Intégration par parties : exemples, choix de u et vérification

Considérez $\int x e^{2x}\,dx$. La règle des puissances ne permet pas d'intégrer le produit entier, et intégrer $e^{2x}$ seul laisse le facteur $x$. L'intégration par parties donne une direction utile : dérivez le facteur qui se simplifie, intégrez celui qui reste facile à traiter, puis calculez l'intégrale plus simple qui subsiste.

Cette leçon résout des exemples d'intégration par parties, d'un produit simple aux applications répétées et aux intégrales définies. Si vous souhaitez comprendre le sens d'une intégrale avant sa technique de calcul, commencez par notre guide sur les intégrales. Le guide sur les dérivées est également utile : dériver votre réponse est ici le meilleur moyen de la vérifier.

D'où vient la formule ?

La règle de dérivation d'un produit donne $\frac{d}{dx}(uv)=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$. Intégrez les deux membres, puis passez un terme de l'autre côté. Vous obtenez la formule d'intégration par parties décrite dans OpenStax Calculus, Volume 2 :

$$\int u\,dv=uv-\int v\,du.$$

Ici, $u$ est l'expression que vous choisissez de dériver et $dv$ celle que vous choisissez d'intégrer. Après avoir trouvé $du$ et $v$, la nouvelle intégrale $\int v\,du$ devrait être plus facile que l'initiale. Si elle est plus difficile, revoyez le partage. La formule est une conséquence algébrique de la règle du produit, pas une recette garantissant que tout choix sera utile.

Pour une intégrale indéfinie, n'oubliez pas la constante $C$ à la fin. Le choix d'une primitive de $dv$ pour $v$ pourrait inclure une constante; il est plus simple de prendre un $v$ pratique puis d'ajouter $C$ à la réponse finale.

Choisir u et dv avec une raison

La question utile est : « Quel facteur devient plus simple quand on le dérive ? » Un polynôme comme $x^2$ devient $2x$, puis $2$, puis zéro. Un logarithme devient $1/x$, ce qui se combine souvent bien avec le reste. Les exponentielles ainsi que le sinus ou le cosinus restent faciles à intégrer plusieurs fois.

Le moyen mnémotechnique LIATE classe les facteurs logarithmiques, trigonométriques inverses, algébriques, trigonométriques et exponentiels comme candidats pour $u$. OpenStax le présente comme une heuristique, non comme un théorème. Examinez l'intégrale $\int v\,du$ obtenue au lieu de faire confiance à la première lettre rencontrée. Un autre partage peut être plus court, et certains produits se traitent mieux par substitution.

Par exemple, $\int 2x\cos(x^2)\,dx$ contient une fonction intérieure $x^2$ et sa dérivée $2x$. Posez $t=x^2$. Alors $dt=2x\,dx$ et l'intégrale vaut $\sin(x^2)+C$. Utiliser les parties transformerait une composition simple en travail inutile. En revanche, $x e^{2x}$ ne présente pas une telle correspondance directe entre fonction intérieure et dérivée, tandis que dériver $x$ fait disparaître ce facteur.

Avant de calculer, écrivez un petit tableau à deux colonnes : $u$ et $du$ d'un côté, $dv$ et $v$ de l'autre. Demandez-vous ensuite si le produit de $v$ et $du$ crée une intégrale plus simple. Vous éviterez ainsi l'erreur fréquente qui consiste à choisir pour $u$ un facteur facile à intégrer seulement parce qu'il paraît familier.

Exemple 1 : un facteur affine multiplié par une exponentielle

Calculez $\int x e^{2x}\,dx$. Choisissez $u=x$, donc $du=dx$. Choisissez $dv=e^{2x}\,dx$, ce qui donne $v=\frac12e^{2x}$. Le facteur $\frac12$ compte : dériver $e^{2x}$ produit un deux supplémentaire.

$$\begin{aligned} \int x e^{2x}\,dx &=x\left(\frac12e^{2x}\right)-\int\frac12e^{2x}\,dx\\ &=\frac{x e^{2x}}2-\frac{e^{2x}}4+C\\ &=\frac{e^{2x}}4(2x-1)+C. \end{aligned}$$

Dérivez la réponse factorisée. La règle du produit donne $\frac14[2e^{2x}(2x-1)+2e^{2x}]$, qui se simplifie en $x e^{2x}$. On retrouve exactement l'intégrande. Si la vérification produisait $2x e^{2x}$, l'erreur probable serait l'oubli de $\frac12$ en intégrant $e^{2x}$.

Le choix révèle aussi où s'arrêter : dériver $x$ laisse une constante, et l'intégrale restante ne contient que l'exponentielle. C'est ce que signifie « plus simple » dans cet exemple.

Exemple 2 : intégrer un logarithme

Calculez $\int\ln x\,dx$ pour $x>0$. Aucun produit n'est écrit, mais vous pouvez ajouter un facteur un : $\ln x=1\cdot\ln x$. Choisissez $u=\ln x$ et $dv=dx$. Alors $du=\frac1x\,dx$ et $v=x$.

$$\begin{aligned} \int\ln x\,dx &=x\ln x-\int x\frac1x\,dx\\ &=x\ln x-x+C. \end{aligned}$$

La vérification est courte : $\frac{d}{dx}(x\ln x-x)=\ln x+1-1=\ln x$. Le domaine $x>0$ permet d'écrire $\ln x$ et $1/x$ sans franchir zéro. La primitive plus générale $x\ln|x|-x+C$ convient sur des intervalles qui ne contiennent pas zéro, mais l'énoncé reste ici du côté positif.

Si vous choisissiez $u=1$ et $dv=\ln x\,dx$, il faudrait déjà connaître l'intégrale de départ pour trouver $v$. Ce partage circulaire explique pourquoi le logarithme doit être $u$ dans ce cas.

Exemple 3 : recommencer jusqu'à disparition du polynôme

Cherchons $I=\int x^2\sin x\,dx$. Dériver $x^2$ abaisse son degré, tandis que le sinus reste facile à intégrer. Choisissez d'abord $u=x^2$ et $dv=\sin x\,dx$, d'où $du=2x\,dx$ et $v=-\cos x$ :

$$I=-x^2\cos x+2\int x\cos x\,dx.$$

L'intégrale restante contient encore un produit. Posons $J=\int x\cos x\,dx$ et appliquons de nouveau la méthode : $u=x$, $du=dx$, $dv=\cos x\,dx$, $v=\sin x$. Alors :

$$J=x\sin x-\int\sin x\,dx=x\sin x+\cos x.$$

Remplacez $J$ dans $I$ :

$$\int x^2\sin x\,dx=-x^2\cos x+2x\sin x+2\cos x+C.$$

Dérivez maintenant terme à terme. La dérivée de $-x^2\cos x$ vaut $-2x\cos x+x^2\sin x$. Celle de $2x\sin x$ vaut $2\sin x+2x\cos x$; celle de $2\cos x$ vaut $-2\sin x$. Tous les termes supplémentaires s'annulent, laissant $x^2\sin x$. Cette annulation vérifie le signe obtenu en intégrant le sinus et le facteur deux obtenu en dérivant $x^2$.

La répétition de l'intégration par parties sert lorsque chaque application simplifie un facteur. Si la nouvelle intégrale ressemble plutôt à l'initiale, il reste parfois possible de regrouper l'intégrale initiale d'un côté pour résoudre l'équation. Mais n'appliquez pas la formule sans fin précise.

Exemple 4 : conserver les bornes d'une intégrale définie

Évaluez $\int_0^1 x\ln(1+x)\,dx$. Le facteur $x$ s'intègre facilement, mais dériver $\ln(1+x)$ donne $1/(1+x)$. Choisissez $u=\ln(1+x)$ et $dv=x\,dx$. Alors $du=\frac{1}{1+x}\,dx$ et $v=x^2/2$. La forme définie de l'intégration par parties est $\int_a^b u\,dv=[uv]_a^b-\int_a^b v\,du$.

$$\begin{aligned} \int_0^1 x\ln(1+x)\,dx &=\left[\frac{x^2}{2}\ln(1+x)\right]_0^1 -\frac12\int_0^1\frac{x^2}{1+x}\,dx\\ &=\frac12\ln2-\frac12\int_0^1\left(x-1+\frac1{x+1}\right)dx. \end{aligned}$$

La division polynomiale donne $x^2/(x+1)=x-1+1/(x+1)$. L'intégrale de cette expression entre zéro et un vaut $1/2-1+\ln2=\ln2-1/2$. Donc :

$$\int_0^1 x\ln(1+x)\,dx =\frac12\ln2-\frac12\left(\ln2-\frac12\right)=\frac14.$$

Ce résultat positif est plausible, car $x\ln(1+x)$ est positif ou nul sur $[0,1]$. Comme vérification algébrique indépendante, une primitive est $\frac{x^2-1}{2}\ln(1+x)-\frac{x^2}{4}+\frac{x}{2}$; sa différence entre un et zéro donne elle aussi $1/4$. Dans une intégrale définie, reportez les mêmes bornes dans la nouvelle intégrale. La réponse numérique finale ne porte pas de $+C$.

Trois exercices corrigés

1. Un polynôme et une exponentielle. Calculez $\int 3x e^x\,dx$.

Prenez $u=3x$ et $dv=e^x\,dx$. Alors $du=3\,dx$ et $v=e^x$, donc :

$$\int 3x e^x\,dx=3x e^x-3\int e^x\,dx=3e^x(x-1)+C.$$

Dérivez $3e^x(x-1)$ : vous obtenez $3e^x(x-1)+3e^x=3xe^x$. Le résultat correspond à l'intégrande initial.

2. Un logarithme avec un facteur. Calculez $\int x\ln x\,dx$ pour $x>0$.

Choisissez $u=\ln x$ et $dv=x\,dx$. Alors $du=dx/x$ et $v=x^2/2$ :

$$\int x\ln x\,dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac12\int x\,dx =\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C.$$

La dérivation donne $x\ln x+x/2-x/2=x\ln x$. Garder visibles les deux termes $x/2$ rend cette vérification plus facile à suivre.

3. Une intégrale définie. Évaluez $\int_0^{\pi/2}x\cos x\,dx$.

Prenez $u=x$ et $dv=\cos x\,dx$, donc $du=dx$ et $v=\sin x$. Appliquez les bornes après l'étape d'intégration par parties :

$$\begin{aligned} \int_0^{\pi/2}x\cos x\,dx &=[x\sin x]_0^{\pi/2}-\int_0^{\pi/2}\sin x\,dx\\ &=\frac\pi2-[-\cos x]_0^{\pi/2}\\ &=\frac\pi2-1. \end{aligned}$$

$x$ et $\cos x$ sont tous deux positifs ou nuls sur cet intervalle, et $\pi/2-1$ est positif. Dériver $x\sin x+\cos x$ donne $x\cos x$, ce qui vérifie la primitive utilisée pour calculer la différence aux bornes.

Pour vous entraîner à choisir des primitives, utilisez les exercices d'intégration de Math Zen. Pour une application plus tardive de méthodes d'intégration répétées, consultez notre guide sur les transformées de Laplace.