Taux liés : échelle, cône et ombre en exemples corrigés

Une échelle de dix pieds glisse le long d'un mur pendant que son pied s'en éloigne. La longueur et la vitesse du pied sont connues; on cherche la vitesse du sommet. Le dessin et Pythagore fournissent une équation, mais la réponse exige de la dériver par rapport au temps. Les deux distances changent, alors que la longueur de l'échelle reste fixe.

Nous suivrons les cinq mêmes indications dans trois géométries : variables, relation permanente, taux connu et instant, taux demandé, contrôle du signe et des unités. Elles évitent de remplacer les valeurs trop tôt ou de confondre deux vitesses sur un même schéma. La méthode suit OpenStax Calculus, volume 1, §4.1; nos valeurs numériques sont originales. Pour revoir la notion de dérivée, lisez notre guide des dérivées.

Nommer les grandeurs variables avant de calculer

Choisissez le temps $t$ et notez chaque longueur variable comme une fonction, par exemple $x(t)$ et $y(t)$. Fixez les directions positives. Si $x$ est la distance au mur et que le pied s'en éloigne à $2\text{ ft/s}$, alors $dx/dt=+2\text{ ft/s}$. Une hauteur qui baisse a $dy/dt<0$. Si l'énoncé demande « à quelle vitesse descend-il ? », la rapidité positive vaut $|dy/dt|$.

Écrivez une relation valable durant le mouvement. Dérivez-la par rapport à $t$ pendant que les grandeurs restent des variables. C'est la règle de la chaîne : $d[x(t)^2]/dt=2x\,dx/dt$. Remplacez seulement ensuite les dimensions de l'instant voulu et les taux connus. Contrôlez signe et dimensions : une dérivée de longueur a des unités longueur/temps, une dérivée de volume des unités volume/temps.

Indication	Question
Variables	Qu'est-ce qui change et quel sens est positif ?
Relation	Quelle équation vaut à chaque instant pertinent ?
Données instantanées	Quelles longueurs et quels taux signés sont connus maintenant ?
Taux demandé	Quelle dérivée faut-il isoler ?
Contrôle	Sens et unités sont-ils cohérents ?

Une feuille d'exercices de Cornell applique cette idée générale à plusieurs géométries. Le tableau permet de conserver l'interprétation visible, au-delà de l'équation dérivée.

Exemple 1 : l'échelle qui glisse

Variables. $x(t)$ est la distance du pied au mur et $y(t)$ la hauteur du sommet, en pieds. Une distance ou une hauteur croissante est positive. L'échelle rigide mesure $10\text{ ft}$. À l'instant étudié, $x=6\text{ ft}$ et $dx/dt=+2\text{ ft/s}$. Il faut trouver $dy/dt$.

Relation. Le triangle rectangle donne $x^2+y^2=100$. Lorsque $x=6$, la hauteur positive est $y=\sqrt{100-36}=8\text{ ft}$. Ne fixez pourtant pas $x=6$ dans l'équation avant de dériver : $x$ variait avant cet instant et varie encore après.

Dérivation puis remplacement. Le membre droit étant constant,

$$2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=0, \qquad \frac{dy}{dt}=-\frac{x}{y}\frac{dx}{dt}.$$

Donc $dy/dt=-(6/8)(2)=-1.5\text{ ft/s}$. Réponse et contrôle. La vitesse verticale signée est négative puisque la hauteur baisse. La rapidité vers le bas est $1.5\text{ ft/s}$. Le rapport $x/y$ est sans dimension, et le produit garde donc les unités de $dx/dt$. Un $dy/dt$ positif avec ces directions révélerait une erreur de signe.

Quand l'échelle approche du sol, $y$ diminue et le module de la formule idéale augmente. C'est une propriété du modèle d'une échelle rigide avec vitesse horizontale imposée, pas une prédiction d'un mouvement réel maintenu indéfiniment. Notre réponse ne vaut que pour l'instant demandé.

Exemple 2 : remplir un cône

Un réservoir conique pointe vers le bas. Sa hauteur totale est $12\text{ cm}$ et son rayon supérieur $4\text{ cm}$. L'eau arrive à $dV/dt=+6\pi\text{ cm}^3/\text{s}$. À quelle vitesse monte la surface quand la profondeur vaut $h=6\text{ cm}$ ?

Variables. $h(t)$ est la profondeur, $r(t)$ le rayon de la surface; tous deux changent, comme le volume $V(t)$. Relations. Les triangles semblables donnent $r/h=4/12=1/3$, donc $r=h/3$. Le cône d'eau a pour volume $V=(\pi/3)r^2h$. Remplacez maintenant la relation entre variables : $V=(\pi/27)h^3$. Cela ne remplace pas encore $h$ par sa valeur instantanée.

Dérivation puis remplacement. La règle de la chaîne donne

$$\frac{dV}{dt}=\frac{\pi}{9}h^2\frac{dh}{dt}.$$

Pour $h=6\text{ cm}$, $6\pi=(\pi/9)(36)\,dh/dt=4\pi\,dh/dt$; donc $dh/dt=1.5\text{ cm/s}$. Contrôle. Le signe positif correspond à une surface montante. Le facteur $(\pi/9)h^2$ a des unités d'aire; un débit en centimètres cubes par seconde divisé par cette aire donne des centimètres par seconde. À cet instant $r=2\text{ cm}$. Confondre le rayon fixe du réservoir $4$ avec le rayon actuel de l'eau $2$ donnerait un autre taux, erroné.

On peut aussi dériver $V=(\pi/3)r^2h$ avec $dr/dt$ et $dh/dt$, puis utiliser $dr/dt=(1/3)dh/dt$. Le résultat est identique. Remplacer d'abord $r$ par $h/3$ abrège le calcul en ne laissant qu'une longueur variable.

Exemple 3 : une personne et son ombre

Une lampe se trouve à $6\text{ m}$ au-dessus d'un sol plat. Une personne de $2\text{ m}$ s'éloigne en ligne droite à $dx/dt=+1.5\text{ m/s}$. Soit $x(t)$ sa distance à la lampe et $s(t)$ la longueur de son ombre. Trouvez le taux d'allongement de l'ombre et la vitesse de son extrémité.

Variables. Le sens positif s'éloigne de la lampe. L'extrémité se situe à la distance $x+s$. Les taux $ds/dt$ et $d(x+s)/dt$ sont donc distincts. Relation. Les triangles semblables comparent la hauteur de la lampe à la distance de l'extrémité et la taille de la personne à la longueur de l'ombre :

$$\frac{6}{x+s}=\frac{2}{s}.$$

En croisant, $6s=2x+2s$, puis $s=x/2$. Cette relation vaut dans la géométrie rectiligne idéalisée. Dérivation : $ds/dt=(1/2)dx/dt=0.75\text{ m/s}$. C'est le taux de la longueur de l'ombre.

Extrémité et contrôle. Sa position est $p=x+s=3x/2$; alors $dp/dt=dx/dt+ds/dt=1.5+0.75=2.25\text{ m/s}$. L'extrémité avance plus vite que la personne; sa vitesse n'est pas seulement le taux d'allongement. Les deux taux sont positifs et mesurés en mètres par seconde. Si la personne s'arrête, $dx/dt=0$ et les deux dérivées s'annulent, un contrôle de cas limite.

Utiliser la méthode et vérifier l'objet demandé

Dans les trois cas, la relation est vraie pendant le mouvement; les chiffres de l'instant n'entrent qu'après la dérivation. Les résultats se lisent différemment : la hauteur de l'échelle diminue, le niveau du cône monte à partir d'un débit volumique, et l'ombre donne deux taux positifs. Les cinq indications rendent ces différences explicites sans apprendre trois recettes indépendantes.

Pour vous exercer, modifiez un taux en gardant la géométrie. Si le pied de l'échelle s'éloigne à $1\text{ ft/s}$ au même point $x=6\text{ ft}$, le taux du sommet devient $-0.75\text{ ft/s}$. Si le débit entrant du cône double à profondeur égale, $dh/dt$ double aussi. Ces contrôles de proportionnalité repèrent les erreurs de calcul, mais ne remplacent pas la relation géométrique. Math Zen aide à travailler séparément les règles de dérivation nécessaires; la préparation à AP Calculus replace ces applications dans un parcours plus large.

Avant de valider, relisez le nom de la grandeur demandée : pied, sommet, niveau d'eau, longueur de l'ombre ou extrémité de l'ombre. Écrivez-le à côté de la dérivée finale. Un taux juste pour la mauvaise grandeur ne répond pas à la question. Comparez ensuite le signe à la direction positive et simplifiez les unités. Ces deux contrôles brefs démasquent souvent une réponse pourtant plausible.