Les maths à réviser avant l'AP Physics 1 ou le A-Level Physics

Un élève peut expliquer clairement la deuxième loi de Newton, tracer un diagramme des forces correct, poser la bonne équation, et perdre quand même le point. L'erreur survient deux lignes plus tard : une formule mal réarrangée, un sinus utilisé à la place d'un cosinus, ou une vitesse en kilomètres par heure multipliée par un temps en secondes.

Demandez à un professeur de physique où partent les points, et la réponse est rarement : « ils n'ont pas compris la physique ». Ce sont l'algèbre, la trigonométrie et les unités. Ce sont des compétences mathématiques, et elles peuvent s'entraîner séparément de la physique qui les utilise.

Cet article recense les mathématiques derrière la première année de physique, sujet par sujet, afin que vous puissiez travailler exactement la compétence qui vous fait défaut plutôt que de relire un chapitre déjà compris. Il s'adresse aux élèves qui préparent l'AP Physics 1 ou le A-Level Physics, ainsi qu'à quiconque démarre l'application sœur Physics Zen et se demande pourquoi l'algèbre continue de le piéger.

Réarranger les formules : la compétence utile dans chaque sujet

Les formules de physique sont presque jamais demandées sous la forme où elles sont imprimées. Le formulaire donne $v = u + at$ ; la question demande le temps. Il donne $F = ma$ ; la question fournit la force et l'accélération et veut la masse.

Réarranger relève de l'algèbre ordinaire : appliquer la même opération aux deux membres jusqu'à isoler l'inconnue. Les erreurs sont tout aussi ordinaires. Soustraire un terme d'un seul côté. Diviser un seul terme d'une somme au lieu de la somme entière. Déplacer une grandeur au carré en oubliant la racine carrée de l'autre côté.

L'accélération centripète, $a = \frac{v^2}{r}$, en est un bon exemple. Isoler le rayon revient à multiplier les deux membres par $r$ puis à diviser par $a$, ce qui donne $r = \frac{v^2}{a}$. Isoler la vitesse demande une racine carrée à la fin, $v = \sqrt{ar}$. Les élèves qui arrivent à $v = \frac{ar}{1}$ n'ont pas commis d'erreur de physique ; ils ont sauté une étape d'algèbre.

Si tout cela vous semble lent, le sujet algèbre de Math Zen entraîne à simplifier, résoudre et réarranger avec de nouveaux nombres à chaque fois, et le guide de l'algèbre explique pourquoi ces étapes sont autorisées. Dans Physics Zen, la même compétence apparaît d'emblée dans le sujet gratuit Cinématique, où chaque problème vous tend une équation à inverser.

Les équations du second degré arrivent dès que la gravité s'en mêle

L'accélération uniforme produit l'équation

$$s = ut + \tfrac{1}{2}at^2$$

Dès que l'inconnue est le temps, c'est une équation du second degré. Une balle lancée vers le haut à $15\ \text{m/s}$ depuis une corniche située $20\ \text{m}$ au-dessus du sol atteint le sol quand

$$0 = 20 + 15t - 4.9t^2$$

La formule du second degré donne deux racines, environ $t = 4.07\ \text{s}$ et $t = -1.00\ \text{s}$. Seule la racine positive décrit un instant postérieur au lancer. La physique vous dit quelle racine garder ; l'algèbre vous dit quelles sont les racines. Les deux étapes doivent être justes.

Les erreurs mathématiques habituelles ici sont des erreurs de signe dans la formule, l'utilisation de $b$ au lieu de $-b$, et des erreurs de calcul sous la racine carrée. Chacune d'elles est travaillée dans Résoudre des équations sur Math Zen, et le guide des équations du second degré montre pourquoi la formule fonctionne. Les problèmes de projectile et de chute libre dans la cinématique de Physics Zen l'utilisent ensuite avec de nouvelles vitesses de lancement à chaque fois.

La trigonométrie transforme une pente en deux nombres

Les forces sur un plan incliné, la tension dans une corde inclinée, la vitesse de lancement d'un projectile : tout cela doit être décomposé en composantes. C'est de la trigonométrie du triangle rectangle, rien de plus avancé.

La règle qui évite la plupart des erreurs : la composante adjacente à l'angle connu utilise le cosinus ; la composante opposée utilise le sinus. Sur un plan incliné d'angle $\theta$, la composante du poids le long de la pente est $mg\sin\theta$ et la composante qui presse contre la pente est $mg\cos\theta$.

Vérifiez avec un cas limite. À $\theta = 0$, la surface est plate et rien ne devrait tirer le bloc le long d'elle. Comme $\sin 0 = 0$, la version avec le sinus est cohérente. Si vous aviez écrit $mg\cos\theta$ pour la force le long de la pente, le cas plat donnerait un $mg$ complet tirant sur le côté, ce qui est manifestement faux. Cette vérification de trente secondes repère l'erreur de trigonométrie la plus fréquente en mécanique.

Math Zen propose un sujet trigonométrie dédié exactement à cela, et le sujet vecteurs couvre la recomposition des composantes. Lisez d'abord le guide de trigonométrie si le sinus et le cosinus vous semblent encore un tableau de valeurs plutôt que des coordonnées sur un cercle. Côté physique, le plan incliné est la dernière compétence de la dynamique de Physics Zen.

Puissances, racines et le carré inverse

L'énergie cinétique vaut $\tfrac{1}{2}mv^2$. L'accélération centripète vaut $\frac{v^2}{r}$. Le champ gravitationnel vaut $\frac{GM}{r^2}$. La physique regorge de carrés au numérateur et au dénominateur, et chacun d'eux crée une question de raisonnement proportionnel.

Doublez la vitesse et l'énergie cinétique quadruple. Doublez le rayon orbital et la gravité de surface chute au quart. Triplez la vitesse sur la même courbe et la force centripète nécessaire est multipliée par neuf. Les examinateurs adorent ce genre de question car le calcul est trivial, mais pas le raisonnement.

Deux réflexes mathématiques comptent ici. D'abord, savoir comment une puissance réagit lorsqu'on multiplie la base : si $v$ est multiplié par $k$, alors $v^2$ est multiplié par $k^2$. Ensuite, être à l'aise avec la notation scientifique, car $G = 6.67 \times 10^{-11}$ et la masse de la Terre, $5.97 \times 10^{24}\ \text{kg}$, seront multipliées ensemble dans le même problème.

La compétence puissances et racines sur Math Zen entraîne les deux, et le guide des exposants explique ce que signifie réellement un exposant négatif. La gravitation se trouve dans mouvement circulaire et gravitation sur Physics Zen.

Proportions, rapports et conversions d'unités

Une voiture roulant à $72\ \text{km/h}$ freine pendant $4\ \text{s}$. Avant de faire la moindre physique, cette vitesse doit devenir $20\ \text{m/s}$. Diviser par $3.6$ n'est pas un fait de physique ; ce sont $1000$ mètres par kilomètre divisés par $3600$ secondes par heure.

La conversion d'unités relève du raisonnement proportionnel. Il en va de même pour les questions de masse volumique, les questions du type « combien de fois plus », et tout problème donnant deux grandeurs dans un rapport fixe. L'erreur type est toujours la même : multiplier alors qu'il fallait diviser, ou ne convertir qu'une seule des deux unités d'une grandeur composée comme $\text{km/h}$.

La compétence rapports et proportions sur Math Zen traite directement ce point, avec une explication plus complète dans le guide des rapports. Le mouvement uniforme dans Physics Zen, toute première compétence du sujet gratuit Cinématique, demande la même conversion dans presque chaque problème.

Lire des graphiques : pente et aire

Les graphiques vitesse-temps sont la représentation la plus souvent évaluée en première année de physique. La pente est l'accélération. L'aire entre la droite et l'axe des temps est le déplacement. Les graphiques position-temps donnent la vitesse comme pente. La physique consiste à savoir où se trouve chaque grandeur ; les mathématiques consistent à lire une pente et à calculer une aire correctement.

Les erreurs courantes consistent à lire la hauteur d'un graphique alors que la question porte sur sa pente, et à oublier que l'aire sous l'axe compte comme un déplacement négatif. Ce sont des erreurs de lecture mathématique plutôt que des erreurs de physique.

Le sujet analyse de graphiques de Math Zen entraîne aux ordonnées à l'origine, aux pentes et au comportement des graphiques sans aucune physique attachée. Si vous passez ensuite à un cours fondé sur le calcul différentiel, le guide des dérivées et le guide des intégrales montrent que « pente » et « aire » sont les mêmes idées rendues exactes.

Deux inconnues demandent deux équations

Certains problèmes ne se résolvent pas une équation à la fois. Une collision élastique conserve à la fois la quantité de mouvement et l'énergie cinétique, ce qui donne deux équations pour deux vitesses finales. Un circuit à deux piles demande la loi des mailles de Kirchhoff écrite pour deux mailles. Un problème de projectile peut combiner une équation horizontale et une équation verticale qui partagent le temps de vol.

Ce sont des systèmes d'équations, et l'erreur type consiste à substituer dans la mauvaise équation ou à perdre le fil de la variable déjà éliminée. La compétence systèmes linéaires sur Math Zen entraîne la mécanique de la substitution et de l'élimination. Sur Physics Zen, la même structure apparaît dans quantité de mouvement et collisions et dans les circuits.

Un programme d'entraînement qui combine les deux applications

Le tableau ci-dessous associe chaque sujet de physique à la compétence mathématique qui y échoue le plus souvent.

Sujet de physique (Physics Zen)	Compétence mathématique qui échoue le plus (Math Zen)
Mouvement uniforme	Rapports et conversion d'unités
Accélération uniforme, chute libre	Réarranger des formules, équations du second degré
Mouvement de projectile	Trigonométrie, équations du second degré, systèmes d'équations
Lois de Newton, frottement, plan incliné	Trigonométrie, résolution d'équations linéaires
Travail, énergie, puissance	Puissances et racines, raisonnement proportionnel
Quantité de mouvement et collisions	Systèmes linéaires
Mouvement circulaire et gravitation	Carrés dans des fractions, notation scientifique
Questions de graphiques, tous sujets confondus	Pente, aire, comportement des graphiques

Une routine efficace reste courte. Passez dix minutes sur la compétence mathématique de la colonne de droite avec des problèmes générés à chaque fois, puis passez au sujet de physique à gauche et résolvez jusqu'à ce que l'algèbre cesse d'être ce que vous remarquez. Les deux applications génèrent de nouveaux nombres à chaque fois, donc vous ne pouvez pas mémoriser des réponses, seulement des méthodes.

Physics Zen est développée par la même équipe que Math Zen et suit la même boucle : un problème généré, une vérification instantanée, une solution détaillée, et la théorie juste à côté de l'exercice. La cinématique est gratuite de bout en bout. L'application est disponible sur iPhone et Android. Pour le point de vue inverse, le blog de Physics Zen recense les erreurs de physique qui sont en réalité des erreurs de mathématiques et ce qu'il faut travailler pour chacune.

Vous n'avez pas besoin de plus de physique pour corriger un signe oublié. Il vous faut cinq minutes de la bonne algèbre, et la physique que vous comprenez déjà obtiendra enfin la note qu'elle mérite.