Dérivées partielles : exercices corrigés étape par étape

Trouvez les deux dérivées partielles de $f(x,y)=x^2y+3y^2$. Si vous obtenez $2x$ et $6y$, vous avez perdu un coefficient et un terme entier. Tenir une variable constante signifie la traiter comme un nombre, et non supprimer tous les termes qui la contiennent. Les bonnes réponses sont $f_x=2xy$ et $f_y=x^2+6y$.

Cette série d'exercices part de cette erreur, puis aborde les produits, les fonctions composées, les dérivées croisées et les vérifications numériques. Essayez chaque problème avant de lire sa solution. Indiquez à côté de votre première ligne quelle variable reste fixe : cette petite annotation aide à repérer bien des réponses fausses.

Pour visualiser le calcul, lisez le guide intuitif des dérivées partielles. Ici, nous travaillons surtout l'algèbre et la vérification des résultats, sans reprendre l'introduction aux surfaces et aux gradients.

La règle à écrire au-dessus de votre calcul

Pour $f_x$, dérivez par rapport à $x$ en traitant $y$ comme une constante. Pour $f_y$, inversez les rôles. La définition des dérivées partielles dans OpenStax indique explicitement l'entrée fixe dans le quotient différentiel. Appliquez ensuite les règles ordinaires de dérivation à la variable qui change.

Par exemple, lorsque $y$ est fixé, $y^2$ est une constante, mais $xy^2$ est une constante multipliée par $x$. Leurs dérivées par rapport à $x$ sont donc différentes :

$$\frac{\partial}{\partial x}(y^2)=0, \qquad \frac{\partial}{\partial x}(xy^2)=y^2.$$

Ne remplacez pas les deux coordonnées par leurs valeurs avant de dériver. Cela transforme l'expression en un nombre et efface la variation à proximité du point que vous voulez calculer. Dérivez d'abord, puis évaluez. Remplacer seulement la coordonnée tenue fixe est possible et fournit une vérification indépendante utile.

Problème 1 : polynôme à deux entrées indépendantes

Trouvez $f_x$ et $f_y$ pour

$$f(x,y)=2x^3y-5xy^2+7y,$$

puis évaluez-les en $(1,2)$.

Par rapport à x : gardez $y$ fixe. Les coefficients de $x^3$ et de $x$ sont $2y$ et $-5y^2$. Le dernier terme ne varie pas :

$$f_x=6x^2y-5y^2.$$

Par rapport à y : gardez $x$ fixe. Le premier terme est linéaire en $y$, le deuxième quadratique et le troisième linéaire :

$$f_y=2x^3-10xy+7.$$

Au point demandé,

$$f_x(1,2)=12-20=-8, \qquad f_y(1,2)=2-20+7=-11.$$

Les deux dérivées sont négatives à ce point. Leur signe ne détermine pas la valeur de la fonction : hauteur et pente sont des grandeurs distinctes. Pour vérifier séparément la première réponse, posez $y=2$ dans la fonction initiale. Vous obtenez $4x^3-20x+14$, dont la dérivée ordinaire est $12x^2-20$. En $x=1$, elle vaut encore $-8$.

Problème 2 : produit et exponentielle

Trouvez les deux dérivées partielles de

$$g(x,y)=x^2e^{xy}.$$

Pour $g_x$, les deux facteurs dépendent de $x$ : appliquez la règle du produit. L'exponentielle demande aussi la règle de la chaîne : $y$ étant fixé, la dérivée de $xy$ est $y$.

$$g_x=2xe^{xy}+x^2e^{xy}y =e^{xy}(2x+x^2y).$$

Pour $g_y$, le facteur $x^2$ est constant. Seule l'exponentielle varie, et la dérivée de son exposant par rapport à $y$ est $x$ :

$$g_y=x^2e^{xy}x=x^3e^{xy}.$$

En $(1,0)$, on obtient $g_x=2$ et $g_y=1$. Une erreur fréquente est $g_x=2xe^{xy}$ : on a dérivé le premier facteur en oubliant que le second dépend aussi de $x$. Une autre consiste à remplacer la dérivée intérieure par 1 dans les deux calculs, ce qui efface la différence entre $x$ et $y$.

Si vous voulez mieux repérer la fonction intérieure, les exemples sur la règle de la chaîne séparent chaque niveau avant de recomposer les facteurs.

Problème 3 : logarithme, fractions et domaine

Soit

$$h(x,y)=\ln(x^2+2y^2).$$

Le logarithme exige $x^2+2y^2>0$ : l'origine est donc exclue. Partout ailleurs, dérivez l'expression intérieure puis divisez par celle-ci :

$$h_x=\frac{2x}{x^2+2y^2}, \qquad h_y=\frac{4y}{x^2+2y^2}.$$

En $(2,1)$, le dénominateur vaut 6 : les deux dérivées valent donc $2/3$. Cette égalité ne concerne que ce point. Elle ne signifie pas que les deux fonctions dérivées sont identiques.

Le dénominateur donne un avertissement utile. Ni la fonction initiale ni ces formules n'ont de valeur en $(0,0)$. Un calcul qui y donne zéro a remplacé les coordonnées dans une fraction non définie. Vérifiez le domaine avant d'évaluer, surtout quand l'exercice combine racines, logarithmes et quotients.

Problème 4 : dérivées croisées dans les deux ordres

Prenez

$$p(x,y)=x^2y^3+\sin(xy).$$

Dans ce guide, $p_{xy}$ signifie dériver d'abord par rapport à $x$, puis par rapport à $y$. Écrivez la dérivée intermédiaire pour que l'ordre soit sans ambiguïté :

$$p_x=2xy^3+y\cos(xy).$$

Dérivez maintenant cette expression par rapport à $y$. Le second terme exige une règle du produit :

$$p_{xy}=6xy^2+\cos(xy)-xy\sin(xy).$$

Inversez l'ordre :

$$p_y=3x^2y^2+x\cos(xy),$$ $$p_{yx}=6xy^2+\cos(xy)-xy\sin(xy).$$

Les résultats coïncident. Ici, toutes les dérivées nécessaires sont continues : cette égalité est donc attendue d'après le théorème des dérivées croisées présenté par OpenStax. N'en faites pas une règle sans condition pour toute fonction imaginable. Dans un exercice ordinaire sur une fonction régulière, c'est une excellente vérification; en un point où la régularité manque, les hypothèses du théorème comptent.

Problème 5 : une troisième variable reste aussi fixe

Pour

$$q(x,y,z)=xy^2+z\cos x,$$

trouvez les trois dérivées partielles premières. En gardant deux entrées fixes à chaque fois, on obtient

$$q_x=y^2-z\sin x, \qquad q_y=2xy, \qquad q_z=\cos x.$$

En $(0,2,3)$, les valeurs sont 4, 0 et 1. Le zéro du milieu ne signifie pas que la fonction ne dépend jamais de $y$. Il signifie que le taux de variation du premier ordre dans cette direction est nul à ce point précis. Poser $x=0$ dans l'expression initiale confirme que la tranche est simplement $q=3$ lorsque $z=3$.

Vérification numérique contre un facteur oublié

Revenez au problème 1 en $(1,2)$. Gardez $y=2$ fixe, choisissez un petit nombre positif $s$ et calculez la différence centrée

$$\frac{f(1+s,2)-f(1-s,2)}{2s}.$$

Pour ce polynôme, le développement du numérateur donne exactement $-8+4s^2$. On obtient les contrôles suivants :

C'est une vérification d'une réponse symbolique, pas une preuve de la formule de dérivation. Elle ne contrôle en outre que le point choisi. Si vous modifiez accidentellement les deux coordonnées dans le numérateur, vous mesurez la variation sur un autre chemin. En calcul flottant, un pas extrêmement petit peut provoquer une erreur d'annulation ; davantage de zéros n'améliore pas toujours le test.

Diagnostiquer la mauvaise réponse avant de recommencer

Utilisez ce tableau pour corriger l'étape précise plutôt que reprendre toute l'algèbre. Si les règles ordinaires de dérivation posent encore problème, revenez à l'introduction aux dérivées.

Deux exercices de plus, puis comparez votre travail

Exercice A. Trouvez $r_x$ et $r_y$ pour $r(x,y)=3x^2y+y^4$ et évaluez-les en $(2,-1)$.

Les dérivées sont $r_x=6xy$ et $r_y=3x^2+4y^3$. Au point demandé, elles valent $-12$ et $8$. Le terme $y^4$ disparaît uniquement de la dérivée en x. Dans celle en y, il contribue $4y^3=-4$.

Exercice B. Trouvez les deux dérivées partielles premières de $s(x,y)=\cos(2x-y)$ et évaluez-les en $(0,0)$.

La règle de la chaîne donne $s_x=-2\sin(2x-y)$ et $s_y=\sin(2x-y)$. Le signe positif de la seconde réponse vient de deux signes négatifs : dériver le cosinus donne le premier ; dériver $2x-y$ par rapport à $y$ donne le second. Les deux valeurs à l'origine sont nulles, même si les formules diffèrent.

Quand ces calculs vous semblent naturels, poursuivez avec les exercices sur les dérivées partielles. Notez brièvement le type d'erreur corrigée : entrée fixe, règle du produit, dérivée intérieure ou substitution prématurée. Cette note vous indique quel type d'exercice refaire ensuite.