Derivación implícita: ejemplos resueltos y comprobación de tangentes

La ecuación $x^2+y^2=25$ describe una circunferencia. No presenta $y$ mediante una sola fórmula en función de $x$: en la mitad superior y en la inferior, un mismo valor de $x$ suele corresponder a dos valores distintos de $y$. Sin embargo, podemos calcular la pendiente en un punto de cualquiera de las dos mitades. La derivación implícita deriva la relación completa y trata $y$, cerca del punto elegido, como una función de $x$. Vamos a resolver el cálculo paso a paso, comprobar que cada punto pertenece a su curva y ver exactamente dónde deja de servir la fórmula habitual de la pendiente.

Si quieres repasar primero qué significa la pendiente, empieza por nuestra guía de derivadas. Los ejemplos de la regla de la cadena explican por qué aparece un factor adicional al derivar una expresión que contiene $y$. Aquí aplicaremos esas reglas a ecuaciones con ambas variables.

¿Qué cambia cuando y no está despejada?

Para una función explícita como $y=x^2+1$, derivar da $dy/dx=2x$. En una relación como $x^2+y^2=25$, ambas coordenadas cambian cuando un punto se desplaza por la curva. Allí donde podamos escribir localmente $y(x)$, el término $y^2$ representa $(y(x))^2$. Por la regla de la cadena,

$$\frac{d}{dx}(y^2)=2y\frac{dy}{dx}.$$

Es fácil olvidar el factor $dy/dx$. No es un adorno de la notación: el cuadrado cambia al cambiar su entrada $y$, y $y$ cambia al cambiar $x$. Por la misma razón, $d(y^3)/dx=3y^2(dy/dx)$ y $d(\sin y)/dx=\cos y(dy/dx)$. Si aparece el término mixto $xy$, también necesitas la regla del producto: $d(xy)/dx=y+x(dy/dx)$. La explicación de Paul Garrett en Math Insight muestra cómo se combinan esas dos reglas.

Usaremos siempre la misma secuencia:

1. Comprueba que el punto pedido satisface la ecuación original. No tiene sentido hablar de la tangente de esa curva en un punto que no le pertenece.
2. Deriva todos los términos respecto de $x$. Añade $dy/dx$ cada vez que el término derivado dependa de $y$.
3. Agrupa los términos con $dy/dx$, saca factor común y divide solo si ese factor no vale cero.
4. Sustituye las coordenadas y contrasta la pendiente con la forma local de la curva, una rama explícita o la ecuación de la tangente.

No introduzcas las coordenadas antes de derivar. Si conviertes las variables en números fijos, borras justamente el cambio que pretendes medir. Conserva además la ecuación antes de dividir: puede revelar una tangente vertical allí donde el cociente final tiene denominador cero.

Ejemplo 1: circunferencia y tangente ordinaria

Hallemos la pendiente de $x^2+y^2=25$ en $(3,4)$. Comprobamos el punto: $3^2+4^2=9+16=25$. Está en la circunferencia. Derivamos los dos lados considerando $y$ como $y(x)$:

$$2x+2y\frac{dy}{dx}=0.$$

Pasamos $2x$ al otro lado y dividimos entre $2y$, siempre que $y\ne0$:

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y},\qquad y\ne0.$$

En $(3,4)$ la pendiente es $-3/4$. La recta tangente que pasa por el punto es $y-4=-(3/4)(x-3)$. Si avanzas un poco hacia la derecha por la mitad superior, la altura baja; el signo negativo encaja. Podemos hacer una comprobación independiente: la rama superior se escribe $y=\sqrt{25-x^2}$ para $-5<x<5$ y su derivada es $-x/\sqrt{25-x^2}$. En $x=3$ también obtenemos $-3/4$. La rama inferior tiene otra coordenada $y$ y, por tanto, otra pendiente para el mismo $x$.

Esta comprobación de la rama importa porque la ecuación de la circunferencia no define una única función global $y(x)$. La derivación implícita nos da la pendiente de la rama local que pasa por el punto indicado. No podemos descartar la coordenada $y$ cuando varios puntos comparten la misma $x$.

Una curva y dos tipos de tangente

Mantengamos la circunferencia, pero pasemos a $(5,0)$. Este punto también pertenece a la curva, porque $5^2+0^2=25$. Sustituirlo en $-x/y$ supondría dividir entre cero. Sería incorrecto dar una pendiente numérica o concluir que la curva carece de tangente. Volvamos a la igualdad anterior a la división:

$$2x+2y\frac{dy}{dx}=0.$$

En $(5,0)$, una derivada finita tendría que satisfacer $10+0(dy/dx)=0$. Ningún valor finito puede hacerlo. Geométricamente, la circunferencia alcanza su extremo derecho y retrocede. Allí la tangente es la recta vertical $x=5$ y $dy/dx$ no está definida. La curva sigue siendo suave; sencillamente no puede representarse cerca de ese punto como una función derivable de $x$.

Hay otra forma de comprobarlo. Tratemos $x$ como función local de $y$: $2x(dx/dy)+2y=0$, de donde $dx/dy=-y/x$ cuando $x\ne0$. En $(5,0)$, $dx/dy=0$. Al cambiar un poco $y$, $x$ solo cambia en orden superior: esa es la imagen de una tangente vertical. En $(0,5)$ sucede lo contrario: $dy/dx=0$ y la tangente es horizontal. Estas observaciones describen la geometría; ninguna permite dividir entre cero en una fórmula.

Ejemplo 2: un producto y tres términos

Calculemos $dy/dx$ para $x^2+xy+y^2=7$ en $(1,2)$. La prueba del punto da $1+2+4=7$. Derivamos término a término. $x^2$ produce $2x$; el producto $xy$ produce $y+x(dy/dx)$; y $y^2$ produce $2y(dy/dx)$:

$$2x+y+x\frac{dy}{dx}+2y\frac{dy}{dx}=0.$$

Reunimos los términos con la derivada y sacamos factor común:

$$(x+2y)\frac{dy}{dx}=-(2x+y),\qquad \frac{dy}{dx}=-\frac{2x+y}{x+2y}\quad\text{si }x+2y\ne0.$$

En $(1,2)$, el numerador vale $4$ y el denominador $5$, así que la pendiente es $-4/5$. La tangente es $y-2=-(4/5)(x-1)$. Sustituyamos el resultado directamente en la igualdad derivada, antes de dividir: $2(1)+2+1(-4/5)+2(2)(-4/5)=4-4=0$. Esta prueba comprueba a la vez el aporte de la regla del producto y la fracción final. Si hubieras derivado $xy$ solo como $x(dy/dx)$, faltaría el término independiente $y$ y saldría una pendiente errónea.

La condición $x+2y\ne0$ forma parte de la respuesta, aunque se cumpla en el punto solicitado. Si el denominador desaparece en otra parte de la curva, hay que estudiar allí la igualdad sin dividir, como hicimos con la circunferencia. Una fracción simbólica por sí sola no contesta todas las preguntas sobre tangentes.

Ejemplo 3: una relación cúbica

Consideremos $y^3+xy=2$ en $(1,1)$. Comprobación: $1^3+1\cdot1=2$. Derivamos con la regla de la cadena para el cubo y la regla del producto para $xy$:

$$3y^2\frac{dy}{dx}+y+x\frac{dy}{dx}=0.$$

Al sacar factor común,

$$(3y^2+x)\frac{dy}{dx}=-y,\qquad \frac{dy}{dx}=-\frac{y}{3y^2+x}\quad\text{si }3y^2+x\ne0.$$

En $(1,1)$ resulta $-1/4$, de modo que la tangente es $y-1=-(1/4)(x-1)$. Sustituye el valor en la ecuación derivada: $3(-1/4)+1+(-1/4)=0$. Esta comprobación breve descubre un factor tres olvidado o un error de signo. No demuestra por sí sola toda la deducción, pero sirve como filtro final.

Diagnóstico: falta el factor de la regla de la cadena

Supongamos que alguien deriva $x^2+y^2=25$ y escribe $2x+2y=0$. Eso no es una ecuación para la pendiente tangente. Equivale a tratar $y$ como si $dy/dx=1$, cuando la circunferencia es la que determina cómo responde $y$ al cambiar $x$. En $(3,4)$ resultaría $6+8=0$, una contradicción inmediata. La derivada correcta, $2x+2y(dy/dx)=0$, da en cambio $6+8(-3/4)=0$.

Otra trampa consiste en dividir primero y olvidar la condición. La fórmula $-x/y$ vale donde $y\ne0$; no hace desaparecer los extremos $(\pm5,0)$. Conserva juntas la relación original, la prueba del punto y la igualdad derivada sin dividir. Esos tres datos indican qué ocurre donde la fracción no está definida.

Si las cantidades cambian con el tiempo y no con $x$, la misma idea da lugar a tasas relacionadas: usa las derivadas temporales apropiadas y revisa las unidades. Puedes practicar las reglas de derivación necesarias en el tema de derivadas de Math Zen. Como ejercicio propio, repite el ejemplo 2 con otro punto válido y comprueba primero que cumple la ecuación.

Preguntas frecuentes

¿Por qué cada derivada de $y$ lleva $dy/dx$? Porque $y$ cambia con $x$ a lo largo de la rama local. La regla de la cadena multiplica la derivada respecto de $y$ por $dy/dx$. Por ejemplo, $d(y^3)/dx=3y^2(dy/dx)$.

¿Puedo despejar $y$ antes? Sí, si resulta conveniente y escoges la rama y el dominio correctos. La rama superior de la circunferencia da la misma pendiente en $(3,4)$. Despejar puede ser difícil o producir varias ramas; por eso conviene poder derivar directamente la relación.

¿Una $dy/dx$ no definida significa siempre tangente vertical? No. Una fracción no definida es una señal para examinar la curva original y la igualdad derivada sin dividir. En $(5,0)$ de esta circunferencia, la geometría y $dx/dy=0$ confirman una tangente vertical. Los puntos singulares de otras curvas pueden comportarse de otra manera.

¿Cuál es la comprobación más rápida? Verifica que el punto pertenece a la curva original, sustituye tu pendiente en la igualdad derivada sin dividir y revisa cada denominador usado para aislar $dy/dx$. Las tres pruebas detectan errores distintos.