d'origine. Mélanger les deux, nouvel intégrande avec anciennes bornes, est l'erreur la plus fréquente.

Comment vérifier un résultat obtenu par changement de variable ?

Dérivez votre résultat avec la règle de dérivation en chaîne. Vous devez retrouver exactement l'intégrande de départ. Pour une intégrale définie, une estimation numérique rapide repère aussi un signe faux ou un facteur oublié.

Intégration par changement de variable : exemples et choix de u

Considérons $\int 2x\cos(x^2)\,dx$ . Aucune règle de base n'intègre directement un tel produit, et pourtant la réponse est courte : $\sin(x^2)+C$ . Dérivez $\sin(x^2)$ avec la règle de dérivation en chaîne et vous obtenez $\cos(x^2)\cdot2x$ , c'est-à-dire l'intégrande. Le changement de variable est la méthode qui trouve ce genre de réponse de façon délibérée. Il applique la règle de dérivation en chaîne à l'envers : repérer une fonction intérieure, la renommer $u$ et laisser sa dérivée absorber le facteur restant.

Ce guide traite six exemples de changement de variable, du cas simple aux facteurs constants, aux logarithmes, aux intégrales définies avec de nouvelles bornes et à un changement de variable qui oblige à exprimer $x$ en fonction de la nouvelle variable. Si la règle de dérivation en chaîne vous semble encore fragile, échauffez-vous d'abord avec nos exemples détaillés de dérivation en chaîne : chaque vérification ci-dessous en dépend.

La règle en une ligne

OpenStax Calculus, volume 1, §5.5 énonce le changement de variable pour les intégrales indéfinies : si $u=g(x)$ et si $F$ est une primitive de $f$ , alors

\int f(g(x))\,g'(x)\,dx=F(g(x))+C.

En pratique, on écrit $u=g(x)$ et $du=g'(x)\,dx$ , on réécrit toute l'intégrale en $u$ , on intègre, puis on revient à la variable de départ. Le test d'un bon choix est simple : après la réécriture, il ne doit plus rester aucun $x$ . S'il en reste un, exprimez-le en fonction de $u$ ou choisissez un autre $u$ .

Comment choisir u

Cherchez une fonction placée à l'intérieur d'une autre : dans une puissance, sous une racine, dans un exposant, ou à l'intérieur d'une fonction trigonométrique ou logarithmique. Demandez-vous ensuite si sa dérivée, éventuellement multipliée par une constante, multiplie le reste.

Intégrande	Fonction intérieure	Sa dérivée	Présente ?
$2x(x^2+1)^5$	$x^2+1$	$2x$	Oui
$xe^{x^2}$	$x^2$	$2x$	Au facteur 2 près
$\frac{\ln x}{x}$	$\ln x$	$\frac{1}{x}$	Oui
$e^{x^2}$	$x^2$	$2x$	Non, le changement de variable échoue

La dernière ligne compte. $\int e^{x^2}\,dx$ ressemble à la deuxième ligne, mais sans le facteur $x$ , $du$ n'a rien à absorber, et cette intégrale n'a même aucune primitive élémentaire. Le changement de variable n'est pas une astuce qui marche toujours ; il marche quand la dérivée est là.

Exemple 1 : la dérivée est déjà présente

Calculez $\int 2x(x^2+1)^5\,dx$ . Posons $u=x^2+1$ , donc $du=2x\,dx$ . Le facteur $2x\,dx$ est exactement $du$ :

\int 2x(x^2+1)^5\,dx=\int u^5\,du=\frac{u^6}{6}+C=\frac{(x^2+1)^6}{6}+C.

Vérification : la dérivée de $\frac{(x^2+1)^6}{6}$ est $(x^2+1)^5\cdot2x$ . Développer $(x^2+1)^5$ et intégrer terme à terme fonctionnerait aussi, mais prendrait bien plus de temps et favoriserait les erreurs de calcul.

Exemple 2 : il manque un facteur constant

Calculez $\int xe^{x^2}\,dx$ . Avec $u=x^2$ , on obtient $du=2x\,dx$ , mais l'intégrande ne contient que $x\,dx$ . Divisons par deux : $x\,dx=\frac{1}{2}\,du$ .

\int xe^{x^2}\,dx=\frac{1}{2}\int e^{u}\,du=\frac{1}{2}e^{x^2}+C.

Sortir $\frac{1}{2}$ de l'intégrale est permis parce que c'est une constante. Vous ne pouvez pas faire de même avec un facteur variable manquant : $\int e^{x^2}\,dx$ ne se sauve pas en écrivant $dx=\frac{du}{2x}$ , car $x$ resterait alors à l'intérieur de l'intégrale en $u$ .

Exemple 3 : un logarithme comme fonction intérieure

Calculez $\int\frac{\ln x}{x}\,dx$ pour $x>0$ . Posons $u=\ln x$ , donc $du=\frac{1}{x}\,dx$ :

\int\frac{\ln x}{x}\,dx=\int u\,du=\frac{u^2}{2}+C=\frac{(\ln x)^2}{2}+C.

Un résultat classique voisin vient de $\int\tan x\,dx=\int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx$ . Posons $u=\cos x$ , donc $du=-\sin x\,dx$ , et l'intégrale devient $-\int\frac{du}{u}=-\ln\lvert\cos x\rvert+C$ . Attention au signe moins : il vient de la dérivée du cosinus, et l'oublier est l'erreur habituelle dans cet exemple.

Exemple 4 : une intégrale définie avec de nouvelles bornes

Calculez $\int_0^1 x(1+x^2)^3\,dx$ . Posons $u=1+x^2$ , donc $du=2x\,dx$ et $x\,dx=\frac{1}{2}\,du$ . Convertissons maintenant les bornes : quand $x=0$ , $u=1$ ; quand $x=1$ , $u=2$ .

\int_0^1 x(1+x^2)^3\,dx=\frac{1}{2}\int_1^2 u^3\,du=\frac{1}{2}\left[\frac{u^4}{4}\right]_1^2=\frac{1}{2}\cdot\frac{16-1}{4}=\frac{15}{8}.

Une fois les bornes exprimées en $u$ , inutile de revenir à x. OpenStax présente précisément cette forme de la règle pour les intégrales définies : les bornes deviennent $g(a)$ et $g(b)$ . L'erreur classique consiste à utiliser le nouvel intégrande avec les anciennes bornes 0 et 1, ce qui donnerait ici $\frac{1}{8}$ , une réponse fausse d'un facteur 15.

Contrôle de vraisemblance : l'intégrande passe de 0 en $x=0$ à 8 en $x=1$ , donc l'aire doit se situer entre 0 et 8, et sans doute plutôt vers le bas, car la courbe ne devient raide que près du bord droit. $\frac{15}{8}=1.875$ convient.

Exemple 5 : exprimer le x restant

Calculez $\int x\sqrt{x+1}\,dx$ . Prenons $u=x+1$ , donc $du=dx$ . Un $x$ reste hors de la racine. Inversons le changement de variable pour l'exprimer : $x=u-1$ .

\int x\sqrt{x+1}\,dx=\int(u-1)u^{1/2}\,du=\int\left(u^{3/2}-u^{1/2}\right)du=\frac{2}{5}(x+1)^{5/2}-\frac{2}{3}(x+1)^{3/2}+C.

Ce retour en arrière est légitime parce que $u=x+1$ s'inverse facilement. Quand un $x$ restant ne s'exprime pas proprement en $u$ , le changement de variable n'est probablement pas le bon.

Exemple 6 : quand le changement de variable n'est pas le bon outil

Essayez $\int xe^{x}\,dx$ . Le candidat évident $u=x$ ne change rien, et $u=e^x$ laisse $x=\ln u$ à l'intérieur, ce qui transforme le problème en $\int\ln u\,du$ , qui demande de toute façon une autre méthode. Ce produit ne contient aucune fonction intérieure accompagnée de sa dérivée. C'est un cas pour l'intégration par parties, où un facteur se simplifie quand on le dérive.

Une bonne habitude : ne passez pas plus d'une minute à tester un ou deux choix de $u$ . Si aucun ne fait disparaître le $x$ , changez d'outil au lieu de forcer.

Erreurs à éviter

Oublier du. Poser $u=x^2$ puis ne remplacer que la fonction intérieure laisse $dx$ dans une intégrale en $u$ . Chaque $dx$ doit devenir un multiple de $du$ .
Diviser par une variable. Seuls les facteurs constants peuvent sortir de l'intégrale.
Anciennes bornes sur une nouvelle intégrale. Convertissez les deux bornes, ou revenez à $x$ avant d'évaluer.
Laisser la réponse en u. Pour une intégrale indéfinie, revenez à la variable de départ pour que la réponse soit une fonction de $x$ , et gardez le $+C$ .
Sauter la vérification. Dériver la réponse prend quelques secondes et repère presque toutes les erreurs de signe et de constante.

Exercices corrigés

$\int 3x^2(x^3-4)^4\,dx$ . Posez $u=x^3-4$ . Réponse : $\frac{(x^3-4)^5}{5}+C$ .
$\int\sin^2x\cos x\,dx$ . Posez $u=\sin x$ . Réponse : $\frac{\sin^3x}{3}+C$ .
$\int e^{3x}\,dx$ . Posez $u=3x$ , donc $dx=\frac{1}{3}\,du$ . Réponse : $\frac{e^{3x}}{3}+C$ .
$\int_1^{e}\frac{\ln x}{x}\,dx$ . Posez $u=\ln x$ , avec les bornes 0 et 1. Réponse : $\frac{1}{2}$ .

Le changement de variable est la première technique à essayer sur presque toutes les intégrales ; c'est pourquoi notre guide des intégrales en fait le cheval de trait du chapitre. Nommez la fonction intérieure, vérifiez que sa dérivée est là, convertissez tout, bornes comprises, et dérivez le résultat avant de passer à la suite.