Nombres complexes sous forme polaire : convertir, multiplier et diviser

Le nombre $3+3i$ donne une adresse : trois unités vers la droite et trois unités vers le haut. Il donne aussi une direction et une distance : vers le nord-est, à une distance de $3\sqrt{2}$ de zéro. La forme cartésienne et la forme polaire décrivent exactement le même nombre. Elles facilitent des calculs différents.

La forme cartésienne est pratique pour l'addition. La forme polaire fait ressembler la multiplication à deux actions ordinaires : étirer et tourner. C'est pourquoi une puissance d'apparence compliquée peut devenir un calcul court dès que l'on change de description.

Si l'unité imaginaire ne vous est pas encore familière, commencez par notre explication des nombres imaginaires. Ici, nous nous concentrons sur l'étape pratique suivante : convertir, calculer et vérifier la réponse.

Le module et l'argument décrivent une flèche

Tracez une flèche de l'origine jusqu'à $z=a+bi$. Sa composante horizontale est $a$ et sa composante verticale est $b$. La longueur de la flèche, appelée module, découle du triangle rectangle :

$$r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$$

L'argument est un angle $\theta$ mesuré dans le sens trigonométrique à partir du demi-axe réel positif. Les rotations positives s'effectuent dans le sens trigonométrique, les rotations négatives dans le sens horaire. Un tour complet ramène à la même flèche, donc un argument n'est pas unique.

Les composantes horizontale et verticale d'une flèche de longueur $r$ sont $r\cos\theta$ et $r\sin\theta$. En remplaçant les composantes par ces expressions, on obtient la forme polaire :

$$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$$

Certains livres l'écrivent $r\operatorname{cis}\theta$. Cette abréviation désigne exactement l'expression entre parenthèses. C'est une écriture plus courte, pas une nouvelle opération.

Nous utilisons ici la géométrie des coordonnées polaires, mais le but est de calculer avec des nombres complexes plutôt que de tracer des courbes polaires.

Convertir un nombre sans perdre son quadrant

Prenons $z=-3+3i$. Commençons par le module :

$$r=\sqrt{(-3)^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$$

La partie réelle est négative et la partie imaginaire positive, donc la flèche pointe vers le deuxième quadrant. L'angle de référence est $\pi/4$, car les distances horizontale et verticale ont la même valeur absolue. L'argument recherché est donc $3\pi/4$, soit 135 degrés :

$$-3+3i=3\sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right)$$

Pourquoi ne pas simplement saisir $\arctan(b/a)$ ? Ici, le rapport vaut -1, et un calcul ordinaire d'arc tangente renvoie $-\pi/4$. Cet angle pointe vers le quatrième quadrant, dans la direction opposée. Un rapport seul perd les signes qui permettent de reconnaître le quadrant.

Suivez toujours cet ordre :

1. Calculez le module.
2. Repérez les signes des parties réelle et imaginaire sur un croquis.
3. Trouvez un angle de référence et placez-le dans ce quadrant.
4. Remplacez dans la formule afin de vérifier les deux composantes.

Une fonction de calculatrice ou de programmation appelée $\operatorname{atan2}(b,a)$ tient compte du quadrant et des cas situés sur les axes. Vérifiez l'ordre de ses arguments et si le résultat est exprimé en radians. Si vous utilisez à la place une arc tangente à une seule entrée, le croquis reste nécessaire.

Revenir à la forme cartésienne pour vérifier

Passer de la forme polaire à la forme cartésienne consiste à calculer séparément les deux composantes. Pour l'exemple précédent :

$$a=3\sqrt{2}\cos\frac{3\pi}{4}=3\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-3$$ $$b=3\sqrt{2}\sin\frac{3\pi}{4}=3\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=3$$

On retrouve bien $-3+3i$. Cette vérification révèle immédiatement une erreur de quadrant : un mauvais angle donnerait de mauvais signes, même si le module était correct.

Pour les angles sans valeur exacte simple, ne les arrondissez qu'à la toute dernière étape. Un arrondi précoce introduit une erreur inutile lorsque vous reconvertissez le nombre en composantes.

Multiplier revient à étirer et à tourner

Supposons qu'un nombre ait pour module $r_1$ et pour argument $\theta_1$, et qu'un autre ait pour module $r_2$ et pour argument $\theta_2$. Pour les multiplier, on multiplie les longueurs et on additionne les rotations :

$$z_1z_2=r_1r_2\left(\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\right)$$

Prenons deux nombres de module 2 et d'arguments $\pi/6$ et $\pi/3$. Leur produit a pour module 4 et pour argument $\pi/2$ :

$$z_1z_2=4\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)=4i$$

Vous pouvez effectuer une vérification indépendante sous forme cartésienne. Les deux nombres de départ sont $\sqrt{3}+i$ et $1+\sqrt{3}i$ :

$$(\sqrt{3}+i)(1+\sqrt{3}i)=\sqrt{3}+3i+i+\sqrt{3}i^2=4i$$

Les parties réelles s'annulent parce que $i^2=-1$. Les deux descriptions conduisent à la même réponse, mais le calcul polaire rend visible la rotation d'un angle droit avant tout développement.

La division inverse l'étirement et la rotation

Pour diviser par un nombre complexe non nul, on divise les modules et on soustrait les arguments :

$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\left(\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)\right)$$

Par exemple, divisons un nombre de module 6 et d'argument $5\pi/6$ par un nombre de module 2 et d'argument $\pi/3$. Le résultat a pour module 3 et pour argument $\pi/2$, donc le quotient est $3i$.

Le dénominateur doit avoir un module non nul. L'écriture polaire ne rend pas la division par zéro valide. Veillez aussi à respecter l'ordre de la soustraction : diviser le second nombre par le premier inverserait à la fois le facteur d'échelle et la différence des angles.

Les puissances répètent la même opération

Élever un nombre complexe à une puissance entière positive revient à répéter la même multiplication. Le module est élevé à cette puissance et l'argument est multiplié par elle :

$$z^n=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)$$

C'est la formule de Moivre. Pour $z=\sqrt{3}+i$, le module vaut 2 et un argument est $\pi/6$. En élevant au cube, on obtient :

$$(\sqrt{3}+i)^3=2^3\left(\cos\frac{3\pi}{6}+i\sin\frac{3\pi}{6}\right)=8i$$

Trois rotations de 30 degrés forment une rotation de 90 degrés. Trois facteurs d'échelle de 2 donnent 8 lorsqu'on les multiplie. Vous pouvez toujours développer le cube, mais la forme polaire montre pourquoi le résultat se trouve sur l'axe imaginaire.

Le chapitre d'OpenStax sur la forme polaire présente également les calculs de racines correspondants. La distinction essentielle est qu'un nombre complexe non nul possède plusieurs racines n-ièmes distinctes pour n ≥ 2. Diviser un seul angle choisi par n ne suffit pas pour toutes les énumérer.

Bien distinguer ces cas particuliers

Un tour complet change l'angle, pas le nombre. Les angles $\theta$ et $\theta+2\pi k$ décrivent la même direction pour tout entier $k$. Si une question demande l'argument principal, utilisez l'intervalle indiqué, souvent $(-\pi,\pi]$. D'autres cours emploient un intervalle différent, alors précisez votre convention.

Zéro n'a pas de direction définie. Son module est nul. Tous les angles donnent les mêmes composantes nulles, donc attribuer à zéro un argument unique n'a pas de sens.

Il ne faut pas mélanger radians et degrés. Les deux unités conviennent à la forme trigonométrique si elles sont utilisées avec cohérence. La forme exponentielle $re^{i\theta}$ emploie les radians. Notre guide sur l'identité d'Euler explique ce lien.

L'addition ne suit pas la règle de multiplication. Additionner les modules et les angles ne revient pas à additionner les nombres complexes. Convertissez-les sous forme cartésienne, additionnez les composantes, puis revenez à la forme polaire si nécessaire.

S'exercer à une décision à la fois

Les exercices de Math Zen sur les nombres complexes comprennent la forme polaire et la formule de Moivre. Pendant l'apprentissage, séparez les compétences : identifiez d'abord le quadrant, trouvez ensuite le module, puis effectuez la conversion, et ne passez qu'après aux produits ou aux puissances.

Avant de rendre une réponse, posez-vous trois questions. Sa distance à zéro est-elle plausible ? Sa direction correspond-elle à l'opération ? Ses composantes cartésiennes reproduisent-elles le point de départ ? Ces vérifications transforment la forme polaire, qui cesse d'être une formule de plus à mémoriser pour devenir une façon de voir le calcul.