¿Qué es una ecuación paramétrica en términos simples?

Una ecuación paramétrica describe una curva diciendo dónde está un punto para cada valor de una tercera variable, casi siempre escrita t. En lugar de una sola regla y = f(x), obtienes un par: x = f(t) e y = g(t). Dale el mismo t a las dos funciones y obtienes un punto en el plano. Recorre t y el punto traza un camino. La variable extra es un reloj, o un ángulo, o un deslizador: cualquier cosa que las dos coordenadas puedan escuchar a la vez. Un círculo, un bucle y una pelota lanzada son más fáciles en este idioma, porque son recorridos, no gráficas de una sola altura para cada x.

¿Cuál es la diferencia entre ecuaciones paramétricas y cartesianas?

Una ecuación cartesiana relaciona x e y de forma directa, como y = x² o x² + y² = 1. Es una fotografía de un conjunto de puntos. Las ecuaciones paramétricas son una película de un punto que recorre ese conjunto: dicen la posición en cada t, en qué sentido se camina el recorrido, y a qué velocidad. El mismo círculo x² + y² = 1 puede recorrirse despacio o el doble de rápido, en sentido horario o antihorario, partiendo de (1, 0) o de (0, 1). Al eliminar el parámetro, todas esas películas dan la misma ecuación cartesiana, así que la fotografía no puede distinguirlas.

¿Cómo se elimina el parámetro en las ecuaciones paramétricas?

Resuelve una de las dos en t, o combínalas para que t se cancele, y sustituye para obtener una relación entre x e y. Para x = t e y = t² obtienes y = x² de inmediato. Para x = cos t e y = sin t elevas al cuadrado y sumas, usando cos² t + sin² t = 1, y recuperas el círculo x² + y² = 1. La eliminación es el gesto correcto cuando solo necesitas la forma. Es el gesto incorrecto cuando la pregunta es sobre velocidad, sentido, una partícula en reposo, o qué punto ocupas en un t dado, porque esos son hechos sobre el reloj, y el reloj es precisamente lo que acabas de tirar.

¿Cómo se halla dy/dx para ecuaciones paramétricas?

Deriva cada coordenada respecto a t y luego divide: dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt), siempre que dx/dt no sea cero. Ambas tasas dicen lo rápido que cambia esa coordenada contra el reloj; su cociente dice lo rápido que cambia y por unidad de x, que es la pendiente. Es la regla de la cadena, no una derivada nueva, la misma idea que en [el artículo de las derivadas](/blog/understanding-derivatives-intuitively). Una tangente horizontal ocurre cuando dy/dt = 0 mientras dx/dt no lo es; una tangente vertical ocurre cuando dx/dt = 0 mientras dy/dt no lo es. Si las dos se anulan, la partícula se ha detenido, y 0/0 no es una tangente.

¿Por qué se usan las ecuaciones paramétricas?

Porque muchas curvas son viajes, no gráficas. Un círculo no pasa la prueba de la línea vertical, un proyectil visita el mismo x dos veces, y una animación tiene que saber dónde está un punto en el instante t, no solo qué puntos ocupa alguna vez. La física escribe las trayectorias así; la infografía escribe las curvas de Bézier así; AP Calculus BC examina la pendiente como (dy/dt)/(dx/dt) y la longitud de arco como la integral de la velocidad. Las coordenadas polares, en [el artículo de las coordenadas polares](/blog/understanding-polar-coordinates-intuitively), son otro sistema de direcciones para el mismo plano. Las ecuaciones paramétricas son otra descripción del movimiento a través de él.

Entender las ecuaciones paramétricas de forma intuitiva (una curva con un reloj)

Las gráficas cartesianas responden a una sola pregunta: dado x, ¿cuál es y? La mayor parte de las matemáticas escolares es esa pregunta, hasta el punto de que empieza a parecer que una curva es una gráfica de y frente a x. Luego un curso más avanzado escribe x = cos t, y = sin t, llama al par paramétrico y te pide bosquejar el recorrido. Estudiantes que eran fluidos con y = f(x) de pronto no pueden decir dónde está la partícula en t = π/2, y la fórmula de la pendiente $\frac{dy}{dx}$ = ( $\frac{dy}{dt}$ )/( $\frac{dx}{dt}$ ) llega como una cosa más para memorizar.

Las dos descripciones no son rivales. Una gráfica de y frente a x es una fotografía de una curva. Las ecuaciones paramétricas son una película de un punto que recorre esa curva, y la variable extra t es el reloj. Una vez que esa es la imagen, eliminar el parámetro es olvidar el reloj, y las fórmulas de cálculo son la regla de la cadena leyendo dos tasas contra el mismo reloj.

Un recorrido no es una gráfica de y frente a x

La prueba de la línea vertical es una regla sobre gráficas de funciones, no sobre curvas. Un círculo no la pasa porque un mismo x puede encontrar el círculo a dos alturas. Eso no hace ilegal al círculo. Lo convierte en algo que una sola función y = f(x) no puede ser.

Las ecuaciones paramétricas son el modo de hablar de esos objetos: bucles, ochos, un segmento recorrido ida y vuelta, un proyectil que sube y baja por el mismo x dos veces. Una función es una máquina con una entrada y una salida. Las ecuaciones paramétricas usan dos máquinas que comparten una entrada. Dales el mismo t y obtienes un punto (x(t), y(t)). Recorre t y el punto traza un camino.

Ese camino tiene un sentido, porque t aumenta. La gráfica de y = $x^{2}$ no sabe si la caminaste de izquierda a derecha o de derecha a izquierda. La parametrización x = t, y = $t^{2}$ la recorre de izquierda a derecha cuando t crece. La parametrización x = −t, y = $t^{2}$ recorre la misma parábola al revés. Misma fotografía, dos películas.

t es un reloj

El ejemplo cotidiano más honesto es el movimiento. Una mosca en una ventana no se describe con una altura para cada posición horizontal, porque puede quedar en el aire, dar vueltas y visitar el mismo sitio dos veces. Se describe por dónde está en cada instante. Eso es x(t) e y(t).

No tienes que interpretar t como tiempo de reloj. Puede ser un ángulo, una longitud de arco o un deslizador en una animación. El trabajo de t es ser la única entrada que las dos coordenadas escuchan. Llamarlo un reloj es una imagen, no una ley.

Una comprobación numérica pequeña mantiene la imagen honesta. Toma x = cos t, y = sin t:

$t = 0$ aterriza en (1, 0), el punto este de la circunferencia unidad
$t = \pi/2$ aterriza en (0, 1), justo al norte
$t = \pi$ aterriza en (−1, 0), oeste
$t = 2\pi$ vuelve a (1, 0)

Esta es la circunferencia unidad de la trigonometría, escrita ahora como un viaje por el borde. El mismo conjunto de puntos que $x^{2} + y^{2} = 1$ , más un punto de partida y un rumbo antihorario. Las coordenadas polares escriben ese círculo todavía más corto, r = 1, que es una afirmación sobre la distancia al origen. Las ecuaciones paramétricas lo escriben como una caminata. Preguntas distintas, misma curva.

La velocidad también está en el reloj. x = cos 2t, y = sin 2t recorre el mismo círculo el doble de rápido: cuando t va de 0 a 2π das dos vueltas. Elimina t y las dos películas se reducen a una sola fotografía. Conserva t y la diferencia salta a la vista.

Eliminar el parámetro es olvidar el reloj

Si resuelves una de las ecuaciones en t y sustituyes en la otra, t desaparece y obtienes una relación entre x e y. Para x = t, y = $t^{2}$ obtienes y = $x^{2}$ de inmediato. Para x = cos t, y = sin t elevas al cuadrado y sumas, usando la identidad $\cos^{2}$ t + $\sin^{2}$ t = 1, y recuperas $x^{2} + y^{2} = 1$ .

Esa relación es el conjunto de puntos. No es la película. La ecuación del círculo no dice que partiste de (1, 0), no dice que fuiste en sentido antihorario y no dice que diste una vuelta en lugar de dos. Esos son hechos sobre t, y t es lo que la eliminación borra.

A veces borrar es el gesto correcto. Una pregunta que solo se preocupa por la forma quiere la relación cartesiana. A veces es el gesto incorrecto. Una pregunta sobre velocidad, sobre una partícula en reposo, sobre qué cuadrante ocupas en t = 3, o sobre la distancia recorrida a lo largo del camino, es una pregunta sobre el reloj.

Tampoco se puede eliminar siempre de forma limpia. x = t − sin t, y = 1 − cos t es una cicloide, el recorrido de un punto del borde de un círculo que rueda. No hay un y = f(x) cómodo. La forma paramétrica es el idioma nativo, no un disfraz puesto encima de una ecuación cartesiana.

Si un problema pide "eliminar el parámetro", quiere la fotografía. Si pregunta dónde está la partícula, hacia qué lado mira, a qué velocidad va o qué distancia ha recorrido, quédate con el reloj.

Círculos, rectas y objetos lanzados

Tres familias aparecen todo el tiempo, y cada una es un viaje.

Una recta que pasa por (x₀, y₀) en la dirección de un vector (a, b) es x = x₀ + a t, y = y₀ + b t. Empieza en el punto y luego camina el vector t veces. Esa es la imagen del viaje con un reloj enganchado, y por eso las rectas paramétricas aparecen en el momento en que la geometría tiene que describir un movimiento a lo largo de una recta, incluidas las preguntas de geometría del espacio del Bac francés, que escriben las rectas en tres dimensiones de la misma manera.

Un círculo de radio r centrado en el origen es x = r cos t, y = r sin t. Centro (h, k): suma esas constantes a cada coordenada. El parámetro t es el rumbo, y por eso esta forma y las coordenadas polares siguen compartiendo seno y coseno. Lo polar es una dirección postal: a qué distancia, hacia qué lado. Lo paramétrico es un horario: en este t, estate aquí.

Un proyectil, en las unidades de pies y segundos que muchos libros siguen usando, es x = (v cos θ) t, y = (v sin θ) t − 16 $t^{2}$ . El movimiento horizontal es constante; el vertical siente la gravedad. Elimina t y el recorrido es una parábola. Las preguntas interesantes (cuándo aterriza, cuál es la velocidad en el punto más alto) son preguntas sobre t, y por eso la forma paramétrica es con la que de verdad calculas.

Por qué a los autores de exámenes les encantan las ecuaciones paramétricas

AP Calculus BC trata las curvas paramétricas como un tema estándar de puntuación, junto a lo polar y las series, y por eso la guía de AP Calculus las agrupa en la capa exclusiva del BC. Las preguntas son casi siempre los mismos pocos gestos, y cada uno es más corto si la imagen del reloj está en su sitio.

Pendiente: $\frac{dy}{dx}$ = ( $\frac{dy}{dt}$ ) / ( $\frac{dx}{dt}$ ), siempre que $\frac{dx}{dt}$ no sea cero. Esto no es una derivada nueva. Ambas coordenadas cambian con t, así que $\frac{dy}{dt}$ y $\frac{dx}{dt}$ son tasas ordinarias contra el reloj. La pendiente del recorrido es lo rápido que cambia y por unidad de x, que es su cociente. Es la regla de la cadena con el reloj simplificado.

Tangente horizontal: $\frac{dy}{dt}$ = 0 mientras $\frac{dx}{dt}$ ≠ 0. La altura ha dejado de cambiar y la partícula sigue moviéndose de lado. Tangente vertical: $\frac{dx}{dt}$ = 0 mientras $\frac{dy}{dt}$ ≠ 0. Las dos nulas a la vez no es una tangente. Es una partícula que se ha detenido, y hay que mirar los t cercanos para ver si el recorrido tiene una cúspide o solo una pausa.

La derivada segunda sigue el mismo patrón: $d^{2}$ y/ $dx^{2}$ = ( $\frac{d}{dt}$ de $\frac{dy}{dx}$ ) / ( $\frac{dx}{dt}$ ). Quienes tratan esto como una tercera fórmula para memorizar se equivocan de denominador. Es la idea del cociente aplicada a la función pendiente, que a su vez es una función de t.

La longitud de arco de t = a a t = b es la integral de sqrt(( $\frac{dx}{dt}$ )² + ( $\frac{dy}{dt}$ )²) dt. Ese radical es Pitágoras sobre el paso diminuto (dx, dy). La velocidad es el integrando; la longitud de arco es velocidad acumulada, y por eso es una integral. No necesitas una idea geométrica nueva. Necesitas la fórmula de la distancia aplicada a un punto en movimiento.

Nada de esto sustituye la fluidez con las derivadas ordinarias. El cálculo paramétrico no perdona una regla de la cadena insegura; la expone, porque cada pendiente, cada punto de reposo y cada integrando de longitud de arco pasa por $\frac{dx}{dt}$ y $\frac{dy}{dt}$ .

De dónde vienen los errores

Los errores paramétricos se agrupan en tres sitios, y cada uno es un error de imagen.

El primero es tratar t como si fuera x. Bosquejar x = $t^{2}$ , y = t en ejes etiquetados t e y, o meter t = 2 en una sola coordenada. El par es un punto en el plano. Grafica ambas, en el orden (x(t), y(t)), y marca unos valores de t para que el sentido de recorrido se vea. Sin esas flechas, la fotografía y la película se parecen, y la siguiente pregunta será sobre la película.

El segundo es escribir $\frac{dy}{dx}$ = ( $\frac{dy}{dt}$ )/( $\frac{dx}{dt}$ ) en un t donde numerador y denominador se anulan los dos, y luego anunciar una tangente horizontal o vertical a partir del 0 que queda. En ese instante la velocidad es el vector cero. La tangente, si existe, hay que leerla en el recorrido, no en un 0/0. El ejemplo estándar es x = $t^{2}$ , y = $t^{3}$ en t = 0: ambas derivadas son cero, la relación cartesiana es $y^{2} = x$ ³, y el recorrido tiene una cúspide.

El tercero es olvidar el intervalo de t. x = cos t, y = sin t con t de 0 a π es un semicírculo, no un círculo. x = cos t, y = sin t con t de 0 a 4π es el círculo caminado dos veces. La ecuación cartesiana es idéntica en los tres casos. La pregunta del examen, por lo general, no lo es.

Dónde encaja Math Zen

Las curvas paramétricas se apoyan sobre las funciones, la trigonometría y la regla de la cadena, y comparten piso con los vectores y las coordenadas polares. Si t sigue siendo "otra letra" en lugar de un reloj, la pendiente y la velocidad parecerán fórmulas sin relación. Los niveles paramétricos de Math Zen asumen que esos pisos ya cargan peso: el trabajo inicial es leer (x(t), y(t)) y el sentido de recorrido, luego $\frac{dy}{dx}$ a través de las dos tasas, luego la longitud de arco, que es el par que AP Calculus BC pide de verdad.

La práctica mixta corta gana a un único atracón sobre "el capítulo paramétrico". La imagen del reloj, los puntos de reposo 0/0 y el integrando de longitud de arco solo se vuelven automáticos cuando aparecen junto a derivadas y = f(x) ordinarias, al estilo de la repetición espaciada para matemáticas. En el examen BC, la recompensa no es una materia nueva. Es reconocer que las preguntas de partícula son la derivada que ya conoces, hecha a dos funciones a la vez.

En resumen

Las ecuaciones paramétricas son ecuaciones cartesianas con un reloj. Una gráfica de y frente a x es una fotografía de un conjunto de puntos. El par x(t), y(t) es una película de un punto que recorre ese conjunto: conoce el punto de partida, el rumbo y la velocidad. Eliminar el parámetro tira el reloj y conserva la fotografía, útil para la forma e inútil para el movimiento. La pendiente es el cociente de dos tasas ordinarias contra t. La longitud de arco es Pitágoras acumulado a lo largo del viaje.

Las gráficas con las que creciste siguen ahí. Las ecuaciones paramétricas no las reemplazan. Te dan un modo de hablar de curvas que una sola función y = f(x) no puede ser, y acudes a ellas cuando la pregunta natural es dónde está el punto en el instante t, no solo qué puntos ocupa alguna vez.