Dérivation implicite : exemples corrigés et vérification des tangentes

L'équation $x^2+y^2=25$ décrit un cercle. Elle ne donne pas $y$ au moyen d'une formule unique en $x$ : sur les moitiés supérieure et inférieure, une même valeur de $x$ correspond généralement à deux valeurs de $y$. Pourtant, on peut trouver la pente au point choisi sur chacune des deux moitiés. La dérivation implicite consiste à dériver la relation elle-même, en considérant localement $y$ comme une fonction de $x$. Nous allons détailler le calcul, vérifier chaque point dans son équation de départ et voir précisément où la formule habituelle de la pente cesse de s'appliquer.

Si vous souhaitez d'abord revoir la notion de pente, commencez par notre guide sur la dérivée. Les exemples de règle de chaîne expliquent pourquoi la dérivée d'une expression en $y$ comporte un facteur supplémentaire. Ici, nous utilisons ces règles dans des équations où figurent les deux variables.

Que change une variable y non isolée ?

Pour une fonction explicite telle que $y=x^2+1$, la dérivation donne $dy/dx=2x$. Dans une relation comme $x^2+y^2=25$, les deux coordonnées varient lorsque le point parcourt la courbe. Là où l'on peut écrire localement $y(x)$, le terme $y^2$ signifie donc $(y(x))^2$. La règle de chaîne donne

$$\frac{d}{dx}(y^2)=2y\frac{dy}{dx}.$$

On oublie facilement le facteur $dy/dx$. Ce n'est pas une décoration : le carré change parce que son entrée $y$ change, et $y$ change avec $x$. Pour la même raison, $d(y^3)/dx=3y^2(dy/dx)$ et $d(\sin y)/dx=\cos y(dy/dx)$. Le terme mixte $xy$ demande aussi la règle du produit : $d(xy)/dx=y+x(dy/dx)$. La présentation de Paul Garrett sur Math Insight associe ces deux règles dans un exemple.

La méthode reste la même d'un exemple à l'autre :

1. Vérifiez que le point demandé satisfait l'équation initiale. Une pente de la courbe en un point extérieur n'a pas de sens.
2. Dérivez chaque terme par rapport à $x$. Ajoutez $dy/dx$ chaque fois que le terme dérivé dépend de $y$.
3. Regroupez les termes en $dy/dx$, factorisez et ne divisez que si le facteur est non nul.
4. Remplacez $x$ et $y$ par les coordonnées du point, puis confrontez la pente à la forme locale, à une branche explicite ou à l'équation de la tangente.

N'insérez pas les coordonnées avant de dériver. Elles deviendraient des constantes et vous effaceriez précisément la variation que vous cherchez à mesurer. Gardez aussi l'équation avant la division : elle peut révéler une tangente verticale lorsque la formule sous forme de quotient a un dénominateur nul.

Exemple 1 : cercle et tangente ordinaire

Cherchons la pente de $x^2+y^2=25$ en $(3,4)$. Vérifions d'abord le point : $3^2+4^2=9+16=25$. Il appartient au cercle. Dérivons les deux membres en considérant $y$ comme $y(x)$ :

$$2x+2y\frac{dy}{dx}=0.$$

Passons $2x$ de l'autre côté et divisons par $2y$, à condition que $y\ne0$ :

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y},\qquad y\ne0.$$

Au point $(3,4)$, la pente vaut $-3/4$. L'équation de la tangente passant par le point est $y-4=-(3/4)(x-3)$. Lorsque l'on avance légèrement vers la droite sur la moitié supérieure du cercle, la hauteur baisse : le signe négatif est cohérent. On peut vérifier le calcul sans faire confiance à la dérivation implicite. La branche supérieure s'écrit $y=\sqrt{25-x^2}$ pour $-5<x<5$ et sa dérivée est $-x/\sqrt{25-x^2}$. Pour $x=3$, elle donne également $-3/4$. La branche inférieure a un autre $y$ et donc une autre pente pour le même $x$.

Cette vérification par branche est utile, car le cercle ne définit pas une fonction globale unique $y(x)$. La dérivation implicite donne la pente de la branche locale passant par le point précisé. On ne peut pas supprimer la coordonnée $y$ lorsque plusieurs points partagent la même abscisse.

Une courbe, deux types de tangentes

Gardons le même cercle et passons en $(5,0)$. Ce point appartient aussi à la courbe : $5^2+0^2=25$. Le remplacer dans $-x/y$ reviendrait à diviser par zéro. Il serait faux d'annoncer une pente numérique ou de conclure que la courbe n'a pas de tangente. Revenons à l'équation avant de diviser :

$$2x+2y\frac{dy}{dx}=0.$$

En $(5,0)$, une valeur finie de $dy/dx$ devrait satisfaire $10+0(dy/dx)=0$. Aucune valeur finie ne le peut. Géométriquement, le cercle atteint son point le plus à droite et repart vers la gauche. Sa tangente est la droite verticale $x=5$, tandis que $dy/dx$ n'est pas définie. Le cercle demeure une courbe lisse : c'est sa représentation locale comme fonction dérivable de $x$ qui échoue en ce point.

On peut également inverser les rôles et considérer localement $x$ comme fonction de $y$. Alors $2x(dx/dy)+2y=0$, d'où $dx/dy=-y/x$ si $x\ne0$. En $(5,0)$, on trouve $dx/dy=0$. Lorsque $y$ varie un peu, $x$ ne varie qu'à un ordre supérieur : c'est bien l'image d'une tangente verticale. En $(0,5)$, les rôles s'inversent : $dy/dx=0$ et la tangente est horizontale. Ces observations décrivent la géométrie; elles n'autorisent aucune division par zéro.

Exemple 2 : un produit et trois termes

Calculons $dy/dx$ pour $x^2+xy+y^2=7$ au point $(1,2)$. Le contrôle initial donne $1+2+4=7$. Dérivons terme par terme. $x^2$ donne $2x$; le produit $xy$ donne $y+x(dy/dx)$; enfin $y^2$ donne $2y(dy/dx)$ :

$$2x+y+x\frac{dy}{dx}+2y\frac{dy}{dx}=0.$$

Regroupons les termes en dérivée et factorisons :

$$(x+2y)\frac{dy}{dx}=-(2x+y),\qquad \frac{dy}{dx}=-\frac{2x+y}{x+2y}\quad\text{si }x+2y\ne0.$$

Au point $(1,2)$, le numérateur vaut $4$ et le dénominateur $5$ : la pente vaut donc $-4/5$. La tangente est $y-2=-(4/5)(x-1)$. Remplaçons la pente directement dans l'équation dérivée non divisée : $2(1)+2+1(-4/5)+2(2)(-4/5)=4-4=0$. Cette substitution vérifie à la fois le terme issu de la règle du produit et le quotient final. Si vous aviez dérivé $xy$ seulement en $x(dy/dx)$, le terme isolé $y$ aurait disparu et la pente serait erronée.

La condition $x+2y\ne0$ fait partie du résultat, même si elle est satisfaite au point étudié. Si le dénominateur s'annule ailleurs sur la courbe, il faut examiner séparément l'équation avant division, comme pour le cercle. Une fraction symbolique ne résout pas à elle seule toutes les questions de tangente.

Exemple 3 : une relation cubique

Étudions $y^3+xy=2$ en $(1,1)$. Contrôle : $1^3+1\cdot1=2$. Dérivons en utilisant la règle de chaîne sur le cube et la règle du produit sur $xy$ :

$$3y^2\frac{dy}{dx}+y+x\frac{dy}{dx}=0.$$

Après factorisation,

$$(3y^2+x)\frac{dy}{dx}=-y,\qquad \frac{dy}{dx}=-\frac{y}{3y^2+x}\quad\text{si }3y^2+x\ne0.$$

En $(1,1)$, la pente vaut $-1/4$, donc la tangente est $y-1=-(1/4)(x-1)$. Replaçons le résultat dans l'équation dérivée : $3(-1/4)+1+(-1/4)=0$. Cette vérification rapide repère un facteur trois oublié ou une erreur de signe. Elle ne prouve pas toute la déduction à elle seule, mais constitue un dernier filtre utile.

Repérer l'erreur du facteur manquant

Imaginons que quelqu'un dérive $x^2+y^2=25$ en écrivant $2x+2y=0$. Ce n'est pas une équation de pente tangente. Le calcul traite $y$ comme si $dy/dx=1$, alors que c'est la relation du cercle qui détermine comment $y$ réagit à $x$. En $(3,4)$, cela donnerait $6+8=0$, contradiction immédiate. La bonne dérivée, $2x+2y(dy/dx)=0$, donne au contraire $6+8(-3/4)=0$.

Un deuxième piège consiste à diviser puis à oublier la condition. La formule $-x/y$ vaut lorsque $y\ne0$; elle ne supprime pas les extrémités $(\pm5,0)$ du cercle. Conservez ensemble la relation initiale, le contrôle du point et l'équation dérivée non divisée. Ces trois éléments indiquent ce qui se passe lorsque la fraction n'est pas définie.

Si les grandeurs varient avec le temps plutôt qu'avec $x$, la même idée mène aux taux liés : utilisez les dérivées temporelles adaptées et vérifiez les unités. Vous pouvez vous exercer aux règles sous-jacentes dans le thème des dérivées de Math Zen. Pour vous tester, reprenez l'exemple 2 avec un autre point valide, sans oublier de vérifier d'abord qu'il satisfait l'équation.

Questions fréquentes

Pourquoi faut-il $dy/dx$ chaque fois que l'on dérive $y$ ? Parce que $y$ varie avec $x$ sur la branche locale. La règle de chaîne multiplie la dérivée par rapport à $y$ par $dy/dx$. Par exemple, $d(y^3)/dx=3y^2(dy/dx)$.

Puis-je isoler $y$ avant de dériver ? Oui, si c'est pratique et si vous choisissez la bonne branche et le bon domaine. La branche supérieure du cercle donne la même pente en $(3,4)$. Mais isoler $y$ peut être difficile ou produire plusieurs branches; dériver directement la relation évite ce détour.

Une valeur de $dy/dx$ non définie signifie-t-elle toujours tangente verticale ? Non. Une fraction non définie invite à regarder la courbe initiale et l'équation dérivée non divisée. En $(5,0)$ sur ce cercle, la géométrie et $dx/dy=0$ confirment la tangente verticale. Les points singuliers d'autres courbes peuvent se comporter autrement.

Quel est le contrôle le plus rapide après le calcul ? Vérifiez que le point appartient à la courbe, remplacez la pente dans l'équation dérivée non divisée et contrôlez chaque dénominateur utilisé pour isoler $dy/dx$. Ces trois vérifications repèrent des erreurs différentes.